非线性半正分数阶微分方程多重正解的存在性

1、第10卷 第35期 2010年12月1671 1815(2010)35 8653 05科 学 技 术 与 工 程ScienceTechnologyandEngineering10 No 35 Dec 2010 Vol2010 Sci Tech Engng非线性半正分数阶微分方程多重正解的存在性许晓婕(中国石油大学(华东),数学与计算科学学院,青岛266555)摘 要 应用Krasnoselskii不动点定理研究了分数阶微分方程的多重正解的存在性。D u(t)=p(t)f(t,u(t)-q(t),0<t<1,0+u(0)=u(1)=u (0)=u (1)=0。其中3< !4是任

2、意实数,D emann Liouville型分数阶微分。0+是标准的Ri关键词正解 分数阶微分方程 半正边值问题 锥不动点定理中图法分类号 O175.8; 文献标志码A最近,分数阶微分方程受到广泛的关注。这不仅是分数阶微分方程的理论发展的需要,也是分数阶微分方程应用的需要。除了数学的多个领域,分数阶微分方程还在流体力学,流变学,黏弹性力学,分数控制系统与分数控制器,各种电子回路,电分析化学,生物系统的电传导,神经的分数模型以及回归模型,特别是与分形维数有关的物理与工程方面有广泛的应用D0+1 5tIh(t)=(t-s) -1h(s)ds,其中右边是在(0,)上逐点定义的。定义1.26函数y:(

3、0,)#R的 >0阶ntRiemann Liouville微分是指D0+y(t)=1dd。,y(s)ds(t-s)给出其中n=+1,引理1.1(1)7代表 的整数部分,右边本文考虑分数阶微分方程u(t)=p(t)f(t,u(t)-q(t),0<t<1,u(0)=u(1)=u (0)=u (1)=0是在(0,)上是逐点定义的。给定h%C(0,1),3< !4,方程D0+u(t)=h(t),0<t<1,u(0)=u(1)=u (0)=u (1)=0,式(1)中3< !4是任意实数,D0+是标准的Rie mann Liouville型分数阶微分。的唯一解是u

4、(t)=1 预备知识我们先介绍一些分数阶微积分定义和理论。这些定义可以在最近的文献6,7中找到。定义1.16G(t,s)h(s)ds。-2 -其中(t-s)-1+(1-s)t(s-t)+( -2)(1- 函数h:(0,)#R的 >0阶G(t,s) 0!s!t!1; -2 -2Riemann Liouville积分是指,( )0!t!s!1。引理1.22010年9月27日收到,10月13日修改7由上式定义的函数G(t,s)满足下8654科 学 技 术 与 工 程10卷(1)G(t,s)=G(1-s,1-t),其中t,s%(0,1);(2)( -2)t-2方程D0+u(t)=p(t)g(t,

5、u(t)-#(t),t%(0,1)u(0)=u(1)=u (0)=u (1)=0式(2)中#(t)定义见引理2.1。f(t,u),u)0,f(t,0),u<0。(1-t)s(1-s)-222 -2! ( )&G(t,s)!M0s(1-s),其中t,s%(0,1);-2 -2(2)(3)G(t,s)>0,其中t,s%(0,1);(4)( -2)s(1-s) ( )G(t,s)!M0t引理1.38-2t(1-t)!(1-t),g(t,u)=则我们有下面的结论其中t,s%(0,1),M0=max -1,( -2)。X是Banach空间,P%X是X的锥。假设 1, 2是X的开子集,

6、0% 1 ! 1 2,令S:P#P是全连续算子,使得(i)S!,!%P( 1,S!)!,!%P( 2,或者(ii)S!)!,!%P( 1,S!,!%P( 2,那么S在P( !2 1)中有一个不动点。引理2.2 如果当t%0,1时均有u(t)#(t),则当u(t)是方程(2)的正解时,u(t)-#(t)就是方程(1)的正解。证明 事实上,令x(t)=u(t)-#(t),则x(t)0,且u(t)=x(t)+#(t)带入方程(2)得D0+x(t)+#(t)=p(t)g(t,x(t),t%(0,1)(x+#)(0)=(x+#)(1)=(x+#) (0)=(x+#) (1)=0。由#定义可得D0+x(t

