建筑结构抗震设计第三章

1、结构地震反应分析与抗震计算 2.1 场地划分与场地区划场地划分与场地区划2.2 地基抗震验算地基抗震验算2.3 地基土液化及其防治地基土液化及其防治回顾回顾常常 用用 希希 纳纳 字字 母母第三章 结构地震反应分析 与抗震计算 o 3.1 概述概述o 3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析单自由度体系的弹性地震反应分析o 3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱单自由度体系的水平地震作用与反应谱o 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析多自由度弹性体系的地震反应分析o 3.5 多自由度弹性体系最大地震反应与水平地震作用多自由度弹性体系最大地震反应与水平地震作用o 3.6 竖向地震作用竖向地震

2、作用o 3.7 结构平扭耦合地震反应与双向水平地震影响结构平扭耦合地震反应与双向水平地震影响o 3.8 结构非弹性地震反应分析结构非弹性地震反应分析o 3.9 结构抗震验算结构抗震验算主要内容2022-3-4结构抗震设计6第三章重点、难点和基本要求第三章重点、难点和基本要求o 重点和难点重点和难点：o 1、重要术语、概念、定义重要术语、概念、定义o 2、单（多）自由度体系地震反应和地、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算震作用计算o 3、底部剪力法、底部剪力法o 4、结构抗震验算、结构抗震验算o 基本要求：基本要求：o 掌握结构抗震验算基本方法掌握结构抗震验算基本方法3.1 3.1 概述概

3、述由地震动引起的结构内力、变形、由地震动引起的结构内力、变形、位移及结构运动速度与加速度等位移及结构运动速度与加速度等一、结构地震反应一、结构地震反应 ：由地震动引起的结构位移由地震动引起的结构位移地面运动地面运动结构动力特性：自振周期，振型和阻尼结构动力特性：自振周期，振型和阻尼1.1.结构地震反应结构地震反应2.2.结构地震位移反应结构地震位移反应：结构地震反应结构地震反应 影响因素影响因素 3.1 3.1 概述概述：能引起结构内力、变形等反应的各种因素能引起结构内力、变形等反应的各种因素二、地震作用二、地震作用 作用分作用分类类各种荷载：如重力、风载、土压力等各种荷载：如重力、风载、土压

4、力等各种非荷载作用：如温度、基础沉降、地震等各种非荷载作用：如温度、基础沉降、地震等 等效地震荷载等效地震荷载：工程上，可将地震作用等效为某种形式的荷载作用：工程上，可将地震作用等效为某种形式的荷载作用作用作用直接作用直接作用间接作用间接作用3.1 3.1 概述概述1. 1. 连续化描述（连续化描述（分布质量分布质量）三、三、结构动力计算简图及体系自由度结构动力计算简图及体系自由度描述结构质量的两种方法描述结构质量的两种方法采用集中质量方法确定结构计算简图采用集中质量方法确定结构计算简图 （步骤步骤）：）：2. 2. 集中化描述（集中化描述（集中集中质量）质量）工程上常用工程上常用 定出定出结

5、构质量结构质量集中集中 位置（质心）位置（质心）将区域主要质量将区域主要质量集中集中在质心；在质心；将次要质量将次要质量合并合并到相邻主要质量的质点上去到相邻主要质量的质点上去 集中化描述举例集中化描述举例a a、水塔建筑、水塔建筑(a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱主要质量：水箱部分主要质量：水箱部分次要质量：塔柱部分次要质量：塔柱部分水箱全部质量水箱全部质量部分塔柱质量部分塔柱质量集中到水箱质心集中到水箱质心单质点体系单质点体系b b、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）(a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱主要质量：屋面

6、部分主要质量：屋面部分厂房各跨质量厂房各跨质量集中到各跨屋盖标高处集中到各跨屋盖标高处 集中化描述举例集中化描述举例c c、多、高层建筑、多、高层建筑主要质量：楼盖部分主要质量：楼盖部分多质点体系多质点体系d d、烟囱、烟囱结构无主要质量部分结构无主要质量部分结构分成若干区域结构分成若干区域集中到各区域质心集中到各区域质心 (a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱(a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱多质点体系多质点体系返回目录返回目录关于体系自由度关于体系自由度定义；结构各质点运动的定义；结构各质点运动的独立参量数独立参量数即为结构运动的即为结构运动

7、的体系自由度体系自由度数。数。空间中一个空间中一个自由质点自由质点：1.不加限制可以有不加限制可以有3个自由度；个自由度；2.若限制于平面内运动，则只有若限制于平面内运动，则只有2个自由度。个自由度。工程结构体系中的质点；工程结构体系中的质点；1.受实际结构约束，其自由度可能小于受实际结构约束，其自由度可能小于自由自由质点质点的自由度数。的自由度数。当考虑到结构竖向约束作用，忽略质点竖向位移时，则质点在竖直平当考虑到结构竖向约束作用，忽略质点竖向位移时，则质点在竖直平面内有一个自由度，而在空间中有两个自由度。面内有一个自由度，而在空间中有两个自由度。惯性力惯性力 、阻尼力、阻尼力 、弹性恢复力

