非线性薛定谔方程的五种差分格式_图文

1、第26卷第3期暨南大学学报(自然科学版 Vol . 27No . 32006年6月Journal of J inan University (Natural Science Jun . 2006非线性薛定谔方程的五种差分格式王秀凤, 陈辉, 范德辉, 张传林(暨南大学数学系, 广东广州510632摘要给出了非线性薛定谔方程的5种差分格式, 稳定性和收敛性. .关键词薛定谔方程; 数值稳定性; 局部截断误差中图分类号O0241. 6文献标识码A ( -0341-09F i ve d es li ear Schr d i n ger equa ti onXiu 2feng, CHE N Hui,

2、F AN De 2hui, ZHANG Chuan 2lin(Depart m ent of Mathe matics, J inan University, Guangzhou 510632, China AbstractFive kinds of difference for mats of nonlinear Schr dinger equati on have been p resented .The analysis of l ocal truncati on err or, stability and convergence of thesesche mes have been g

3、ained . Their truncati on err or and s peeds have als o been compared with nu merical experi m ents .Key wordsSchr inger equati on; nu merical stability; l ocal truncati on err or; re 2garding coefficients as const method薛定谔波动方程在量子力学中的地位, 就像牛顿三定律之于经典力学、麦克斯韦方程之于电磁学一样, 是最基本的方程, 奠定了近代量子力学的基础, 揭示了微观世界中物

4、质运动的基1本规律. 薛定谔方程是一类非线性抛物型偏微分方程, 对于薛定谔波动方程的解析解, 尤其是定态薛定谔方程(即与时间无关的情况 量子力学中已经有几种比较经典的解法. 本文给出了5种逼近非线性薛定谔方程的有限差分格式. 对它们的截断误差阶进行了分析和比较, 利2用“冻结”系数法分析了它们的稳定性, 并设计数值实验对几种差分格式的运算速度和精度进行了分析和比较.1非线性薛定谔方程的5种差分格式23薛定谔方程:i =2+2q 是非线性的抛物型偏微分方程, 为了构造薛定谔方程的9t 9x收稿日期2005-09-19基金项目广东省科技计划重点项目(004A1030300 与教育部归国基金项目作者

5、简介王秀凤(1980- , 女, 硕士研究生, 研究方向:数值与应用软件. 通讯联系人:张传林2342暨南大学学报(自然科学版 2006年差分逼近, 首先用两族平行直线x =x j =jh, j :Z, t =t n =n , n =0, 1, 2,剖分(x, t 空间中的上半平面, 在网格节点(jh, n 处分别用不同的差商近似薛定谔方程中的微商, 得到如下5种差分格式.(1 差分格式(a n +1n 2n 2q -q q n i =2+2j q jh(2 差分格式(b q n +1-q n2n +1n +q (q +=n j2hn +12jq jn(3 c i i q j q j1/2-q

6、 j /2-q j /2n=2n x q j2h =2+2jq jnn +1n +1/22n +1x q j2h2+2n +jq jn +1(4 差分格式(d i q jn +1-q jn -12n -1=2n x q j2h2+2jq jn(5 差分格式(e q -q q +12212n +1n -1n +1-q 22q -q +122n +1jn +1n -1=2n +12n 2n -1+2x q j x q j +x q j 24h2+22n +jq +jq +2n jn -jq jn -12薛定谔方程的5种差分格式的局部截断误差n +1n n 2. 1差分格式(a 中将q j 、q j

7、 -1、q j +1均在(x j , t n 处做泰勒展开,得到i q jn +1 -q jnn=i929xn jn jn+O (jx q jh22=2+O (h 2j22jq=2q j +02n所以此格式关于一阶相容关于h 为二阶相容的, 即其截断误差阶为O (+h .n +1n -1n n n +1n +12. 2差分格式(b 中, 将q j 、q j 、q j -1、q j +1、q j -1、q j +1均在(x j , t n +1/2 处做泰勒展开, 得到q jn +1-q jn=i9n +1/2+O (j2第3期2n +1x q j王秀凤, 等:非线性薛定谔方程的五种差分格式34