7、)=p(t)f(t,x(t)-q(t),t%(0,1)x(0)=x(1)=x (0)=x (1)=0。证毕。因此我们首先寻找方程(2)的正解。显然方程(2)等价于下面的积分方程u(t)=2 主要结果给出如下的几个假设(H1)f:0,1&0,)#0,)是连续的,p,q#0,这里p#0表示当t%0,1时,p)0,且在一个正测集上是恒正的。(H2)存在%0,使得-2G(t,s)p(s)g(s,u(s)-#(s)ds。11-令E=C0,1,则E是Banach空间,范数为ds>0。x=0max|x(t)|。!t!1定义( -2)t(1-t)K=x%E,x(t)x,t%0,1。M0显然K是E

8、=C0,1中一个锥。再令T:K#E如下(Tx)(t):=-2p(s)s(1-s)引理2.1 假设#(t)是方程D0+u(t)=q(t),0<t<1,u(0)=u(1)=u (0)=u (1)=0,的唯一解,则0!#(t)!Ct-2M0 -22|q|1t(1-t):=G(t,s)p(s)g(s,x(x)-#(s)ds。1显然方程(2)有解等价于Tx=x有不动点。很容易可以得到下面的两个引理。引理2.3 假设(H1)成立,则T(K) K。引理2.4 T:K#K是全连续的。为了证明方便,我们给出下面几个记号N=(1-t)。其中q1=|q(t)|dt,1q%L0,1,C=1M0q1。(M0

9、( -2)q12 -2maxs(1-s),0!s!135期许晓婕:非线性半正分数阶微分方程多重正解的存在性86552M0N=1-s(1-s)2 -2p(s)ds,。由(A2),式(3)和引理1.2,对任意的x% 2,t%,1-有Tx)=min!t!1-2M0面的几个条件成立2 -2定理2.1 假设(H1),(H2)成立,另外假设下M0C(A1)存在常数R1>使得Nf(t,u)!R1,( -2)s(1-s)t)02121G(t,s)p(s)g(s,x(s)-#(s)ds)t-2-2(1-p(s)f(s,x(s)-( -2)R22s(1- ( #(s)ds>ts)-2-2(1-t)21

10、-(t,u)%0,1&0,R1;(A2)存在常数R2>2R1使得Nf(t,u)>R2,(t,u)%0,1&R2,R2;(A3)u#limmax=0。+0!t!1u则方程(1)至少有两个正解。证明 我们首先证明式(2)至少有两个正解x1,x2满足R1!x1<R2<x2!R3。令 1=x%K|x|<R1.则对任意的x% 1,t%0,1,由引理2.1有x(t)-#(t)!x(t)!|x|=R1,( -2)t(1-t) -22x(t)-#(t)R1-Ct(1-t)M0( -2)R1 -22。-Ct(1-t)0M0由(A1)和引理1.2可得Tx=0max(T

11、x)(t)=0maxG(t,s)p(s)g(s,!t!1!t!101-22p(s)ds)2M01-R22 -2s(1-s)& ( )Np(s)ds=R2。因此Tx>x,x%K( 2。接下来取%>0足够小,满足maxt(1-t)0!t!12-2%M0( -2)&p1!1。则对于上述的%,由(A3)知,存在N>R2>0,使得对任意的t%0,1,u)N,有f(t,u)!%u。令R3=M0( -2)maxs(1-s)0!s!12-2p1(t,u)%max,Nf(t,u)0,1&0( ( )-%M0( -2)maxs(1-s)0!s!11p1)+N,则R3

12、>N>R2。Tx=0max(Tx)(t)=0maxG(t,s)p(s)g(s,!t!1!t!101x(s)-#(s)ds!M0( -2)s(1-s)2-2&x(s)-#(s)ds!s)-2Ms(1-20 -21p(s)(t,u)%maxf(s,u)ds+0,1&0,NM012 -2s(1-s)p(s)%(x(s)- ( )p(s)f(s,x(s)-#(s)ds!( -2)R1#(s)ds!R3。这说明Tx!x,x%K( 3。因此由引理1.3,方程(2)至少存在两个正解x1,x2满足R1!x1<R2<x2!R3。又由R2>R1>CM0,有 -2

13、( -2)t(1-t) -22x1(t)-#(t)R1-Ct(1-t)M0( -2)R1 -22,-Ct(1-t)0M0-22x2(t)-#(t)R2-Ct(1-t)-22-22M0( )N1s(1-s)2p(s)ds!R1。因此Tx!x,x%K( 1。另一方面,令 2=x%K|x<R2。则对任意的x% 2,t%0,1,注意到R2>2R1,我们有 -2x(t)-#(t)R2-Ct&M0(1-t)-22-22R2(3)2M0-22所以由式(3),对任意的x% 2,t%,1-,R2!R2!x(t)-#(t)!R2。22(1-t)0。8656科 学 技 术 与 工 程210卷所以