8、、弹性恢复力3.2 3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析单自由度体系的弹性地震反应分析一、运动方程一、运动方程作用在质点上的三种力：作用在质点上的三种力：Ifcfrf惯性力惯性力)(xxmfgI 阻尼力阻尼力 xcfc由结构内摩擦及结构周围介质（如空气由结构内摩擦及结构周围介质（如空气水等）对结构运动的阻碍造成水等）对结构运动的阻碍造成 弹性恢复力弹性恢复力 由结构弹性变形产生由结构弹性变形产生 C C 阻尼系数阻尼系数 k k 体系刚度体系刚度 f f=-kx=-kx地面发生位移地面发生位移建筑发生的相对地面位移建筑发生的相对地面位移力的平衡条件：力的平衡条件：0rcIfffgxmkxxc

9、xm 令令kmmc2gxxxx 22二、运动方程的解二、运动方程的解1. 1.方程的齐次解方程的齐次解自由振动自由振动 齐次方程齐次方程：022xxx 自由振动：在没有外界激励的自由振动：在没有外界激励的情况下结构体系的运动情况下结构体系的运动无震时地面运动加速度无震时地面运动加速度-XgXg=0km无阻自振频率无阻自振频率阻尼比阻尼比01为共轭复数为共轭复数，（2 2）若）若方程的解：方程的解：特征方程特征方程0222rr特征根特征根121r122r（4 4）若）若 ， 、 为负实数为负实数11r2rtrtrecectx2121)(121rrtetcctx)()(21（3 3）若）若，1r2

10、r、)sincos()(21tctcetxDDt体系不振动体系不振动过阻尼状态过阻尼状态体系不振动体系不振动临界阻尼状态临界阻尼状态体系产生振动体系产生振动欠阻尼状态欠阻尼状态21D其中其中图图 各种阻尼下单自由度体系的自由振动各种阻尼下单自由度体系的自由振动当当1临界阻尼系数：临界阻尼系数：mcr2临界阻尼比（简称阻尼比）临界阻尼比（简称阻尼比）rcc（1 1）若）若tx(t)x(t)0=10112( )cossinx tctct10体系自由振动体系自由振动无阻尼状态无阻尼状态初始条件初始条件: :)0(0 xx )0(0 xx , 初始速度初始速度01xc Dxxc002则则体系自由振动位

11、移时程体系自由振动位移时程 sincos)(000txxtxetxDDDt初始位移初始位移当当 （无阻尼）（无阻尼）000( )cossinxx txttkm固有频率固有频率kmT22固有周期固有周期无阻尼单自由度体系无阻尼单自由度体系自由振动为简谐振动自由振动为简谐振动自振的振幅将不断衰减，直至消失自振的振幅将不断衰减，直至消失 有阻尼体系有阻尼体系例题例题3-13-1kg10000mkN/cm1k已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图）。已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图）。，求该结构的自振周期。求该结构的自振周期。 解解：直接由式：直接由式(a) 水塔hh(b) 厂房(c)

12、多、高层建筑(d) 烟囱kmT22并采用国际单位可得并采用国际单位可得: : skmT99. 110/1011000022232.2.方程的特解方程的特解I I简谐强迫振动简谐强迫振动 地面简谐运动地面简谐运动 使体系产生简谐强迫振动使体系产生简谐强迫振动 tAtxggsin)(设设，代入运动方程，代入运动方程222singgxxxAt 方程的特解方程的特解（零初始条件（零初始条件22222)(2)(1cos2sin)(1)()(gggggggttAtx)sin()(tBtxg化简为化简为振幅放大系数振幅放大系数 2222)(2)(1)/(gggABA A 地面运动振幅地面运动振幅 B B 体

13、系质点的振幅体系质点的振幅 0)0(x0)0(x ）：）：0.20.5125/g12图图 单自由度体系简谐地面强迫振动振幅放大系数单自由度体系简谐地面强迫振动振幅放大系数1/g达到最大值达到最大值 共振共振2.2.方程的特解方程的特解II II冲击强迫振动冲击强迫振动 图图 地面冲击运动地面冲击运动地面冲击运动：地面冲击运动：dtdtxxgg00)( 对质点冲击力：对质点冲击力：dtdtxmPg00 质点加速度（质点加速度（0 0dtdt）：）：gxmPa dtdt时刻的速度：时刻的速度：dtxdtmPVg dtdt时刻的位移：时刻的位移：0)(212dtmPd地面冲击作用后，体系不再受外界任

14、何作用，将做自由振动地面冲击作用后，体系不再受外界任何作用，将做自由振动 dtxVg 根据自由振动位移方程，可得根据自由振动位移方程，可得tdtextxDDtgsin)( 自由振动初速度为自由振动初速度为图图 体系自由振动体系自由振动D有阻尼单自由度体系自振频率有阻尼单自由度体系自振频率地震地面运动一般为不规则往复运动地震地面运动一般为不规则往复运动 求解方法：求解方法：将地面运动分解为很多个脉冲运动将地面运动分解为很多个脉冲运动tdxg)( 时刻的地面运动脉冲时刻的地面运动脉冲 4.4.方程的特解方程的特解III III 一般强迫振动一般强迫振动 地面运动加速度时程曲线地面运动加速度时程曲线

