储油罐的变位识别与罐容表标定a

1、储油罐的变位识别与罐容表标定摘 要 关键词 变位识别；标定罐容表数学模型；积分模型；变位参数 一、问题重述二、问题分析三、模型假设1. 所给储油罐是一个规则的几何体，忽略其内部结构所占的空间；2. 油面视为通过油浮子并平行与水平面的平面；3. 储油罐内、外部环境（温度和压强等因素）相对稳定，忽略其对油面高的影响；4. 储油罐倾斜角变化不大.四、符号表示：储油罐里的燃油量；：储油罐纵向倾斜角度；储油罐横向偏转角度；：储油罐不包含球冠体时所剩余柱体的高().五、模型建立与求解为讨论储油罐的变位识别与变位后罐容表标定问题，可以先通过对无球冠体的储油罐在无变位与有纵向变位两种情形进行分析，并在此基础上

2、讨论实际储油罐发生纵向倾斜与横向偏转情况，以此建立储油罐罐容表标定模型. 5.1 椭圆柱体罐容表标定模型此时通过对无球冠体的储油罐未发生纵向倾斜的情况分析，建立一种较为简单和特殊的储油罐油高积分模型. 罐容-油高积分模型一将小椭圆型储油罐抽象为严格的两端平头的椭圆柱体，在不发生纵向倾斜时，其正面示意图(如图1).yO水平线xAB油面油位探针正面示意图横切面示意图图1 小油罐正面示意图此时有油浮子的测量区间为 (1)其中为椭圆长半轴，为椭圆短半轴，为椭圆柱体的长，且，.然后利用MATLAB软件绘制出储油罐体无变位时，燃油量随燃油高度的变化曲线以及原始测量数据的散点图(如图2).通过图2中两曲线的

3、比较可知，实际测量数据散点图与理论计算曲线的走势基本一致，并且对应相同油位高度时，实际测量值与理论计算值相差很小，所以通过比较得知式(1)可以较为准确地确定油罐无变位时罐容表的标定值，而微小的误差可能是因为油罐内部压强和气体挥发等因素导致的，因而可以对其进行修正.图2 无变位时燃油量变化曲线及原始数据散点图由于罐体内部的温度、压强等均为外界不易测因素，通过图2可知，随着的增大，误差增大，因此引入一个关于的误差函数.利用MATLAB，对原始数据与理论数据的误差与进行曲线拟合，得到误差函数为：因此，罐容-油高积分模型为然后根据罐容-油高积分模型利用MATLAB软件绘制出储油罐体无变位时，燃油量随油

4、高变化曲线以及原始测量数据的散点图(如图3). 无变位时修正后罐容变化曲线及原始数据散点图由图3清楚地发现，经过误差修正后的燃油量关于油面高度的变化曲线与原始测量数据几乎是完全重合，所以修正后的罐容-油高微积分模型具有更好的准确性. 椭圆柱体纵向变位模型二进一步考虑油罐体发生纵向倾斜的情况，此时可以依据油罐体的几何特征以及油浮子的变化范围，通过油高进行区域划分(如图4).13425CDEF图4 油高分区变化图通过对图4进行分析，分别讨论1，2，3，4，5区的罐容与油面高度间的关系.区域1，区域5：当油面在区域1中变化时，油浮子测量值均为；当油面在区域5中变化时，油浮子测量值均为0. 因为保持在

5、一个较小的范围内，实际中，油量出现极多与极少的情况较少，油面几乎不会在1区与5区，因此不对这两种情况进行讨论. 区域2：当油面在区域2中变化时，油面高度的变化范围是，罐容为椭圆柱体的总体积减去无燃油的曲面体体积. 以顶点为原点，边所在直线为轴，方向沿直线由指向，边所在直线为轴，方向沿直线由指向，轴垂直面向外，建立空间直角坐标系，积分求得罐容：其中为储油罐纵向倾斜角，和为小椭球体横截面椭圆的长半轴和短半轴，当，利用MATLAB绘制出罐容随油高的变化曲线（如图5）. 变位后时，罐容随油高的变化曲线区域3：当油面在区域3中变化时，油面高度的变化范围是.以为原点，边所在直线为轴，方向沿直线由指向，边所