14、x1,x2也是式(1)的解,证毕。类似的,我们不加证明的给出下面的结论。定理2.2 假设(H1),(H2)成立,另外假设下面的几个条件成立2M0C(A4)存在常数R1>使得Nf(t,u)R1,(t,u)%0,1&R2,R2;R1(A5)存在常数R2>mR1,使得Nf(t,N.0007-2(u-7)+10100)7.003>Nf(u)=0R1,(t,u)%&0.084,7,442Nf(u)=0.069-2(u-7)+10100!690<R2,(t,u)%0,1&0,7,Nf(u)=0.069-10(u-7)+10100!690<R2,(t,u

15、)%0,1&7,700。f(u)(u-700)+3170并且,u#lim=lim=+。+u#+uu显然f:0,1&0,)#0,)是连续的。由定理2.2知式(4)至少存在两个解u1,u2。参 考 文 献1 AnatolyKA,HariSH,JuanTJ.Theoryandapplicationsoffractionaldifferentialequations.North HollandMathematicsstudies,2u)<R2,(t,u)%0,1&0,R2;(A6)limmin=+。u#+!t!1-u则方程(1)至少有两个正解。例2.1 考虑如下的分数阶微

16、分方程D0+u(t)=f(u)-3.5,0<t<1;t(4)204,Amsterdam;ElsevierScienceB.V.,2006don;AcademicPree,1974u(0)=u(1)=u (0)=u (1)=0。式(4)中-2(u-7)+10100,f(u)=-10(u-7)+10100,(u-700)+3170,我们有C=N=2&令= N=220!u!7,7!u!700,u)700。3 RossB(ED.).Thefractionalcalculusanditsapplications.LectureNotesinMathematics475,Berlin,

17、Springer Verlag,19754 NonnenmacherTF,MetzlerR.OntheRiemann Liouvilefractionalcalculusandsomerecentapplications.Fractals,1995;3:557 5665 TatomFB.Therelationshipbetweenfractionalcalculusandfractals.Fractals,1995;3:217 2296 BaiZ,LuH.Positivesolutionsforboundaryvalueproblemofnonlinearfractionaldifferent

18、ialequation,495 5057 XuX,JiangD,YuanC.Multiplepositivesolutionsforboundaryvalueproblemofnonlinearfractionaldifferentialequation.NonlinearAnalysisSeriesA:Theory,MethodsandApplications,NonlinearAnalysis,2009;71:4676 4688hof,fGroningen,1964JMathAnalApp,l2005;311:&21.5,-12 -2maxs(1-s)0.069, ( )s%0,1

19、-221( -2)t(1-t)则=1min30.012,42M!t!02M02 -2s(1-s)ds0.0007。2CM0取R1=7,R2=700,则R1>=5,R2>mR1,此有NR1=max7,690=690,因N(下转第8662页)8662l+1(2l+1)nl科 学 技 术 与 工 程10卷lminBf(x)-f(x)=2(l+1)!l+12l+2。参 考 文 献1 StancuDD.Approximationoffunctionsbyanewclassoflineapoly5 例子1(0)(1)取f(x)=(0!x!1),绘制B3f=B3f=x+1B3f,B3f,B3f=

20、L3f图像如图1。从中可看出:BB3f、B(3)3(2)3(2)(3)nomialoperators.RerRoumaineMathPuresApp,l1968;13:1173119430(1):88 91f的逼近效果较B(2)n(0)3f=B(1)3f=4 SablonniereP.AfamilyofBernsteinquasi interpolateson0,1.ApproxTheory&itsApp,l1992;8(3):62 765 蔡华辉,王国瑾.对数螺线段的多项式逼近与C B zier逼近.2009;43(6):999 1004(自然科学版),2007;33(5):1018 1022f=L3f好,这是因为Bf兼顾了B3f、L3f二者的优点。TheApproximationPropertiesaboutaFamilyofOperatorsBnFANChuan qiang(k)Abstract AfamilyofoperatorsBnwithgraphsistaken.(k)isstudied,andgiventheirexpressionswhenn=3.Thensom