全国数学建模决赛题目

1、制动器试验台的控制方法分析摘要 本文通过对汽车制动器试验台的试验原理和试验过程的分析，利用刚体力学以及自动控制原理，给出了制动器试验台的控制方法分析首先，通过对汽车制动器试验台模拟路试的原理和过程的分析，并结合刚体力学的基本原理，求出了问题1中的等效转动惯量与问题2中的电动机所补偿的惯量对于问题3，利用转动动能定理及相关力学原理，给出了电动机驱动电流关于飞轮角加速度的函数关系式，其中比例系数，为电动机补偿的惯量，进而得到电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型由该模型可以看出，对电动机驱动电流的控制和对飞轮角加速度的控制是等效的在此基础上，结合问题3中的已知数据，求出了相应的驱动电流利用统计方法

2、和能量误差分析方法，分别对问题4中所给控制方法的执行结果进行综合评价从相对标准差来看，该控制方法的误差并不大，稳定性也很好从能量误差来看，该控制方法也具有一定的可行性此外，利用问题4中的已知数据，对问题3中的数学模型进行了检验结果表明，该数学模型能够更好的刻画制动器试验台的制动过程利用自动控制中的微分控制方法，给出了制动器试验台的微分控制流程图，并用C语言对其模拟，得到调控后的扭矩-时间关系图，进而说明该微分控制是很稳定的，且其超调也很小此外，利用能量误差对该控制方法进行评价，结果表明，其能量误差是很小的从而表明，我们所设计的微分控制比问题4中所给的控制更具有可行性最后，我们对所设计的微分控制

3、进行了灵敏度的检验结果表明，如果将随机误差范围扩大一些，扭矩随时间的变化将会变得很不稳定；而如果将随机误差范围缩小一些，扭矩随时间的变化将会被抹平成一条直线这说明，我们所设计的微分控制对随机误差具有很高的灵敏度此外，我们还在微分控制过程中，随机的加入了一个阶跃干扰，结果得出的扭矩-时间曲线出现了一个奇异点为此，我们在微分控制中加入一个门坎限位滤波器，并用C程序对其进行了模拟模拟结果显示，加入滤波器后，阶跃干扰被滤去了，即扭矩-时间曲线中的奇异点消失了由此可见，在微分控制中加入一个滤波器，可以有效的提高系统的抗干扰能力，进而完善了我们所设计的微分控制方法 关键词：转动惯量；驱动电流；自动控制；能

4、量误差一、问题重述汽车行车制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能

5、一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成当制动器工作时会使主轴减速试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷将这个载荷的在汽车平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴的转动能量，与转动能量相应的转动惯量称为等效的转动惯量试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量飞轮组由若干

6、个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量假设有4个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80 kg·m2，基础惯量为10 kg·m2，则可以组成10，20，30，160 kg·m2的16种数值的机械惯量但对于等效的转动惯量为45.7 kg·m2的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验这个问题的一种解决方法是：把机械惯量设定为40 kg·m2，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则假设电动机的驱动电流与其产生的扭矩

7、成正比（本题中比例系数取为1.5 A/N·m）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，这里，能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差现在，我们要解答的问

8、题是：1. 设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转动惯量2. 飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kg·m2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 -30, 30 kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？3. 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0

9、秒后车速为零，计算驱动电流4. 对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kg·m2，机械惯量为35 kg·m2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表请对该方法执行的结果进行评价5. 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价6. 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价二、模型假设1. 试验台看是运转时，转速处于不稳定状态，从而使转速关于时间的函数为非线性的

10、鉴于非线性问题的复杂性，本文只考虑转速处于稳定状态的情形从而假设转速关于时间的函数为线性函数；2. 车轮是圆盘形的，飞轮是圆筒状的；3. 试验台的采样周期为10ms，在这10ms内试验台处于非监测状态，即失控状态假定试验台在失控状态下不会出现阶跃性扰动；4. 忽略观测误差和连续问题离散化所产生的误差三、符号说明符号意义符号意义前轮的滚动半径车辆制动时单个前轮承受的载荷重力加速度与荷载对应的质量车辆平动的速度角速度等效转动惯量钢材密度飞轮外径飞轮内经第个飞轮的厚度第个飞轮的质量第个飞轮的体积第个飞轮的转动惯量基础惯量电机补偿的惯量角加速度电机的扭矩阻力矩驱动电流四、模型的建立与分析1. 等效转动