6、在直线为轴，方向沿直线由指向，轴垂直面向外，建立空间直角坐标系，积分求得罐容：当，利用MATLAB绘制出罐容随油高的变化曲线(如图6). 变位后时，罐容随油高的变化曲线区域4：当油面在区域4中变化时，油面高度的变化范围是当.以中心纵剖图左下顶点为原点，边所在直线为轴，方向沿直线由指向，边所在直线为轴，方向沿直线由指向，轴垂直面向外，建立空间直角坐标系，积分求得罐容：当，利用MATLAB绘制出罐容随油高的变化曲线(如图7). 图7 变位后，时，罐容随油高变化曲线由以上分析可得，椭圆柱体纵向变位模型： 椭圆柱体罐容表标定模型三及原始数据散点图根据附件1中储油罐体纵向倾斜角的数据散点图，以及椭圆柱体

7、纵向变位模型曲线在，时的数值曲线，. 由于外界不易测因素的影响,图中理论计算出的油高变化曲线与原始数据的散点图有一定误差，为了得到更精确的结果，引入一个关于的误差函数对椭圆柱体纵向变位模型进行修正. 误差修正时，所使用原始数据对应的实际情况均属于区域3，因此只在对模型进行修正. 利用MATLAB，对原始数据与理论数据的误差与进行曲线拟合，得到误差函数为：因此，当时，利用MATLAB，作出模型的曲线图以及原始测量数据的散点图(见图9)由图9可以很清楚的看到，经过修正后的油高变化曲线与原始数据几乎完全重合. 此此时,得出储油罐纵向倾斜角时，油位高度间隔为1cm的罐容表标定值(见表一)表一 油位高度

8、为1cm时罐容表的标定值油位高度值(cm)罐体变位后油位高度间隔为1cm对应的罐容表标定值(m)050.00167440.0035310.00626350.00997480.0147560.0206916110.0278540.0363160.0461420.0573940.0701270.08439712170.100250.117750.136920.157820.180260.20418230.228910.254880.281860.309760.338540.3681424290.398530.429660.461490.4940.527140.560930350.595250.63

9、0150.665580.701530.737960.7748636410.81220.849970.888150.926720.965661.00542471.04461.08451.12481.16531.20621.247248531.28861.33011.37191.41391.4561.498454591.54091.58351.62631.66921.71221.755360651.79851.84181.88511.92851.97192.015466712.05882.10232.14572.18912.23252.275872772.31912.36232.40542.448

10、42.49132.53478832.57662.61912.66142.70362.74552.787284892.82872.872.91112.95182.99233.032590953.07243.1123.15123.19013.22863.2667961013.30443.34173.37853.41493.45073.48611021073.52093.55513.58883.62183.65423.68591081133.71693.74723.77663.80533.8333.85981141193.88563.91033.93393.95613.97673.99551204.

11、0127通过罐容表标定模型 储油罐纵向变位模型四依据储油罐纵向倾斜变位的图像建立如下空间直角坐标系过对图10的分析可知，此时储油罐相对运用积分原理对两端球冠体浸没体积积分时，依据两球冠体表面积是否被燃油浸没一半来进行分类积分，而两端平头的圆柱体可以利进行求解. 因为储油罐的两端为球罐体，所以通过对储油罐纵向倾斜变位后坐标图的分析，可知两端的直视面均是部分圆，由于储油罐两端具有对称性，不妨设左部分圆半径，且，由勾股定理则可以得到等式：解得. xy1m2m3m.6mhy图10 储油罐纵向倾斜变位后坐标图 此外根据建立的储油罐纵向倾斜变位后的坐标图，求解出储油罐左端与右端的部分圆形的函数表达式： (

12、2) (3)同样根据建立的储油罐纵向倾斜变位后的坐标图，求解出储油罐左端与右端的球冠体的函数表达式： 对上式化简可以得到： (4) (5) 由于此时储油罐的纵向倾斜角为，所以储油罐中燃油平面在直视平面中投影直线的斜率为，并且油浮子所测值为，由直线方程的点斜式可以得出直线方程: (6)将式(6)分别与式(2)和式(3)联立，即：和从而求得直线方程与储油罐左右两端部分圆形的交点坐标和. 在对燃油浸没左右球冠体表面积浸没情况进行分析时，通过积分原理可得：1、 当燃油浸没左球冠体表面积一半即时，将左球冠体分为与两部分进行积分体积运算，设部分的体积为，部分的体积为,所以左球冠体被浸没的体积为， 其中，.