15、引起的体系反应为：引起的体系反应为： ttdxettdxDDgt)(sin)(0)()( 叠加：体系在叠加：体系在t t时刻的地震反应为：时刻的地震反应为：方程通解（单自由度体系）：方程通解（单自由度体系）：体系地震反应（通解）体系地震反应（通解）=自由振动（齐次解）自由振动（齐次解）+强迫振动（特解）强迫振动（特解）初位移、初速度引起初位移、初速度引起迅速衰减，可不考虑迅速衰减，可不考虑地面运动地面运动引起引起返回目录返回目录()001( )( )( )sin()tttgDDx tdx txetd地面运动脉冲引起的单自由度体系反应地面运动脉冲引起的单自由度体系反应杜哈密积分杜哈密积分3.33

16、.3单自由度体系的水平地震作用与反应谱单自由度体系的水平地震作用与反应谱一、水平地震作用的定义一、水平地震作用的定义单自由度体系的地震作用单自由度体系的地震作用maxmax)(xxmxxmFgg 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程 ()()gm xxcxkx 加速度最大加速度最大0 x maxmax)(xkxxmg F =地震作用地震作用求得地震作用后，即可按求得地震作用后，即可按静力分析方法静力分析方法计算结构的最大位移反应计算结构的最大位移反应 质点所受最大惯性力，即质点所受最大惯性力，即maxmax()gm xxcxkx单自由度体系的地震最大绝对加速度反应与其自振周期单自由度体系的

17、地震最大绝对加速度反应与其自振周期T 的关系，记为的关系，记为 二、地震反应谱二、地震反应谱地震加速度反应谱（地震反应谱）：地震加速度反应谱（地震反应谱）：)(TSa()001( )( )( )sin()tttgDDx tdx txetd 杜哈密积分杜哈密积分tDDtgDtextx02)()(sin)(1)()( 求导求导)()(cos2txdtgDD D2T一般结构阻尼比较小一般结构阻尼比较小；得到地震反应谱得到地震反应谱（实质是包含了地动及结构的加速度与周期（实质是包含了地动及结构的加速度与周期的变化关系曲线）的变化关系曲线）max0)(2)(2sin)(2ttTgdtTexT max)(

18、)()(txtxTSga max0)()(sin)(ttgdtex 地震加速度反应谱的意义地震加速度反应谱的意义 地震（加速度）反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组地震（加速度）反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比阻尼比相同但相同但自振周期自振周期各不相同的单自由度体系，所引起的各体系各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大加速度最大加速度反应反应与相应体系自振周期间的关系曲线与相应体系自振周期间的关系曲线 T1T1sa(T)TT2T2T3T3T4T4T5T5=0( )gx t影响地震反应谱的因素：影响地震反应谱的因素：两个影响因素：两个影响因素：1.1.体系阻尼比体系阻尼

19、比 2.2.地震动地震动1.1.体系阻尼比体系阻尼比体系阻尼比越大体系阻尼比越大体系地震加速度反应越小体系地震加速度反应越小地震反应谱值越小地震反应谱值越小 图图 阻尼比对地震反应谱的影响阻尼比对地震反应谱的影响Sa/xg maxT(s)4.02.01.01.03.04.02.03.0=0.010.030.050.1001rcc2.2.地震动地震动不同的地震动将有不同的地震反应谱不同的地震动将有不同的地震反应谱 地震动特性三要素地震动特性三要素 : : 振幅振幅 、频谱频谱 、持时持时 地震动振幅地震动振幅 仅对仅对 地震反应谱值地震反应谱值 大小大小 有影响有影响振幅振幅振幅越大振幅越大地震

20、反应谱值越大地震反应谱值越大呈线性比例关系呈线性比例关系频谱：地面运动各种频率（周期）成分的加速度幅值的对应关系频谱：地面运动各种频率（周期）成分的加速度幅值的对应关系不同场地条件下的平均反应谱不同场地条件下的平均反应谱 不同震中距条件下的平均反应谱不同震中距条件下的平均反应谱 地震反应谱峰值地震反应谱峰值对应的周期也越长对应的周期也越长 场地越软场地越软震中距越大震中距越大地震动主要频率成份越小地震动主要频率成份越小（或主要周期成份越长）（或主要周期成份越长）地震动频谱对地震反应谱的地震动频谱对地震反应谱的 形状形状 有影响有影响 持时持时对最大反应或地震反应谱影响不大对最大反应或地震反应谱

21、影响不大 G G 体系的重量；体系的重量； 地震系数；地震系数； 动力系数动力系数二、地震反应谱二、地震反应谱设计反应谱：设计反应谱：地震反应谱直接用于结构的抗震设计有一定的困难，地震反应谱直接用于结构的抗震设计有一定的困难，而需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称之为设计反应谱而需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称之为设计反应谱 maxmax( )G( )gagxS TFmgkTgxk)(T)(TmSFa地震系数地震系数定义：定义：gxkgmax 可将地震动振幅对地震反应谱的影响分离出来可将地震动振幅对地震反应谱的影响分离出来 基本烈度基本烈度6789地震系数地震系数k0.050.10

22、（0.15）0.20（0.30）0.40烈度每增加一度地震烈度每增加一度地震系数大致增加一倍系数大致增加一倍 动力系数动力系数定义定义意义：意义：体系最大加速度的放大系数体系最大加速度的放大系数max)()(gaxTST 体系最大加速度体系最大加速度地面最大加速度地面最大加速度是规则化的地震反应谱是规则化的地震反应谱为使动力系数能用于结构抗震设计，采取以下措施：为使动力系数能用于结构抗震设计，采取以下措施： 05. 01.1.取确定的阻尼比取确定的阻尼比，因大多数实际建筑结构的阻尼比在，因大多数实际建筑结构的阻尼比在0.050.05左右左右考虑阻尼比对地震反应谱的影响考虑阻尼比对地震反应谱的影

