非线性发展方程的丰富的Jacobi椭圆函数解

1、非线性发展方程的丰富的Jacobi 椭圆函数解3吕大昭(北京建筑工程学院基础部, 北京100044 (2004年8月26日收到;2005年2月21日收到修改稿通过把十二个Jacobi 椭圆函数分类成四组, 提出了新的广泛的Jacobi 椭圆函数展开法, 线性发展方程的丰富的Jacobi 椭圆函数双周期解. 当模数m 0或1时, 解和冲击波解.关键词:非线性发展方程, Jacobi 椭圆函数PACC :0340K, 02903北京建筑工程学院基础科学基金(批准号:1004048 资助的课题.通信作者. E 2mail :lvdazhao86163. com11引直接寻找非线性发展方程的精确解在非

2、线性科学中占有非常重要的地位. 因此, 近几年来人们提出了许多方法13. 最近, 刘式适等人提出了Jacobi 椭圆函数展开法4,5, 求得了一大类非线性发展方程的周期解, 包括对应的冲击波解和孤立波解; 随后, 张善卿等人利用秩的概念扩充了Jacobi 椭圆函数展开法的应用范围6, 得到了更多的非线性发展方程的周期解; 而闫、沈和李等人分别推广了Jacobi 椭圆函数展开法的展开形式714, 获得了非线性发展方程更多的周期解; 刘等人将在行波变换下的Jacobi 椭圆函数展开法推广到一般函数变换下进行15, 得到了非线性发展方程的新的周期解. 然而, 我们仍然认为这些方法215是部分展开法,

3、 本文通过对十二个Jacobi 椭圆函数的性质进行深入研究, 将它们分类成四组, 从而提出了更一般的广泛的Jacobi 椭圆函数展开法, 利用这一方法得到了非线性发展方程的丰富的周期解, 在极限情形, 这些解也可以退化为对应的冲击波解和孤立波解或三角函数解.21广泛的Jacobi 椭圆函数展开法首先在对十二个Jacobi 椭圆函数的性质进行深入的研究之后, 发现可以将它们分类成四组, 即(i sn ,cn 和dn (ii ns =sn ,cs =sn 和ds =sn (iii sc =cn ,nc =cn 和dc =cn (iv sd =dn ,cd =dn 和nd =dn 其次, 在上面分析

4、的基础之上, 我们提出了如下的广泛的Jacobi 椭圆函数展开法.步骤1约化偏微分方程到常微分方程对于给定的非线性发展方程P (u , u x , u t , u xx , u xt , u tt , =0. (1 在行波变换u =u ( , =k (x -t (2下, (1 式约化为如下的常微分方程u , d , 2d 2, =0.(3步骤2假设有限级数形式解设常微分方程(3 有如下形式的Jacobi 椭圆函数有限级数解u (=a 0+a 1sn +b 1cn +c 1dn +ni =2sn i -2(a i sn 2+b i sn cn +c i sn dn +d i cn dn (4.

5、1u (=a 0+a 1ns +b 1cs +c 1ds +ni =2ns i -2(a i ns 2+b i ns cs +c i ns ds +d i cs ds (4. 2第54卷第10期2005年10月100023290200554(10 4501205物理学报ACT A PHY SIC A SI NIC AV ol. 54,N o. 10,October ,20052005Chin. Phys. S oc.u (=a 0+a 1sc +b 1nc +c 1dc +ni =2sc i -2(a i sc 2+b i sc nc +c i sc dc +d i nc dc (4. 3u

6、(=a 0+a 1sd +b 1cd +c 1nd +ni =2sd i -2(a i sd 2+b i sd cd +c i sd nd +d i cd nd (4. 4其中n 是待定参数.步骤3确定参数n 的值定义u (的次数为Du ( =n , 则D md m=n +m ,D m d m =q (n +D upm d m =q 通过平衡, 可以确定n 的值.步骤4获得超定代数方程组把(4 式代入到(3 式中可以得到一个关于Jacobi 椭圆函数的方程, 然后进行约化, 合并同幂次项, 最后令它们的系数为零, 则获得了一个关于未知数k , , a 0, a i , b i , c i ,