13、 2、 当燃油浸没右球冠体表面积一半即时，与上同理可以求得相应部分的体积和，所以右球冠体所浸没的体积为， 其中，. 3、 当燃油未浸没左球冠体表面积一半即时，左球冠体所浸没体积为，其中. 4、 当燃油未浸没右球冠体表面积一半时，右球冠体所浸没的体积为，其中. 在对燃油浸没两端平头圆柱体体积时，运用1、当时，2、当时，3、当时，其中与在为纵切面椭圆的长半轴与短半轴，而此时纵切面为圆形，所以可得，为柱体的长，故此时. (7)当时， (8)当时， (9)当时， (10)当时， (11)当时， (12) 储油罐双向变位模型五在建立的储油罐纵向倾斜基础上引入横向偏转，由于储油罐两端为球冠体，而中间部分为

14、圆柱体，由其几何的对称性可知，在储油罐发生横向偏转时，燃油的水平高度不会发生变化，所以纵向倾斜后油浮子测量值即为油罐体横向偏转后的油液面水平高度. 现作出储油罐横向偏转后正截面简化图. 图11 储油罐横向偏转简化图通过图形分析可知，当油平面的水平高度时，因为油面高度过低导致此时油浮子所测数值恒为0，无法反映出油面的变化情况；而当有平面的水平高度时，因为油面高度过高，导致此时油浮子所测数值恒为也无法反映出油面的变化情况. 但是因为横向偏转角度是很微弱的，所以通过计算可知这两种情况分别为罐容量趋近于0和满罐容量的情况,而这两种事件的发生在生活属于小概率事件，所以可以不考虑，对于模型的建立以及模型的

15、实际应用没有几乎影响. 现在通过图形分析当油平面在圆心之上的情况，为储油罐未发生横向偏转时的油面高度，圆半径，而为横向偏转后油浮子的测量值. 通过图11可知，即： （13）同理当油平面在圆心之下时，求得的关于和的关系式与式（13）一致，又因为，故可以得到罐内燃油量关于纵向倾斜角，横向偏转角和油浮子测量值之间的表达式，即储油罐双向变位模型五. （14） 储油罐罐容表标定模型六对所建立的模型五进行误差修正加入一个误差函数，即利用附件2中一次性注油前的302个出油累计量与油面高度数据，使用MATLAB软件中的非线性拟合函数nlinfit对，燃油量初始值以及误差函数的系数进行拟合. 从而确定变位参数

16、,误差函数的一次、二次、三次项的系数为，将误差的常数项归入燃油量初始值，得到带有常误差的. 因为误差函数的非常数项系数很小，对模型结果产生的影响也会很小，因此仅考虑燃油初始值. 这样就得到了储油罐罐容表标定模型六依据该模型计算得到罐容表的标定值表油位高度值(cm)罐体变位后油位高度间隔为10cm对应的罐容表标定值(m)0500.045410.35391.0662.22473.70535.4361601107.37579.492911.762414.16216.671719.273312017021.949524.683727.460130.26333.077235.887318023038.6

17、78141.434144.139646.778449.333651.787424029054.120756.312658.339260.172761.777363.100930064.0317六、模型检验与参数灵敏度分析依据实际情况建立的储油罐罐容表标定模型的参数、是根据一次性注油前的302组数据非线性拟合得到的，下面将利用附件2中一次性注油后的300组数据对模型六的准确性进行检验. 6.1 模型检验利用MATLAB绘制出原始数据累计出油量关于油位高度的变化曲线与计算得到的累计出油量关于油位高度的变化曲线，线几乎完全重合，因此，本论文建立模型的方法较为合理，所得结论也符合实际，模型是比较正确的

18、. 6.2参数灵敏度分析纵向分析当只发生纵向变位，即横向偏转角度时，不同的纵向变位角度会对罐容表产生不同的影响. 如当的取值为时得到的油面高度与罐容的关系如图(13)所示.参数发生改变，不会对罐容随油面高度的变化趋势产生较大影响；相同的油面高度，参数越大，对应的罐容越小；相同的罐容，参数越大，对应的油面高度越高. 横向分析当只发生横向变位，即纵向变位角度时，不同的横向变位角度会对罐容表产生不同的影响. 当的取值为时得到的油面高度与罐容的关系如图(14)所示.与罐容的关系当参数不同时，罐容随油面高度的变化会有所不同，参数越大，罐容随油面高度的增大越缓慢，变化曲线越平缓. 数产生一个较小的变化时，

19、油面高度与罐容的关系就会产生较为明显的改变；当参数产生相对较大的变化时，油面高度与罐容的关系才会产生比较明显的变化. 因此，参数的灵敏度较高，参数的稳定性较好.七、模型评价与推广本文首先建立了一个简化的小椭圆型储油罐的罐容-油高微积分模型，这是对实际储油罐储油量问题的很大程度上的简化，方便的求解出不发生变位及产生一个纵向倾角两种情况下油高与罐容的对应关系. 为求解实际储油体发生位变做了准备. 当求解罐容时，充分利用了积分的知识. 实际储油罐罐体，中部情况与小椭圆型储油罐相同，只需考虑两端球罐体积. 模型的优点：运用了积分的思想求解体积，建立了解析模型，得到的结果较为精确，并对误差进行了修正，使