23、响 nTTnii105. 0)()(2.2.按场地、震中距将地震动记录分类按场地、震中距将地震动记录分类3.3.计算每一类地震动记录动力系数的平均值计算每一类地震动记录动力系数的平均值考虑地震动频谱的影响因素考虑地震动频谱的影响因素 考虑类别相同的考虑类别相同的 不同地震动记录不同地震动记录 地震反应谱的变异性地震反应谱的变异性工程设计采用的动力系数谱曲线工程设计采用的动力系数谱曲线25. 2max2max0/45. 01gT 特征周期，特征周期， 与场地条件和设计地震分组有关与场地条件和设计地震分组有关 结构自振周期结构自振周期衰减指数，取衰减指数，取0.91直线下降段斜率调整系数，直线下降

24、段斜率调整系数， 取取0.020.022阻尼调整系数，取阻尼调整系数，取1.0T值：值：地震影响系数地震影响系数定义定义)()(TkT图图 地震影响系数谱曲线地震影响系数谱曲线 maxmaxk图中图中我国建筑抗震采用两阶段设计，各设计阶段的我国建筑抗震采用两阶段设计，各设计阶段的max地震影响地震影响设防烈度设防烈度6789多遇地震多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震罕遇地震-0.50（0.72）0.90（1.20）1.40g15. 0g30. 0注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度取注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度取和和的地区的地区 场地类别场

25、地类别阻尼对地震影响系数的影响阻尼对地震影响系数的影响当结构阻尼比不等于当结构阻尼比不等于0.050.05时，其时，其形状参数作如下调整形状参数作如下调整 ：1.1.曲线下降段衰减指数的调整曲线下降段衰减指数的调整 55 . 005. 09 . 02.2.直线下降段斜率的调整直线下降段斜率的调整 8/ )05. 0 (02. 01max的调整：的调整： 3.3.max表中值应乘以阻尼调整系数表中值应乘以阻尼调整系数7 . 106. 005. 01255. 0255. 02当当取取地震作用计算地震作用计算由由GF)(TmSFa( )( )aS TTg例题例题3-23-2kg10000mkN/cm

26、1k水塔结构，同例水塔结构，同例3-13-1。，(a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱 位于位于IIII类场地第二组，基本烈度为类场地第二组，基本烈度为7 7度度（地震加速度为（地震加速度为0.10g),0.10g),阻尼比阻尼比03. 0求该结构多遇地震下的水平地震作用求该结构多遇地震下的水平地震作用 08. 0maxsTg4 . 0解；查表解；查表3-3，查表查表3-2，18. 103. 07 . 106. 003. 005. 017 . 106. 005. 012931. 003. 055 . 003. 005. 09 . 055 . 005. 09 . 00.93

27、1max0.4()()(0.08 1.18)1.99gTT由图由图3-123-12（地震影响系数谱曲线）（地震影响系数谱曲线） N207981. 9100000212. 0GF0.0212此时应考虑阻尼比对地震影响系数形状的调整。此时应考虑阻尼比对地震影响系数形状的调整。返回目录返回目录3.4 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析多自由度弹性体系的地震反应分析一、多自由度弹性体系的运动方程图图 多自由度体系的变形多自由度体系的变形在单向水平地面运动作用下，多自由度体系在单向水平地面运动作用下，多自由度体系的变形如图所示。的变形如图所示。设该体系各质点的相对水平位移为设该体系各质点的相对水平位

28、移为x xi i(i=1,2,n), (i=1,2,n), 其中其中n n为体系自由度数，为体系自由度数，则各质点所受的水平惯性力为则各质点所受的水平惯性力为)(111xxmfgI )(222xxmfgI )(ngnInxxmf 体系水平惯性力体系水平惯性力 )1(gxxMF 其中其中 TInIIfffF,21 Tnxxxx ,21T1 , 1 , 11nmmmM21刚度方程：刚度方程： FxK多自由度体系多自由度体系无阻尼无阻尼运动方程运动方程 gxMxKxM 1多自由度多自由度有阻尼有阻尼体系运动方程体系运动方程 gxMxKxCxM 1图图 多自由度体系的变形多自由度体系的变形 12,Tn

29、xx xx Tnxxxx,21( ( 各质点振幅）各质点振幅）二、多自由度体系的自由振动自由振动方程自由振动方程不考虑阻尼的影响，体系不受外界作用，令不考虑阻尼的影响，体系不受外界作用，令多自由度自由振动方程多自由度自由振动方程 0gx 0 xKxM 动力特征方程动力特征方程 0)(2MK设方程的解为设方程的解为 )sin(tx Tn,21 )sin(2tx 关于时间关于时间t t微分两次得微分两次得 0)sin()(2tMK代入振动方程得：代入振动方程得：0)sin(t由于由于则须有：则须有：自振频率自振频率体系发生振动，体系发生振动， 有非零解有非零解，则必有：，则必有： 02MK多自由度

