全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案

1、2011年全国高中数学联赛四川省预赛试 题一、选择题（每小题5分，共30分）1、双曲线的左、右准线l1、l2将线段F1F2三等分（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率等于（ ）A、 B、 C、 D、2、已知三次函数，), 命题：是上的单调函数；命题：的图像与轴恰有一个交点则是的（ ）. A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的设在一局中甲赢的人数为，则随机变量的数学期望的值为（ ）. A、 B、 C、 D、14、函数的最大

2、值为（ ）. A、 B、3 C、 D、 5、如图，边长为2的正方形ABCD和正方形ABEF所在的面成60°角，M、N分别是线段AC和BF上的点，且，则线段MN的长的取值范围是（ ）. A、B、 C、 D、 6、设数列为等差数列，数列满足：，若 ，则数列的公差为（ ）. A、 B、1 C、2 D、4二、填空题（每小题5分，共30分）7、已知实数满足，则的取值范围是 8、设平面内的两个非零向量与相互垂直，且，则使得向量与互相垂直的所有实数之和为 9、记实数等比数列的前项和为，若，则 10、设为实数，定义为不小于的最小整数，例如，关于实数的方程的全部实根之和等于 11、已知，其中为整数，则

3、 12、已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 三、解答题（每小题20分，共80分）13、已知，若函数的最大值为，求的最小值14、已知函数在有最大值5，求实数的值 15、抛物线与过点的直线交于、两点（I）求直线的斜率的取值范围；(II) 求在线段上满足条件的点的轨迹方程16、已知为实数，数列的前项和为，满足：，且对任何的正整数恒成立求证：当取到最大值时，对任何正整数都有解 答1、B. 提示：由题意得，解得2、A3、C. 提示：, ,于是. 4、C. 解法一 的定义域为，由

4、，解得因为，于是解法二 的定义域为，当且仅当，即时，取到最大值 5、B. 提示：过点M作MH/BC交AB于H，则，又AM=FN，AC=FB， ，NH/AF，NHAB，MHAB，MHN=60°设AH=x(0x2)，则MH=x，所以. 因此6、D. 提示： 于是，解得7、 提示：因为，等号成立当且仅当，即 8、1. 提示：由于=，即=0，所以由根与系数的关系知符合条件所有实数之和为19、150. 提示：记，. 设为的公比，则构成以为公比的等比数列，于是即，解得或（舍去），故10、-4. 提示：设，则，于是原方程等价于，即，从而，即相应的为于是所有实根之和为11、提示：由条件知，于是，故1

5、2、. 提示：如图，因为SA=SB=SC，所以S在平面ABC上的射影是ABC的外心，即AB的中点H，同理O点在平面ABC上的射影也是ABC的外心H，即在等边SAB中，求OH的长，其中OA=OB=OS显然， 13、令，则，所以. 当时，有最大值，即所以，等号当且仅当时成立，当时，有最小值10 14、 令，则，从而令，由题意知在有最大值5.当时，在时有最大值5，故符合条件； 当时，矛盾！当时，矛盾！综上所述，所求的实数 15、（I）直线的方程为，与抛物线方程联立得，消去得，即，由，解得或 （II）设点坐标为，点坐标为，点坐标为，则，. 又、都在直线上，所以有，由得，化简得又因此，点在线段上，所以同号则. 因此 ， ， 由得代入得,即. 又因为或，所以的取值范围是且，因此点的轨迹方程是（且） 16、当