20、模型更准确. 模型具有普遍性和广泛性，由于最终求得的是罐容与油高的关系，可以将模型推广到求其他测液体体积的问题中.模型的缺点：由于忽略了油罐内部的物理结构以及环境因素（温度和压强）对液面高度的影响使得计算得到的值与测量的值存在微小的偏差. 模型的推广：此模型是液面高度与容积之间通过积分建立了联系，可以运用同样的方法去求解任意形状容器中液体体积.参考文献1 华东师范大学数学系，数学分析，下册(第三版)M，北京：高等教育出版社，2001. 2 吕林根，解析几何，北京：高等教育出版社，2000.3 张笑天，MATLAB7.XM，西安：西安电子科技大学,2008.4 姜启源，数学模型(第三版)M，北京

21、：高等教育出版社，2003.附录：%未发生变位时，v随h的变化曲线syms y hs=0.89.*(1-(y-0.6).2/0.36).0.5;s=2.*int(s,y,0,h);v=s.*2.45;ezplot(v,0,1.2)%在h<2.05*tan（4.1）时，v随h的变化曲线syms y hhs=-0.89.*(1-(y-0.6).2/0.36).0.5*(y-hh-0.4*tan(4.1/360*2*pi)/tan(4.1/360*2*pi);v=2.*int(s,y,0,hh+0.4*tan(4.1/360*2*pi);r,how=simple(v);xmax=2.05*ta

22、n(4.1/360*2*pi);ezplot(r,0,xmax) %中间部分，v随h的变化% 0.1469 - 1.1713syms z y hhs=0.89*(1-(y-0.6).2/0.36).0.5;t=z*tan(4.1/360*2*pi)+hh-2.05*tan(4.1/360*2*pi);s=int(s,y,0,t);ss=2*int(s,z,0,2.45);r,how=simple(ss);xmin=2.05*tan(4.1/360*2*pi);xmax=1.2-0.4*tan(4.1/360*2*pi);ezplot(r,xmin,xmax) %h很大时，v与h的关系曲线sym

23、s hh ys=0.89*(1-(y-0.6).2/0.36).0.5;s=int(s,y,0,z*tan(4.1/360*2*pi);v=2*int(s,z,0,(1.2-hh)/tan(4.1/360*2*pi)+2.05);r=2.45*pi*0.6*0.89-v;r,how=simple(r);xmin=1.2-0.4*tan(4.1/360*2*pi);ezplot(r,xmin,1.2) %未变位时，实际油罐容量与油高的散点图y=50100150200250300350400450500550600650700750800850900950100010501100115012001

24、25013001350140014501500155016001650170017501800185019001950200020502053.832103.832105.062155.062205.062255.062305.062355.062404.982406.832456.832506.832556.832606.832656.832706.832756.832806.832856.832906.832906.912956.913006.913056.913106.913156.913206.913256.913306.913356.913406.913456.913506.9135

25、56.913606.913656.913706.91;y=(y+262)/1000;x=0.159020.176140.192590.20850.223930.238970.253660.268040.282160.296030.309690.323150.336440.349570.362560.375420.388160.400790.413320.425760.438120.45040.462620.474780.486890.498950.510970.522950.53490.546820.558720.570610.582480.594350.606220.618090.62996

26、0.641850.653750.665670.677630.678540.690530.690820.702850.714910.727030.739190.751420.76370.764160.776530.788990.801540.814190.826950.839830.852840.8660.879320.892820.892840.906530.920450.934610.949050.96380.978910.994431.01041.0271.04421.06241.08161.10231.12531.15241.1935;plot(x,y,'.') %变位后

27、，实际容量与油读数间的散点图v=747.86797.86847.86897.86947.86997.861047.861097.791147.791197.731247.731297.731347.731397.731447.731497.731547.731597.731647.731697.731747.731797.731847.731897.731947.731997.732047.732097.732147.732197.732247.732297.732347.732397.732447.732497.732547.732597.732647.732697.732747.73279

28、7.732847.732897.732947.732997.733047.733097.733147.733197.733247.733297.733299.74;v=(v+215)/1000;h=411.29423.45438.33450.54463.90477.74489.37502.56514.69526.84538.88551.96564.40576.56588.74599.56611.62623.44635.58646.28658.59670.22680.63693.03704.67716.45727.66739.39750.90761.55773.43785.39796.04808

