全国高中数学联赛模拟试题13

1、2017年全国高中数学联赛模拟试题13第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1若正实数满足和，则的值是 2如果ABC中，tanA, tan B，tanC都是整数，且A >B>C，则tan B= 3设，当时，的小数点后第一位数字是 4若，则的值是 5函数满足则的值是 6在四面体ABCD内部有一点O，满足OA=OB=OC=4, OD=l，则四面体ABCD体积的最大值为 7设是椭圆的长轴端点，是椭圆上异于的点，自分别作直线则的交点轨迹方程是 8某人在黑板上玩写数字的游戏，每次他随机地写上中的某个数，如果他最后写上去的两数之和是一

2、个质数，那么游戏结束则他完成游戏时所写的最后一个数为的概率为 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9设函数（l）证明：当时，； (2)数列满足，证明：数列递减且 10设抛物线和双曲线交于点，这两条曲线的公切线分别切抛物线于点，切双曲线于点求的面积11设是3个模不大于1的复数，是方程的两个根 证明：对j1，2，3，都有2017年全国高中数学联赛模拟试题13加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）设为给定素数，是个整数，均不被整除，且模互不同余， 设其中记这里，表示整数被除的余数证明：二、（本小题满分40分）如图，在锐角中，已知，的角平分线与边交于点，点分别在边上

3、，使得四点共圆且满足求证：的内心是的外心三、（本题满分50分）对于任意一个实数数列，定义数列如下：求最小的正数，使得对任意实数数列及一切正整数，均有四、（本题满分50分）对于任意的整数证明：数列自某项起，各项对同余2017年全国高中数学联赛模拟试题13第一试参考解答（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1若正实数满足和，则的值是 解：令，则，从而解得因此2如果ABC中，tanA, tan B，tanC都是整数，且A >B>C，则tan B= 解：由于A > B > C，所以B, C都是锐角， tanB, tanC都是

4、正整数，这样所以A是锐角这时， 我们有,即但是，比较可知只可能3设，当时，的小数点后第一位数字是 解：由于，这两式相乘得因此，小数点后第一位数字是74若，则的值是 解：注意满足，从而又注意的虚部相等，结合可知，只需针对进行计算即可这时我们有 将代入，得故本题答案为5函数满足则的值是 解：记，其中等号右端有个那么注意从到这个过程中，的个数减少了2同样的推理可知继续此过程，就有.6在四面体ABCD内部有一点O，满足OA=OB=OC=4, OD=l，则四面体ABCD体积的最大值为 解：首先，固定A，B,C, D四点时，要使ABCD的体积最大，则D点到平面ABC的距离应最大但D点在以O为球心，1为半径

5、的球面上运动，故取最大值时，OD平面 ABC 设O在平面ABC的投影点为E，且|OE|=x那么， D到ABC的距离为1 + x而EA= EB=EC=，可知ABC的面积（注：这里用到，若 A , B , C是半径为 R 的圆上三点，则ABC的面积） 因此，ABCD的体积考虑函数，易知, 可见在（0, 3）上有唯一的临界点，在（0, 3）的最大值为=36. 从而所求最大值为7设是椭圆的长轴端点，是椭圆上异于的点，自分别作直线则的交点轨迹方程是 8某人在黑板上玩写数字的游戏，每次他随机地写上中的某个数，如果他最后写上去的两数之和是一个质数，那么游戏结束则他完成游戏时所写的最后一个数为的概率为 二、解

6、答题：本大题共3小题，共56分.9设函数（l）证明：当时，； (2)数列满足，证明：数列递减且 解： (1)待证式等价于，即令，则，可见，在上单调增，因此当时， (2)记，则要证明递减，只需证明当时，事实上，等价于，也即，注意，可见上式也等价于，即，这由（l）即证 要证明，只需证明当时，这等价于也即为证此式，令，则，且等号成立当且仅当，即因此在上单调增，于是得证 10设抛物线和双曲线交于点，这两条曲线的公切线分别切抛物线于点，切双曲线于点求的面积11设是3个模不大于1的复数，是方程的两个根 证明：对j1，2，3，都有证 由对称性，只需证明：不妨设。令，由得 ，因此，若，结论成立另一方面，由，得，所以，因此，当时，结论成立下设，如图，考虑以为顶点的三角形记和分别是三角形ABC的边BC上的中线和高，则由于，所以，由此推出都小于又因为，所以，即为锐角三角形所以，外接圆半径，于是，矛盾！因此这种情况不可能发生综上所述，原命题成立2017年全国高中数学联赛模拟试题13加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）设为给定素数，是个整数，均不被整除，且模互不同余， 设其中记这里，表示整数被除的余数证明：二、（本小题满分40分）如图，在锐角中，已知，的角平分线与边交于点，点分别在边