11、惯量 车辆在制动时，单个前轮承受的载荷具有的动能为此外，当试验台上飞轮和主轴等机构以角速度转动时，其转动动能为由于这两个能量是相等的，即由，及以上各式可以解得已知，从而所求的等效转动惯量为2. 机械惯量和补偿惯量由圆筒状物体转动惯量的计算公式（见文1，）可知，而，由以上两式可知，由已知，从而三个飞轮的转动惯量分别为，此外，由排列组合知识可知，三个飞轮的转动惯量与基础惯量可以组成机械惯量的数量为，分别为， ， ， ， ， ， ， 由于电动机能补偿能量的相应惯量的范围为，可以发现与问题1中得到的等效转动惯量最接近于是，需要用电动机补偿的惯量为3. 电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型(1) 模型

12、建立令为飞轮所受力矩做的功，为飞轮的转动动能飞轮在转动过程中受到阻力矩和电机扭矩M的作用而做减速转动根据转动动能定理（见文2，），有又W是力矩对角位移的空间积累效应，即此外，飞轮转动动能的增量为于是 = (1)由于时间步长极小，可以认为在t到这段时间间隔里角加速度不变，则有另一方面，根据转动定理（见文2，），有 (2)事实上，W是由两部分组成的，即做的功和M做的功结合(1)式，如果将M做的功从总扭矩做的功之中分离出来，便有=将M从(2)式中分离出来，可得 (3)而扭矩和驱动电流的关系为 ， (4)其中进而可得电动机驱动电流依赖于飞轮角加速度的数学模型 (5)(2) 驱动电流的计算 记为车辆平动

13、速度关于时间t的函数，为飞轮角速度关于时间t的函数，则初始速度，末速度经过单位换算可以得到，又车轮的角加速度为，于是，由(3)式可得电机扭矩为由 (4)式可得所求驱动电流为4. 所给控制方法执行结果的评价下面我们利用统计的方法与能量误差的方法来评价所给控制方法的执行结果 首先我们根据所给数据，利用MATLAB作出转速-时间曲线图和扭矩-时间曲线图，如下图1：转速-时间关系图图2：扭矩-时间关系图从图1和图2中可以看出，飞轮开始转动时（约0到1s），角速度和电机扭矩处于不稳定状态，而在1s以后角速度开始大致成线性变化，电机扭矩在某个固定值上下振动，变得很有规律为了便于分析，我们只研究飞轮在1s以

14、后的运动状态(1)统计方法评价利用MATLAB求出扭矩的平均值和标准差为，进而相对标准差为从相对标准差来看，该控制方法的误差并不大，稳定性也很好(2)能量误差评价评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，在该过程中能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的试验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差，记为w在路试时由于是以恒定的力踏下制动踏板的，所以制动力恒定，可以认为汽车在做匀减速运动路试时制动器消耗的能量，为汽车初末状态动能之差，即 (6)利用MATLAB，对转速-时间关系图进行一阶拟合，得到直线方程为，其中n表示飞轮的转速 将转速单位换算成角速度单位，得到飞轮的角速度与时间之间的

15、关系从而角加速度大小为已知，从而=27.0738 rad/将上式代入(6)式，可得路试时制动器消耗的能量为在控制台上试验时，制动器实际消耗的能量为，其中表示飞轮t时刻的实际角速度从而能量误差为相对能量误差为从上面的分析可看出，该控制方法的能量误差是比较小的从上面两种评价方法来看，所给控制方法是具有可行性的(3) 数学模型的检验 从图2可以看出，扭矩总是在某个固定值上下振动下面从理论上来计算这个固定值将和代入(2)式，可算得此即为理论上得到的总扭矩的数值这与统计得到的相差无几，说明我们的模型比较好的符合了实际情况5. 计算机控制方法的设计与评价(1) 计算机控制方法的设计在问题3中我们已经得到了