7、d i +1(i =1,2, 的超定代数方程组. 利用吴2特征列方法解此超定代数方程组16,得到k , , a 0, a i , b i , c i , d i +1(i =1,2, 的值. 步骤5求得丰富的Jacobi 椭圆函数解把从步骤4得到的k , , a 0, a i , b i , c i , d i +1(i =1,2, 的值代入到(4 式, 我们就能获得丰富的Jacobi 椭圆函数双周期解.评论我们的方法比Jacobi 椭圆函数展开法及其推广方法215更加广泛. 即, 用方法215求得到的非线性发展方程的精确解仅仅是用我们的方法所求得到的解的特例. 另外, 广泛的Jacobi 椭

8、圆函数展开法易于在计算机上执行.31例子和应用3111K dV 方程u t +uu x +u xxt =0(5把(2 式代入到(5 式, 得-d +u d +k 23d 3=0. (6平衡(6 式中的最高阶导数项和非线性项得n =2.因此, 利用步骤45, 我们能获得下面丰富的Jacobi 椭圆函数解, 其中0m 1是Jacobi 椭圆函数的模数. 另外, 定义a b =a +b 或a -b ; a b c =a+b +c 或a -b -c ; a +-+b -+c =a +b -c 或a -b+c 或a +b +c ; a -+-b -+-+c +-d =a -b -c +d 或a +b +

9、c +d 或a +b -c -d 或a -b +c -d , 等等.311111sn ,cn和dn 展开法利用(4 式, (的解:u 124k m 22(k (x -t ; 2+26mk 2(m sn 2(k (x -t (x -t dn (k (x -t . 311121ns ,cs和ds 展开法利用(412 式, 得到K dV 方程(5 的解.u 3=4m 2k 2+4k 2+-12k 2ns 2(k (x -t ;u 4=4m 2k 2+k 2+-6k 2(ns 2(k (x -t ns (k (x -t cs (k (x -t ;u 5=m 2k 2+4k 2+-6k 2(ns 2(k

10、 (x -t ns (k (x -t ds (k (x -t ;u 6=m 2k 2+k 2+-6k 2(ns 2(k (x -t cs (k (x -t ds (k (x -t ;u 7=m 2k 2+k 2+-3k2ns 2(k (x -t -+-+ns (k (x -t cs (k (x -t +-ns (k (x -t ds (k (x -t -+-cs (k (x -t ds (k (x -t . 311131sc ,nc 和dc 展开法利用(413 式, 得到K dV 方程(5 的解.u 8=4m 2k 2-8k 2+-12k 2(1-m 2 sc 2(k (x -t ;u 9=4

11、m 2k 2-5k 2+-6k 2-m 2(-m 2sc 2(k (x -t sc (k (x -t dc (k (x -t ;u 10=m 2k 2-5k 2+-6k2-m 2(-m 2sc 2 (k (x -t -m 2sc (k (x -t nc (k (x -t ;u 11=m 2k 2-2k 2+2054物理学报54卷-6k 2-m 2(-m 2sc 2(k (x -t nc (k (x -t dc (k (x -t ;u 12=m 2k 2-2k 2+-3k2-m2-m 2sc 2(k (x -t -+-sc (k (x -t dc (k (x -t -+-+-m 2sc (k (

12、x -t nc (k (x -t +-nc (k (x -t dc (k (x -t . 311141sd ,cd 和nd 展开法利用(414 式, 得到K dV 方程(5 的解.u 13=-8m 2k 2+4k 2+122k 2(-x -t ;u 14=-5m 22+6mk2-m2m-m 2sd 2(k (x -t -m 2sd (k (x -t nd (k (x -t . 由于在文献14中李等人采用的是(411 一种展开形式, 所以在适当的选取参数和变换下, 文献14中求出的K dV 方程的解是我们求出的解的特例.3121修正的BBM 方程u t +u x +u 2u x +u xxt =

13、0.(7把(2 式代入到(7 式, 得(1- d +u 2d -k 23d 3=0. (8 平衡(8 式中的最高阶导数项和非线性项得n =1. 因此, 利用步骤45, 我们能获得下面丰富的Jacobi 椭圆函数解, 其中0m 1是Jacobi 椭圆函数的模数. 另外, 定义a b 等于a +b , 或a -b ; a b c等于a +b +c , 或a -b -c ; a -+-b -+c 等于a -b-c 或a +b +c 或a -b +c ; a -+b +-+-c -+-d 等于a -b +c -d 或a -b -c +d 或a +b +c +d 或a +b -c -d , 等等.312

