非退化双线性函数

1、一、 非退化双线性函数定义6 设是线性空间上的双线性函数，如果它在某组基下的度量矩阵是可逆矩阵，则称是非退化的双线性函数，否则称为退化的双线性函数。例6 设是上双线性函数，那么是非退化的双线性函数的充分必要条件是：如果存在向量，使得时必有证 设是的基，在基下的度量矩阵为 则 若是非退化的双线性函数，则是可逆矩阵，并且假定存在向量分别取，则有于是有 因为是可逆矩阵，所以 假定存在向量使得，且可推出分别取，有于是即只有零解，所以矩阵可逆。 例7 设1）证明是上双线性函数；2）求在基下的度量矩阵；3）求在基下的度量矩阵；4）证明是非退化双线性函数；5）求一个向量使证 1） 是到的映射。同理可证所以是

2、上双线性函数。2）设在基下的度量矩阵为，则3）设在基下的度量矩阵为，则4）因为可逆，所以是非退化双线性函数。5）设使则即所以或例8 设，则是非退化的双线性函数。证 取线性空间的基因为 所以当 时， 因为矩阵可逆，所以非退化的双线性函数。另证：设若取因为 则取 取 取 取 取 取 即必有，所以非退化的双线性函数。例6 考虑一个在发展中国家可能出现的有关污染和工业发展的工业增长模型。设是目前的污染程度，是目前的工业发展水平，和分别是5年以后的污染程度和工业发展水平。根据发展中国家类似的经验，国际发展机构认为预测公式是:，即 令3是的一个实特征值，是矩阵的属于特征值3的特征向量。特征向量是表明：如果

3、以一类适当的指标组成的单位来度量，某发展中国家目前的污染程度和工业发展水平都是1，即，分别是第二个5年以后的污染程度和工业发展水平，分别是第个5年以后的污染程度和工业发展水平，那么 例7 假设在没有狐狸的情况下，现有兔子的数量一年自然增长10%，在没有兔子的情况下，现有狐狸的数量每年减少15%. 当狐狸和兔子处于同一栖息地时，狐狸吃兔子，兔子数减少，使狐狸增加。狐狸和兔子处于同一栖息地的生态模型为 矩阵的特征值为1和0.95，的属于特征值1的特征向量是表示的种群保持“稳态”；的属于特征值0.95的特征向量是表示的种群缓慢衰减。例8 假定把一个城市的天气分为3种状态：晴、阴和雨。通过观察该城市以

4、往几年天气变化趋势后确定：如果今天晴，明天晴的概率为，今天晴明天转阴的概率为，今天晴明天转雨的概率为；如果今天阴，明天转晴的概率为，今天阴明天也阴的概率为，今天阴明天转雨的概率为；如果今天下雨，明天转晴的概率为，今天下雨明天转阴的概率为，今天下雨明天也下雨的概率为,那么可以得到矩阵,矩阵称为转移矩阵。转移矩阵的每一列对应于今天天气的状态；转移矩阵的每一行对应于明天天气的状态。例如，的2行3列的元素表示今天下雨明天转阴的概率为. 转移矩阵一定满足的每一列的概率之和为1.有了转移矩阵 ，可以由今天天气是晴、阴和雨的概率推测明天的天气状态，从而进行天气预报。这是因为：如果知道今天天气是晴、阴和雨的概

5、率分别为、，由于今天晴明天也晴的概率为，所以，当今天晴的概率为时，明天晴的概率为；由于今天阴明天转晴的概率为，所以，当今天阴的概率为时，明天转晴的概率为；由于今天下雨明天转晴的概率为，所以，当今天下雨的概率为时，明天转晴的概率为以上三种概率之和就是明天晴的概率，它等于 这就是说，知道今天天气是晴、阴和雨的概率分别为、 ，明天天气晴的概率等于 1) 设分别表示今天天气是晴、阴、雨的概率，分别表示明天天气是晴、阴、雨的概率,则,其中2）今天以后的第一天、第二天、第三天、 天气是晴、阴和雨的概率分别为：3） 如果清晨我们得知：本市今天天气是晴、阴和雨的概率分别为0、 ，预测今天以后的第一天、第二天、第三天、 天气是晴、阴和雨的概率分别为 天气 状态天 数 晴阴雨今 天0今天以后的第一天今天以后的第二天今天以后的第三天今天以