16、反映驱动电流与角加速度的关系式由于k和都是常数，从而当给出角加速度时，驱动电流可以直接计算出来此外，调节驱动电流实际上就是调节角加速度所以下面只就角加速度的控制进行讨论下面，我们将采用自动控制中的经典方法微分控制（D）， 见文3-5给出初始条件和，便可以从理论上得出下一个时间段的角速度但实际的角速度会和理论值有一定的误差从而，实际的角速度可以表示为=理论上，可以从得出下一个时间段的角速度但是，的偏差会导致时角速度的偏差为了纠正这个偏差，就必须根据反馈回来的，对角加速度进行相应的调整，调整为按这个角加速度就可以使时的理论角速度为但这也是不现实的，实际的角速度为，两者之间存在一定的偏差同样的道理，

17、需要继续对角加速度进行调整这样一直调整下去直到完成微分控制流程图如下：图3：微分控制流程图(2) 微分控制流程的模拟与评价下面我们用C语言模拟微分控制流程在C语言里有一个产生随机数的函数rand()，可以用这个函数产生随机数来模拟实际中的误差，从而检验该微分控制方法在这里我们采用题4中1s时的角速度和理论上给出的角加速度（通过理论上给出的驱动电流可以计算出来）为初始条件，来检验该控制方法设计的C程序见附录1如果假定实际的随机误差范围在0.1%以内，调控后的扭矩-时间关系图如下：图4：调控后的扭矩-时间关系图由图4可知，这种微分控制是很稳定的，其超调也比较小此外，用和问题4同样的方法，可以得到这

18、种控制方法的能量误差为相对能量误差为从而该控制法的能量误差是很小的模拟结果和能量误差分析都说明，我们所设计的微分控制是一个行之有效的6. 计算机控制方法的完善与评价 (1) 微分控制的不足之处 问题5中，我们所设计的控制方法是微分控制法，这种控制法的缺陷是对类似阶跃的干扰过于敏感即对于比较大的误差将会出现控制量的急剧增加，从而使被控量变得很不稳定，甚至发散出去 通过计算机我们是可以模拟出这样的过程的在问题5中假定随机误差在0.1%的范围内如果将随机误差的范围扩大到1%，则会出现如下情况图5：调控后的扭矩-时间关系图如果将随机误差的范围缩小到0.01%，又会出现如下情况图6：调控后的扭矩-时间关

19、系图从图4和图5可以明显地看出，当随机误差变大时，曲线将会变得很不稳定；而当随机误差变小时，曲线将会变得很稳定也就是说，该控制方法对误差很灵敏如果在控制过程中给一个阶跃扰动（相关程序见附录2），将会出现如下情况，见图6图7：给出阶跃误差后的扭矩-时间关系图由图6可以看出，曲线出现了一个奇异点，说明如果给一个阶跃扰动的话，该控制系统将给出一个很大的扭矩，即给出一个很大的电流这样大的电流在试验台试验过程中出现是很不合理的从而微分控制的抗干扰能力比较弱(2) 微分控制的完善在控制系统中，为了防止阶跃干扰影响系统的稳定性，我们需要在系统中加入一个滤波器，把阶跃干扰滤掉在自动控理论中，常用的滤波器有均值

20、滤波器、门坎限位滤波器、Kalmen滤波器考虑到试验台的采样周期是一定的，而均值滤波器要求缩短采样周期，所以在我们的系统中不能采用均值滤波器此外，Kalmen自适应滤波器需要一个过程才可以开始滤波，也就是说相应速度比较慢而试验台在进行试验时对响应速度是要一定要求的，所以Kalmen滤波器不适应这个控制过程综合以上个因素的考虑，我们在控制过程中采用了门坎限位滤波器加入滤波器以后的微分控制流程图，如下：图8：加入滤波器后的微分控制流程图在(1)中的微分控制模拟程序（见附录3）中加入一段代码来模拟滤波器，将会得到如下曲线，见图8图9：加入滤波器后的扭矩-时间关系图可以看到，加入滤波器后，调控后的扭矩

