八年级数学竞赛例题专题讲解17等腰三角形的判定

1、专题17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结1等腰三角形的判定：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等2证明线段相等的方法：当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线如图所示：例题与求解【例1】如图，在ABC中，AB=7，AC=1

2、1，点M是BC的中点，AD是BAC的平分线，MFAD，则CF的长为_ （全国初中数学竞赛试题） 解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M” A B D M F C 【例2】如图，在ABC中，B=2C，则AC与2AB之间的关系是（ ） AAC2ABBAC2ABCAC2ABDAC2AB(山东省竞赛试题) 解题思路：如何条件B=2C，如何得到2AB，这是解本题的关键 A B C 【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD中点M，连结ME，MC，试判断EMC的形状，并说明理由（山东省中考试

3、题）解题思路：从ADEBAC出发，先确定ADB的形状，为判断EMC的形状奠定基础 A B C M D E 【例4】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明FAE=AEF，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形E A B D C F 【例5】如图，在等腰ABC中，AB=AC，A=200，在边AB上取点D，使AD=BC，求BDC度数（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口如图1，以BC为边在

4、ABC内作等边BCO；如图，以AC为边作等边ACE B C A D B C A D 图1 O B C A D 图2 E 能力训练A级1已知ABC为等腰三角形，由顶点A所引BC边的高线恰等于BC边长的一半，则BAC=_2如图，在RtABC中，C=900，ABC=660，ABC以点C为中点旋转到ABC的位置，顶点B在斜边AB上，AC与AB相交于D，则BDC=_A C D B B A (第2题) A B C D E F (第3题) (第4题) 9 9 1 5 3如图，ABC是边长为6的等边三角形，DEBC于E，EFAC于F，FDAB于D，则AD=_ （天津市竞赛试题）4如图，一个六边形的六个内角都是

5、1200，其连续四边的长依次是1，9，9，5，那么这个六边形的周长是_（“祖冲之杯”邀请赛试题）5如图，ABC中，AB=AC，B=360，D、E是BC上两点，使ADE=AED=2BAD，则图中等腰三角形共有（ ）A3个B4个C5个D6个6若ABC的三边长是，且满足，则ABC（ ）A钝角三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形 （“希望杯”邀请赛试题）7等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）A300B300或1500 C1200或1500 D300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8如图，已知RtABC中，C=900，A=300，在直线BC或AC

6、上取一点P，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）A2个 B4个 C6个 D8个 （江苏省竞赛试题）B C A B A C D E B C A D F G E 第5题图 第8题图 第9题图9如图在等腰RtABC中，ACB=900，D为BC中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G 求证：ADCF； 连结AF，度判断ACF的形状，并说明理由10如图，ABC中，ADBC于D，B=2C，求证：AB+BD=CD （天津市竞赛试题）B A C D 11如图，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得CDE是等边三角形，如果M是线段AD

7、的中点，N是线段BE的中点，求证：CMN是等边三角形 （江苏省竞赛试题）A C E N M B D 12如图1，RtABC中，ACB=900，CDAB，垂足为D，AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F A B D F E C 图1 A B D F E C 图2 A E D 求证：CE=CF； 将图1中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论 （山西省中考试题）B级1如图，ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC，则B：C的值=_ A B C D (第1题) (第2题) A B D E C 2如图

8、，ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若BAC+DAE=1500，则BAC的度数是_3在等边ABC所在平面内求一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有_个4如图，在ABC中，ABC=600，ACB=450，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，则图中的等腰三角形的个数是（） A2 B3 C4D5 A B D C E F P Q S (第4题) A B C E D 第5题 A A1 N M A2 A3 (第6题) 5如图，在五边形ABCDE中，A=B=1200，EA=AB=BC=DC=DE，则D=（ ） A300 B450

9、 C600 D67.50 （“希望杯”竞赛试题）6如图，MAN=160，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ） AA5 BA6 CA7 DA87若P为ABC所在平面内一点，且APB=BPC=CPA=1200，则点P叫作ABC的费尔马点，如图1A B C P A C B B 图1 图2 若点P为锐角ABC的费尔马点，且ABC=600，PA=3，PC=4，则PB的值为_如图2，在锐角ABC外侧作等边ACB，连结BB求证：BB过ABC的费尔马点P，且BB=PA+PB+PC （湖州市

10、中考试题）8如图，ABC中，BAC=600，ACB=400，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是BAC、ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP （全国初中数学联赛试题）A B P Q C 9如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，M是BC的中点，过M作MEAD交BA延长线于E，交AC于F，求证：BE=CF=(AB+AC) （重庆市竞赛试题）A B D M C F E 10在等边ABC的边BC上任取一点D，作DAE=600，DE交C的外角平分线于E，那么ADE是什么三角形？证明你的结论 （学习报公开赛试题）11如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(4，4)作平行于轴的直线交AB于点D，CD=10求直线的解析式；求证：ABC是等腰直角三角形；将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点A、B，在直线CD上存在点P，使得ABP是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标 （宁波市江东区模拟题）B A C O D y x 12如图1，在平面直角坐标系中，AOB为等腰直角三角形，A(4，4) 求B点坐标； 如图2，若C为轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角A