14、111sn ,cn 和dn 展开法利用(411 式, 得到修正的BBM 方程(7 的解.u 1=mkk 2m 2+k 2-1sn kx +k 2m 2+k 2-;u 2=mkk 2m 2-k 2+1cn kx -2k 2m 2-k 2+;u 3=kk 2m 2-2k 2-1dn kx +k 2m 2-;u 4=kk 2+2-+m cn kx -k 2m 2+k 2+-+dn kx -k 2m 2+k 2+. 312121ns ,cs和ds 展开法利用(412 式, 得到修正的BBM 方程(7 的解.u 5=kk 2m 2+k 2-1ns kx +k 2m 2+k 2-; u 6=kk 2m 2

15、-2k 2-1cs kx +k 2m 2-2k 2-; u 7=kk 2m 2-k 2+1ds kx -2k 2m 2-k 2+;u 8=kk 2m 2-k 2-2+-+-ns kx +2k 2m 2-k 2-+-cs kx +2k 2m 2- k 2-; u 9=kk 2m 2-2k 2+2-+-+ns kx -k 2m 2-2k 2+-+ds kx -k 2m 2-2k 2+; u 10=kk 2m 2+k 2+2305410期吕大昭:非线性发展方程的丰富的Jacobi 椭圆函数解-+-+cs kx -k 2m 2+k 2+-+ds kx -k 2m 2+k 2+. 312131sc ,n

16、c 和dc 展开法利用(413 式, 得到修正的BBM 方程(7 的解.u 11=k2k 2m 2-2k 2-1sc kx +k 2m 2-2k 2-; u 12=k2k 2m 2-k 2+1nc kx -2k 2m 2-2;u 13=+-dc +k 2m 2+k 2-; u 14=k2k 2m 2+k 2+2-+-sc kx -k 2m 2+k 2+-+nc kx -k 2m 2+k 2+; u 15=kk 2m 2-k 2-2-+-+-m 2sc kx +2k 2m 2-k 2-+-dc kx +2k 2m 2-k 2-; u 16=kk 2m 2-2k 2+2+-+-m 2nc kx -

17、k 2m 2-2k 2+-dc kx -k 2m 2-2k 2+. 312141sd ,cd和nd 展开法利用(414 式, 得到修正的BBM 方程(7 的解.u 17=mk2k 2m 2-k 2+1sd kx -2k 2m 2-k 2+;u 18=mkk 2m 2+k kx k 222-; k2k 2m 2-2k 2-1nd kx +k 2m 2-2k 2-; u 20=k2k 2m 2+k 2+2+-m sd kx -k 2m 2+k 2+-+-nd kx -k 2m 2+k 2+.41结论本文通过把十二个Jacobj 椭圆函数分类成四组, 进而提出并利用广义的Jacobi 椭圆函数展开法

18、求出了非线性发展方程的丰富的Jacobi 椭圆函数解, 当模数m 0或1时, 这些解退化为相应的三角函数解或孤立波解和冲击波解, 限于篇幅, 这里从略. 另外, 我们省略了已经求出的非线性发展方程的在物理学中无意义的复数解.1W ang M L 1995Phys . Lett . A 1991692M alfliet W 1992Amer . J . Phys . 60653Y an C T 1996Phys . Lett . A 224774Liu S K et al 2001Phys . Lett . A 289695Liu S K et al 2001Acta Phys . Sin .

19、502068(in Chinese 刘式适等2001物理学报5020686Zhang S Q et al 2003Acta Phys . Sin . 52 1066(in Chinese 张善卿等2003物理学报5210667Y an Z Y 2002Comput . Phys . Commun . 148308Y an Z Y 2003Comput . Phys . Commun . 1531459Y an Z Y 2003Comput . Phys . Commun . 153110Y an Z Y 2003Inter . J . Modern Physics C 142774054物理学

20、报54卷11Y an Z Y 2003Chaos , Solitons and Fractals 1557512Y an Z Y 2003Chaos , Solitons and Fractals 1829913Shen S F et al 2004Acta Phys . Sin . 532056(in Chinese 沈守枫等2004物理学报53205614Li P et al 2004Phys . Lett . A 3323915Liu G T et al 2004Acta Phys . Sin . 53676(in Chinese 刘官厅等2004物理学报5367616W ang D M

21、 2001Elimination Methods (New Y ork :S pringer-Verlag W ien Abundant J acobi elliptic function solutions ofnonlinear evolution equations 3L Da-Zhao(Department o f Basic Sciences , Beijing Institute o f Civil , , (Received 26August 2004; In this are divided into four groups ,and a new general Jacobi elliptic function expansion abundant doubly periodic