21、（或驱动电流）将不会因为阶跃扰动而出现很大的跳跃五、模型展望在经典自动控制理论中，PID是一种基本的控制方法其中，比例控制（P）简单易行（只通过放大器就可以实现），可以使控制器的输出量快速变化，及时调整系统的被控量，也可以减小系统的稳态误差但是该控制会使系统输出量的超调增大，反而会使系统出现不稳定；积分控制（I）是对误差的积累（误差积分）进行控制的该控制具有抑制超调的作用，使系统输出更加平稳，并且对阶跃干扰具有较强的抗干扰能力但是这种控制的反应速度比较慢，对于快速系统来说会影响系统的跟踪能力或响应能力；微分控制（D）是对误差变化率进行放大，使被控量的误差虽未增大到最大，但有增大的趋势时，就加以

22、控制，以达到提前抑制误差增大的目的，即具有超前控制的能力但由于微分控制具有较强的灵敏性，所以微分控制会使系统的抗干扰能力下降显然，上述三种控制单独使用时各有优缺点，所以在实际控制中为了能得到更好的控制效果，克服他们各自的不足，应该根据实际情况有效的结合这三种控制方法，比如PI控制、PD控制或PID控制如为了提高动态响应指标，应该增大比例系数和微分系数；为了提高稳态指标，降低稳态误差，则需要增大比例系数，减小积分系数，对于具有微分环节的控制器，还应降低微分系数；从上述分析可见，对微分环节而言，动态指标和稳态指标是相互排斥的，也就是说在模拟系统中，很难使两个指标同时达到最优但是利用计算机实时计算的

23、优点，可以采用变参数的控制策略，实现两个指标的综合最优参考文献1 赵凯华，罗蔚茵，力学M，北京：高等教育出版社，20042 周衍柏，理论力学教程M，北京：高等教育出版社，19863 魏克新，王云亮，陈志敏，MATLAB语言与自动控制系统M，北京：机械工业出版社, 19974 孙志毅，李虹，自动控制理论M，北京：兵器工业出版社，20015 陈在平，杜太行，控制系统计算机仿真与CADMATLAB语言应用M，天津：天津大学出版社，2001附录1. 微分控制流程的模拟程序MoNi.c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include &l

24、t;math.h>#define TT 0.01#define M 283.0416#define I1 48#define I2 13#define A 5.8967#define K 1.5#define H 100000#define F 0.01int main(int argc,char *argv) double v1,v2,v3,tv2,a,m1,m2,i,t,v;FILE *fp1,*fp2;int j;if(fp1=fopen("1.txt","w")=NULL) printf("error!n");exit(

25、0);if(fp2=fopen("2.txt","w")=NULL) printf("error!n");exit(0);v1=48.7147;m1=M;m2=m1*I2/I1; i=K*m2;v2=v1-A*TT;for(t=1 ; t<=4.67 ; t+=0.01) j=rand()%100; v=1.0*j/H; if(rand()%2=1); else v=-v; v3=v2-A*TT; tv2=v2+v; a=(tv2-v3)/TT; m1=I1*a; m2=m1*I2/I1; i=K*m2; v2=v3; fpri

26、ntf(fp1,"%.2f ",m1); fprintf(fp2,"%.6f ",tv2);fclose(fp1);fclose(fp2);2. 阶跃扰动 RaoDong.cMoNi.c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define TT 0.01#define M 283.0416#define I1 48#define I2 13#define A 5.8967#define K 1.5#define H 100000#define F 0

27、.01int main(int argc,char *argv) double v1,v2,v3,tv2,a,m1,m2,i,t,v;FILE *fp1,*fp2;int j;if(fp1=fopen("1.txt","w")=NULL) printf("error!n");exit(0);if(fp2=fopen("2.txt","w")=NULL) printf("error!n");exit(0);v1=48.7147;m1=M;m2=m1*I2/I1; i=K*m2;v2=v1-A*TT;for(t=1 ; t<=4.67 ; t+=0.01) j=rand()%100; v=1.0*j/H; if(rand()%2=1); else v=-v; if(fabs(t-2.0)<1e-6)/阶跃扰动 v+=0.1; v3=v2-A*TT; tv2=v2+v; a=(tv2-v3)/TT; m1=I1*a; m2=m1*I2/I1; i=K*m2; v2=v3; fprintf(fp1,"%.2f ",m1); fprintf(fp2,&quo