30、体系的动力特征值方程多自由度体系的动力特征值方程 ), 2 , 1(nii其解由小到大排列为其解由小到大排列为22221,n为体系第为体系第i阶自由振动圆频率阶自由振动圆频率 一个一个n n自由度体系，有自由度体系，有n n个自振圆频率，即有个自振圆频率，即有n n种自由振动方式或状态种自由振动方式或状态动力特征方程动力特征方程 0)(2MK例题例题3-33-3计算仅有两个自由度体系的自由振动频率计算仅有两个自由度体系的自由振动频率 22211211kkkkK2100mmM解：由式解：由式 21222211211200| |mmkkkkMK)()()(2112221121222112221kk

31、kkmkmkmm 02MK0解上方程得：解上方程得：212112221122221112221112221)(21)(21mmkkkkmkmkmkmk可得：可得：多自由度体系以某一阶圆频率多自由度体系以某一阶圆频率振型振型i自由振动时，自由振动时， 将有一特定的振幅将有一特定的振幅i与之相应与之相应 它们之间应满足动力特征方程它们之间应满足动力特征方程 0)(2iiMK T121,ininiii设设T121 1 ,/,/,/inininiiniin 11niini与与相应，用分块矩阵表达相应，用分块矩阵表达 inininiiCBBAMKT1112)(则动力特征方程则动力特征方程 011T111

32、niinininiinCBBA展开得展开得 0111nininiBA 01T1ininiCB 1111nininiBA解得解得 （*）（*）将（将（* * *）代入（）代入（* *），可用以复验），可用以复验求解结果的正确性求解结果的正确性 1ni由此得体系以由此得体系以i频率自由振动的解为频率自由振动的解为 )sin(taxiii体系在自由振动过程中的形状保持不变体系在自由振动过程中的形状保持不变 定义：振型定义：振型 iiiai把反映体系自由振动形状的向量把反映体系自由振动形状的向量称为称为振型振型称为规则化的振型，也可简称为振型称为规则化的振型，也可简称为振型 把把i也称为第也称为第i

33、i 阶振型阶振型 令令iina 11nii iiia例题例题3-43-4三层剪切型结构如图所示，三层剪切型结构如图所示，求该结构的自振圆频率和振型求该结构的自振圆频率和振型 解：该结构为解：该结构为3 3自由度体系，自由度体系， 质量矩阵和刚度矩阵分别为质量矩阵和刚度矩阵分别为kg1010005 . 100023Mm/N106 . 06 . 006 . 08 . 12 . 102 . 136K先由特征值方程求自振圆频率，令先由特征值方程求自振圆频率，令600B2得得0B11-01B5 . 13202-B25| |2MK或或02-B5 . 7B5 . 5B23由上式可解得由上式可解得351. 0

34、B161. 1B254. 3B3从而由从而由 B600得得 rad/s5 .141rad/s3 .312rad/s1 .463由自振周期与自振频率的关系由自振周期与自振频率的关系 /2T ，可得结构的各阶自振，可得结构的各阶自振s433. 0T1s202. 0T2s136. 0T3周期分别为周期分别为各质点振幅各质点振幅 8 .38960006006 .14841200012005 .2579)(21MK 1111nininiBA由由得得648. 0301. 060006 .1484120012005 .257911211代入代入 01T1ininiCB校核校核08 .389648. 0301

35、. 0600, 0则第一阶振型为则第一阶振型为 1648. 0301. 01同样可求得第二阶和第三阶振型为同样可求得第二阶和第三阶振型为 1601. 0676. 02 157. 247. 23为求第一阶振型，将为求第一阶振型，将 rad/s5 .141代入代入 将各阶振型用图形表示将各阶振型用图形表示: : 1110.6480.301-0.601-0.676-2.57-2.47第一阶振型第一阶振型第二阶振型第二阶振型第三阶振型第三阶振型振型具有如下特征振型具有如下特征: : 对于串联多质点多自由度体系，其第几阶振型，在振型图对于串联多质点多自由度体系，其第几阶振型，在振型图上就有几个节点（振型

36、曲线与体系平衡位置的交点上就有几个节点（振型曲线与体系平衡位置的交点 ) ) 利用振型图的这一特征，可以定性判别所得振型正确与否利用振型图的这一特征，可以定性判别所得振型正确与否 交点交点交点交点交点交点o 模型模型o 第一振型第一振型o 第二振型第二振型o 第三振型第三振型o 第四振型第四振型o 第五振型第五振型o 第六振型第六振型o 第七振型第七振型上海环球金融中心上海环球金融中心o 第一振型第一振型o 第二振型第二振型o 第三振型第三振型o 第四振型第四振型o 第五振型第五振型振型的正交性振型的正交性体系动力特征方程改写为体系动力特征方程改写为 MK2上式对体系任意第上式对体系任意第i

37、i 阶和第阶和第j j 阶频率和振型均应成立阶频率和振型均应成立 iiiMK2 jjjMK2两边左乘两边左乘 Tj Ti jijjiMKT2T式(2)两边转置两边左乘两边左乘 刚度矩阵和质量矩阵的对称性 ijjijMKT2T ijiijMKT2T(1)(1) (2)(2) (3)(3) （1 1）、（）、（3 3）两式相减得：两式相减得： 0)(T22ijjiMji ji如如则则 0TijMji (4)(4) （4 4）式代入（）式代入（1 1）式）式 ，得：，得： 0TijKji (5) (5) 三、地震反应分析的振型分解法三、地震反应分析的振型分解法运动方程的求解运动方程的求解由振型的正交