29、.27820.80832.80844.47856.29867.60880.06892.92904.34917.34929.90941.42954.60968.09980.14992.411006.341019.071034.241035.36;h=h/1000;plot(h,v,'.') %1cm间隔时罐容表标定%在h<2.05*tan（4.1）时syms yyy=;for hh=0:0.01:0.15s=-0.89.*(1-(y-0.6).2/0.36).0.5*(y-hh-0.4*tan(4.1/360*2*pi)/tan(4.1/360*2*pi);v=2.*int

30、(s,y,0,hh+0.4*tan(4.1/360*2*pi);yy=yy;v;endsingle(yy)%中间部分，v随h的变化syms z yyyll=;for hh=0.01:0.01:1.2;s=0.89*(1-(y-0.6).2/0.36).0.5;s=int(s,y,0,z*tan(4.1/360*2*pi)+hh-2.05*tan(4.1/360*2*pi);ss=2*int(s,z,0,2.45);yyll=yyll;ss;endsingle(yyll)%h很大时，v与h的关系曲线syms y zll=;for hh=1.18:0.01:1.2;s=0.89*(1-(y-0.6

31、).2/0.36).0.5;s=int(s,y,0,z*tan(4.1/360*2*pi);v=2*int(s,z,0,(1.2-hh)/tan(4.1/360*2*pi)+2.05);r=2.45*pi*0.6*0.89-v;ll=ll;r;endsingle(ll)%无变位v与h变化曲线 和 原始数据比较图plot(h,v,'r')hold onsyms y hs=0.89.*(1-(y-0.6).2/0.36).0.5;s=2.*int(s,y,0,h);%v=s.*2.45;v=s.*2.45+0.084.*h.3-0.15.*h.*h-0.058.*h+0.0017;

32、ezplot(v,0,1.2) %变位后v与h变化曲线 和 原始数据比较图plot(h,v,'r') hold onsyms z y hh xs=0.89*(1-(y-0.6).2/0.36).0.5;s=int(s,y,0,-x*tan(4.1/360*2*pi)+hh+0.4*tan(4.1/360*2*pi);ss=2*int(s,x,0,2.45);vv,how=simple(ss);xmin=2.05*tan(4.1/360*2*pi);xmax=1.2-0.4*tan(4.1/360*2*pi);ezplot(vv,0.4,1.05) t=subs(vv,hh,h)

33、;plot(h,t-v)%误差修正syms y hs=0.89.*(1-(y-0.6).2/0.36).0.5;s=2.*int(s,y,0,h);v=s.*2.45;y=159.02176.14192.59208.50223.93238.97253.66268.04282.16296.03309.69323.15336.44349.57362.56375.42388.16400.79413.32425.76438.12450.40462.62474.78486.89498.95510.97522.95534.90546.82558.72570.61582.48594.35606.22618.

34、09629.96641.85653.75665.67677.63678.54690.53690.82702.85714.91727.03739.19751.42763.70764.16776.53788.99801.54814.19826.95839.83852.84866.00879.32892.82892.84906.53920.45934.61949.05963.80978.91994.431010.431026.991044.251062.371081.591102.331125.321152.361193.49;y=y./1000;t=subs(v,h,y);v=5010015020

35、025030035040045050055060065070075080085090095010001050110011501200125013001350140014501500155016001650170017501800185019001950200020502053.832103.832105.062155.062205.062255.062305.062355.062404.982406.832456.832506.832556.832606.832656.832706.832756.832806.832856.832906.832906.912956.913006.913056.

36、913106.913156.913206.913256.913306.913356.913406.913456.913506.913556.913606.913656.913706.91;v=(v+262)/1000;plot(y,v-t)%10cm间隔标定表global tk R hk;R=13/8;cf=2.1000 4.2335 58.998;cf(3)=51124/1000+cf(3)-54118.18/1000;h1=6*tan(cf(1)/180*pi);h2=3-2*tan(cf(1)/180*pi);hkdat=(0:0.1:0.2)'pv=mmjl(cf,hkdat);vsk=cf(3)-pv;figure;plot(hkdat,vsk,'r*');hold onhkdat=(0.2:0.1:2.9)'pv=mmjfit (cf,hkdat);vsk=cf(3)-pv;plot(hkdat,vsk,'r*');hkdat=(2.9:0.1:3.0)'pv=mmju(cf,hkdat);vsk=cf(3)-pv