8、3h2=29x 29x22n +1j+O (h =229x 29x222n +1/2j+229x 33n +1/2j+O (2+h 2(1类似地可得2n x q jh2n +1j =+O (h =2n +1/2j-29x 2t+O (n +1/2+O (j2+h 2(2式(1 +式(2 得2n +1x q jh2+2nx q jh2=229x2jn n +1/22j+h 2又2n +jqn +1j+1j+q jn +1/2(22所以此格式关于、h , O (2+h . 2. 3(b , 即差分格式(c 是差分格式(b 的一个变形, , 所以差分格式(c 关于、h 均为二阶相容的, 即其截断误差

9、阶2为O (2+h n +1n -1n n2. 4差分格式(d 中, 将q j 、q j 、q j -1、q j +1均在(x j , t n 处做泰勒展开, 得到i q jn +1-q jn -122n x q j=29x2n jn+O (j22=2+O (h 2j22jqn j=2q j +02n所以此格式关于、h 均为二阶相容的, 即其截断误差阶为O (2+h . 2. 5差分格式(e 中, 将3层上的9个节点均在(x j , t n 处做泰勒展开, 有q j qn +1-q jn -12n +1j+1=nnn+O (j2,2-qn -1j+12q j-1-q j-1n +1n -1+O

10、 (j+1n, .(3 (42+O (j-12并且式(3 +式(4 得q j+1-q j+1 n +1n -1n j+1n=j n+29-2n+O (h j n2j-1j29+O (2+O (h j22+q j-1-q j-1n +1n -12=nj+1+n2j-1=n+O (h +O (j22,所以344n +1n -1n +1n -1暨南大学学报(自然科学版n +12006年q j+1-q j+1q j-1-q j-1q j +12212212-q jn -122=2nj+n+O (h +O (j22=那么q -q j+q jj+12212n +1n -1n +1n+O (h +O (j,

11、-q jn -12q j-q j-+1222nn +1n -1=229x 233nn+O (h +O (j 22.并且2n +1x q jh2 =29=222n +1j n -1+O (h =292+j n+ +h 22(5 (62n -1x q jh2jh 22n -1q 2j+O (j2式(5 +式 n +1q h2+h2=292n+O (j+h .2所以 2n +12n 2n -1 =+2x q j x q j +x q j 2(4h292n+O (j2+h .22+h .2可以得到此格式关于和h 为二阶相容的, 即其截断误差阶为O (3薛定谔方程的5种差分格式的稳定性和收敛性薛定谔方程

12、是一类非线性抛物型偏微分方程, 非线性抛物型方程的差分格式的稳定性研究是很复杂的, 一般可以采用局部线性化稳定性分析方法. 将非线性差分格式中的系数加以“冻结”, 即当作常数, 然后用分析常系数差分格式稳定性的方法进行考察, 对于薛定谔方程,2 将q 前的系数看作常数, 采用Fourier 方法来分析这几种差分格式的稳定性. 3. 1差分格式(a 的增长因子为2G (, =icos (h +i +2j-2rir >0,>0其中r =/h2因为所以G (, =+4r sin (h /2 +222nj>1显然这种二层显式差分格式不满足von Neumann 条件, 是恒不稳定的.

13、 由Lax -李荣华等价定理此格式也是不收敛的.n n i jh3. 2差分格式(b (C -N 格式 将j =l e 带入C -N 格式中, 其增长因子为第3期王秀凤, 等:非线性薛定谔方程的五种差分格式345G ( , =1+i 2 r sin (h /2 - 1-i 2r si m (h /2 -222 jn +j令m =2r sin (h /2 -22jn +j2因为我们用“冻结”系数法进行稳定性分析, 即把 看作常数, 所以i 所以G (, 则1-m i1-m +2m =2=j2G (, von mann 条件, 所以此格式是绝对稳定的(b 关于、h 都是二阶相容的, 则由Lax -

14、. 3. 3( ,(d 中两个式子的增长因子n +11+2r sin 2(h /2 - ljn ln=l1 -2r sin 2(h /2 -N +1/2ljn +从而得到差分格式(d 的增长因子为G (, =1 +2r sin (h /2 -1-2 r sin (h /2 -22jn +j显然它是差分格式(c 的增长因子, G (, =1. 即此格式恒满足von Neumann 条件, 所以此格式是绝对稳定的. 又由上一部分的分析知差分格式(b 关于、h 都是二阶相容的, 则由Lax -李荣华等价定理此格式也是收敛的. 3. 4差分格式(d (三层古典显式差分格式 又可以写为qn +1j=i(