38、性，体系地震位移反应向量由振型的正交性，体系地震位移反应向量 jnjjqx1), 2 , 1(njqj称为称为 振型正则坐标振型正则坐标 jq唯一对应，是时间的函数唯一对应，是时间的函数 x与与代入多自由度体系一般有阻尼运动方程得：代入多自由度体系一般有阻尼运动方程得： gjjjjnjjjxMqKqCqM 1)(1 gijjijjinjjjixMqKqCqM 1)(TTT1T将上式两边左乘将上式两边左乘 Ti得得（1 1）（2 2）注意到振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性式，并设振型关于注意到振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性式，并设振型关于阻尼矩阵也正交，即阻尼矩阵也正交，即 0TjiCji

39、 则式则式（2 2）成为：成为： giiiiiiiiiixMqKqCqM 1TTTT ijiijMKT2T由由可得：可得： iiiiiMKTT2 iiiiiiMCTT2 iiiiMMTT1令令（3 3） giiiiiiixqqq 22计算可得：计算可得：分解分解n n自由度体系的自由度体系的n n 维联立运动微分方维联立运动微分方程程n n个独立的关于正则坐标的单自由度体系运动微分方个独立的关于正则坐标的单自由度体系运动微分方程程与一单自由度体系的运动方程相同与一单自由度体系的运动方程相同 gxxxx 22则将式则将式（3 3）两边同除以两边同除以 iiMT由杜哈密积分，可得式由杜哈密积分，可

40、得式（4 4）的解为的解为（4 4）tiDtgiiDidtextqii0)()(sin)(1)( )(tii其中其中21iiiD阻尼比为阻尼比为 i、自振频率为、自振频率为 i的的单自由度体系的地震位移反应单自由度体系的地震位移反应多自由度体系地震位移反应的解多自由度体系地震位移反应的解 njjnjjjjtxttx11)()()()(txj多自由度体系的地震反应可通过分解为各阶振型地震反应求解，多自由度体系的地震反应可通过分解为各阶振型地震反应求解，故称故称振型分解法振型分解法 体系的第体系的第j 阶振型阶振型 地震反应地震反应 阻尼矩阵的处理阻尼矩阵的处理M KC振型关于下列矩阵正交：振型关

41、于下列矩阵正交：刚度矩阵刚度矩阵阻尼矩阵阻尼矩阵振型分解法的前提：振型分解法的前提：质量矩阵质量矩阵无条件满足无条件满足采用瑞雷阻尼矩阵采用瑞雷阻尼矩阵KbMaC返回目录返回目录为使阻尼矩阵具有正交性为使阻尼矩阵具有正交性 iiiiiMKTT2 iiiiiiMCTT2由于由于22iiiba22jjjba得得22)(2ijijjijia22)(2ijiijjb实际计算时，实际计算时，可取对结构地震反应可取对结构地震反应影响最大的两个振型的频率，影响最大的两个振型的频率，并取并取 ji确定瑞雷阻尼矩阵中待定系数确定瑞雷阻尼矩阵中待定系数a a、b b： 任取体系两阶振型任取体系两阶振型 i j、

42、iiiiiiKbMaCTTT jjjjjjKbMaCTTTKbMaC3.5 3.5 多自由度弹性体系的最大地震反应多自由度弹性体系的最大地震反应 与与 水平地震作用水平地震作用一、振型分解反应谱法理论基础：地震反应分析的振型分解法理论基础：地震反应分析的振型分解法 及地震反应谱概念及地震反应谱概念 由于各阶振型由于各阶振型的线性组合，即的线性组合，即,21n是相互独立的向量，则可将单位向量是相互独立的向量，则可将单位向量), 2 , 1(nii表示成表示成1 niiia11其中其中ia TMj为待定系数，为确定为待定系数，为确定将式（将式（1 1）两边左乘）两边左乘ia得得（1 1） jjjn

43、iijijMaMaM1T1TT由上式解得由上式解得 jjjjjMMaTT1（2 2） 11niii质点质点i i任意时刻的地震惯性力任意时刻的地震惯性力 TT1jjjjMM其中其中图图 多质点体系多质点体系对于右图所示的多质点体系，质点对于右图所示的多质点体系，质点i i任意时刻的任意时刻的水平相对位移反应为水平相对位移反应为njjijjittx1)()(则质点则质点i i在任意时刻的水平相对加速度反应为在任意时刻的水平相对加速度反应为njjijjittx1)()( 将水平地面运动加速度表达成将水平地面运动加速度表达成 )()()(1txtxgnjjijg 将式将式（2 2）代入式代入式（1

44、1）得如下以后有用的表达式得如下以后有用的表达式振型j在质点i处的位移 为质点为质点i 的第的第j 振振型水平地震惯性力型水平地震惯性力 ( )( )iigfm x tx t )()(11txtmgnjjijnjjijji njjigjnjjijiftxtm11)()( jif则可得质点则可得质点i i任意时刻的水平地震惯性力为任意时刻的水平地震惯性力为质点质点i i的第的第j j振型水平地震作用振型水平地震作用将质点将质点i i的第的第j j振型水平地震作用定义为该阶振型最大惯性力，即振型水平地震作用定义为该阶振型最大惯性力，即maxFjijifmax)()()(txtxTSga max)(

45、)(Ftxtmgjjijiji 则则根据地震反应谱的定义根据地震反应谱的定义)(FjajijijiTSmjijjijjijijiGgm)(F采用设计反应谱，则由采用设计反应谱，则由iG质点质点i i的重量；的重量；j按体系第按体系第j j 阶周期计算的阶周期计算的 第第j j 振型地震影响系数振型地震影响系数 可得可得( )( )aS TTg可得可得水平地震作用水平地震作用通过各振型反应通过各振型反应振型组合振型组合由振型由振型j j各质点水平地震作用各质点水平地震作用jSjSS，此称为此称为振型组合振型组合 由各振型产生的地震作用效应，采用由各振型产生的地震作用效应，采用“平方和开方平方和开

46、方”法确定：法确定：2jSS注：注：由于各振型最大反应不在由于各振型最大反应不在 同一时刻发生，因此直接同一时刻发生，因此直接 由各振型最大反应叠加估计由各振型最大反应叠加估计 体系最大反应，结果会偏大体系最大反应，结果会偏大 ，按静力分析方法计算，按静力分析方法计算，可得体系振型可得体系振型j j某特定最大地震反应某特定最大地震反应估计体系最大地震反应估计体系最大地震反应SRSS法法例题例题3-53-5三层剪切型结构同例三层剪切型结构同例3-43-4。s433. 0T1s202. 0T2s136. 0T3 1648. 0301. 01 1601. 0676. 02 157. 247. 23结

47、构处于结构处于8 8度区（地震加速度为度区（地震加速度为0.20g0.20g），），I I类场地第一组，类场地第一组，结构阻尼比为结构阻尼比为0.050.05。试采用。试采用振型分解反应谱法振型分解反应谱法，求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。 已知已知解：由解：由 niinijiijjjjjimmMM121TT1得得421. 1301. 02648. 05 . 11301. 02648. 05 . 11221510. 0)676. 0(2)601. 0(5 . 11)676. 0(2)601. 0(5 . 11222090. 047

48、. 22)57. 2(5 . 1147. 22)57. 2(5 . 11223查查 表表3-2(3-2(特征周期值表特征周期值表) ) 、3-33-3（水平地震影响系数最大值表）（水平地震影响系数最大值表）得：得： s25. 0gT16. 0max设计地震分组场地类别IIIIIIIV第一组0.250.350.450.65第二组0.300.400.550.75第三组0.350.450.650.90表3-2特征周期值 Tg(s)max地震影响设防烈度6789多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震-0.50（0.72）0.90（1.20）1.40表3-3水平地震影响

49、系数最大值返回返回则（参见则（参见图图3-123-12地震影响系数谱曲线地震影响系数谱曲线）10.0976230.16jijjijiGF由由得第一振型各质点（或各楼面）水平地震作用为得第一振型各质点（或各楼面）水平地震作用为kN818. 0301. 0421. 10976. 08 . 9211FkN321. 1648. 0421. 10976. 08 . 95 . 112FkN359. 11421. 10976. 08 . 90 . 113Fs25. 0gT图3-12 地震影响系数谱曲线 返回返回9 . 055 . 005. 09 . 0s433. 0T1s202. 0T2s136. 0T30

50、976. 016. 0433. 025. 09 . 0max9 . 011TTg16. 0max216. 0max3第二振型各质点水平地震作用为第二振型各质点水平地震作用为kN081. 1)676. 0()510. 0(16. 08 . 9221FkN721. 0)601. 0()510. 0(16. 08 . 95 . 122FkN800. 01)510. 0(16. 08 . 90 . 123F第三振型各质点水平地震作用为第三振型各质点水平地震作用为kN697. 047. 209. 016. 08 . 9231FkN529. 0)57. 2(09. 016. 08 . 95 . 132Fk

51、N141. 0109. 016. 08 . 90 . 133F则由则由各振型水平地震作用产生的底部剪力为各振型水平地震作用产生的底部剪力为kN498. 3FFFV13121111kN002. 1FFFV23222121kN309. 0FFFV33323131通过振型组合求结构的最大底部剪力为通过振型组合求结构的最大底部剪力为222211VV3.4981.0020.309j3.652kN若仅取前两阶振型反应进行组若仅取前两阶振型反应进行组合合kN639. 3002. 1498. 3V221由各振型水平地震作用产生的结构顶点位移为由各振型水平地震作用产生的结构顶点位移为31321312113121

52、113FFFFFFUkkkm10442. 66001.3591200359. 1321. 11800498. 3332322322123222123FFFFFFUkkkm10799. 06000.800-1200)800. 0(721. 01800081. 1333323332133323133FFFFFFUkkkm10083. 06000.1411200141. 0)529. 0(1800309. 03通过振型组合求结构的最大顶点位移通过振型组合求结构的最大顶点位移mm492. 6083. 0)799. 0(442. 610UU2223233j若仅取前两阶振型反应进行组合若仅取前两阶振型反应

53、进行组合mm491. 6)799. 0(442. 610U2233注意注意振型分解反应谱法计算结构最大地震反应振型分解反应谱法计算结构最大地震反应易犯错误易犯错误：先将各振型地震作用组合成总地震作用，然后用总地震作用计算结构总地震反应先将各振型地震作用组合成总地震作用，然后用总地震作用计算结构总地震反应 正确的计算次序：正确的计算次序： 先由振型地震作用计算振型地震反应，再由振型地震反应组合成总地震反应先由振型地震作用计算振型地震反应，再由振型地震反应组合成总地震反应 以本例底部剪力结果加以说明：以本例底部剪力结果加以说明： 若先计算总地震作用，则各楼层处的总地震作用分别为若先计算总地震作用，

54、则各楼层处的总地震作用分别为kN524. 1697. 0081. 1818. 0FFFF2222312212111kN318. 2)529. 0(721. 0321. 1FFFF2222322222122kN609. 1141. 0)800. 0(359. 1FFFF2222332232133按上面各楼层总地震作用所计算的结构底部剪力为按上面各楼层总地震作用所计算的结构底部剪力为kN451. 5609. 1318. 2524. 1FFFV3211与前面正确计算次序的结果相比，值偏大与前面正确计算次序的结果相比，值偏大 原因原因: 振型各质点地震作用有方向性，负值作用与正值作用方向相反，振型各质

55、点地震作用有方向性，负值作用与正值作用方向相反，而按平方和开方的方法计算各质点总地震作用，没有反映振型各质点地而按平方和开方的方法计算各质点总地震作用，没有反映振型各质点地震作用方向性的影响。震作用方向性的影响。 振型组合时振型反应数的确定振型组合时振型反应数的确定 结构的低阶振型反应大于高阶振型反应结构的低阶振型反应大于高阶振型反应振型反应的组合数可按如下规定确定振型反应的组合数可按如下规定确定 不需要取结构全部振型反应进行组合不需要取结构全部振型反应进行组合（1 1）一般情况下，可取结构前一般情况下，可取结构前2-32-3阶振型反应进行组合，但不多于结构自由度数阶振型反应进行组合，但不多于

56、结构自由度数 （2 2）当结构基本周期当结构基本周期s5 . 1T1时或时或建筑高宽比大于建筑高宽比大于5 5时时可适当增加振型反应组合数可适当增加振型反应组合数结构的总地震反应以低阶振型反应为主，而高阶振型反结构的总地震反应以低阶振型反应为主，而高阶振型反应对结构总地震反应的贡献较小应对结构总地震反应的贡献较小振型阶数越高，振型反应越小振型阶数越高，振型反应越小 二、底部剪力法应用条件应用条件建筑物高度不超过建筑物高度不超过40m40m结构以剪切变形为主结构以剪切变形为主质量和刚度沿高度分布较均匀质量和刚度沿高度分布较均匀结构的地震反应将以第一振型反应为主结构的地震反应将以第一振型反应为主结

57、构的第一振型接近直线结构的第一振型接近直线假定假定 （1 1）结构的地震反应可用第一振型反应表征；）结构的地震反应可用第一振型反应表征； （2 2）结构的第一振型为线性倒三角形，）结构的第一振型为线性倒三角形， 即任意质点的第一振型位移与其高度成正比即任意质点的第一振型位移与其高度成正比1iiCH图图 结构简化第一振型结构简化第一振型底部剪力的计算底部剪力的计算任意质点任意质点i i的水平地震作用的水平地震作用 1121FiinjjnjjjiHGHGHGj结构底部剪力结构底部剪力 niiinjjnjjjniiHGHGHGj111211EKFF1111221)()()(njjnjjnjjnjjj

58、GGHGHGj iiiiiMMGG11T1T111111FinjjjnjjjiGGG11211111iiCH将将代入上式，得代入上式，得= 简化：简化：结构底部剪力结构底部剪力 1EKFeqG一般建筑各层重量和层高均大致相同一般建筑各层重量和层高均大致相同 GGGjijhHj) 12(2) 1( 3nn单质点体系，单质点体系，n=1n=1，则则 1多质点体系多质点体系 ，n2n2，则，则9 . 075. 0按抗震规范统一取按抗震规范统一取85. 0)()(11221njjnjjnjjjGHGHGj即即njjEeqGGG1结构总重力荷载等效系数结构总重力荷载等效系数结构等效总重力荷载结构等效总重

59、力荷载地震作用分布地震作用分布结构总水平地震作用结构总水平地震作用 1EKFeqG分配至各质点上分配至各质点上 EKnjjjiiiHGHGFF1仅考虑了第一振型地仅考虑了第一振型地震作用震作用 高阶振型地震作用影响高阶振型地震作用影响 各阶振型地震反应各阶振型地震反应总地震作用分布总地震作用分布等效地震作用分布等效地震作用分布结构基本周期较长时结构高阶振型地震作用影响不能忽略结构基本周期较长时结构高阶振型地震作用影响不能忽略 高阶振型反应对结构上部地震作用的影响较大高阶振型反应对结构上部地震作用的影响较大 我国抗震规范规定：我国抗震规范规定： 结构基本周期结构基本周期 g1T4 . 1T ，则

60、需在结构顶部附加集中水平地震作用，则需在结构顶部附加集中水平地震作用 EKFnnF结构顶部结构顶部附加地震作用系数附加地震作用系数1.1.多层钢筋混凝土房屋和钢结构房屋按下表采用多层钢筋混凝土房屋和钢结构房屋按下表采用 n不考虑不考虑0.350.55)(sTg35. 055. 0gTT4 . 1107. 008. 01T01. 008. 01T02. 008. 01TgTT4 . 112.2.多层内框架砖房多层内框架砖房 2 . 0n3.3.其它房屋可不考虑其它房屋可不考虑 表表3-4考虑高阶振型的影响时考虑高阶振型的影响时 结构的底部剪力仍为结构的底部剪力仍为 1EKFeqG但各质点的地震作