15、qn j+1-2q +qn j n j-1+i2jq +p p n j n j n +1j =q 令=n j n jq j n n则原格式可写为n +1j=i(n j +1+n j -1+i4+1ij2n 也满足上述格式, j 则误差200n n i jh将j =j e 代入上述格式, 得增长矩阵为-8r sin (h /2 +4G (, =i2j1346 暨南大学学报 (自然科学版 2006 年 由于 G ( 的特征值是 , 2 4 ( G ( = , qj n - 8 rsin (h / 2 2 i 2 (h / 2 - 4 ± 4 + 8 rsin 2 2 qj n i 2 2

16、 = 2 2 n 2 8 rsin (h / 2 - 4 qj n ×i ± 4 2 2 8 rsin (h / 2 - 4 qj 设 m = 8 rsin (h / 2 - 4 2 2 qj n 所以 ( G ( = , mi± 4 - m 2 2 当 4 - m 0 即 - 2 m 2 2 得到 2 ( G ( , 4 - m = 2 +m 2 2 2 =1 那么 , 当 - 2 m 2 即 - 2 8 rsin (h / 2 + 4 2 qj n 2 可以得到 2 8 rsin (h / 2 2 + 4 2 qj n 因为 2 m in 4 qj n =0

17、那么得到 0 < r 1 /4 所以当 0 < r1 / 4 时 , 此格式是稳定的 . 又当 4 - m 0 时 , 此格式不稳定 . 所以当 0 < r1 / 4 时 , 差分格式 ( d 满足 von Neum ann条件 , 是稳定的 . 在前一部分已经得到此格式关于 、 是 h 二阶相容的 , 当 0 < r1 / 4 时 , 则由 Lax - 李荣华等价定理此格式也是收敛的 . 3. 5 差分格式 ( e (三层隐式格式 又可以写为 2 6 r n +1 12 12 r n n +1 n +1 n +1 n +1 n +1 n +1 n n n qj+1 +

18、 10 qj + qj- 1 qj+1 - 2 qj + qj- 1 = qj+1 - 2 qj + qj- 1 + q j pj i i i 2 24 i pj n +1 2 qj n qj + pj+1 + 10 pj + pj- 1 + n n n n n 6r i pj+1 - 2 pj + pj- 1 n n n + 12 i 2 pj n pj n = qj 令 第 3期 王秀凤 ,等 : 非线性薛定谔方程的五种差分格式 347 n = j 则原格式可写为 10 + 12 r i - qj pj n n 12 i 2 qj n +1 0 1 n +1 + j 2 n 1 0 6r

19、i 0 0 12 r i (j+1 +j- 1 = n +1 n +1 0 - 24 r i + 24 i 2 qj n 10 - 12 r i + 12 i pj n + j 1 + 6r i (j+1 +j- 1 n n 0 0 1 0 n n ih i 则误差 也满足上述格式 , 将 j = e 代入上述格式 , 得增长矩阵为 l G ( = , - 48 r 2 24 sin ( h / 2 + i i 2 i qj n 10 + 2cos ( h + 2 24 r 2 12 sin ( h / 2 + i i i 2 i pj qj n 24 r 2 12 10 + 2cos ( h

20、 + sin ( h / 2 1 i qj n +1 24 r 2 12 10 + 2cos ( h + sin ( h / 2 0 2 n +1 令 M = 24 r i 2 sin (h / 2 - 12 i 2 qj n N = 10 + 2co s (h n 因为我们用“ 冻结 ” 系数法进行稳定性分析 , 即把 q 看作常数 , 所以 2 2 2 qj n +1 = qj n = pj n = qj n- 1 所以 i M G ( = , N + i - 2M M i M N + i N - - 2M = M +N i - M +N i M +N i 1 0 1 0 当 h 0 时

21、( G ( = , ( G ( , =1 即 此格式恒满足 von Neum ann条件 , 所以此格式是绝对稳定的 . 又由上一部分的分析知 差分格式 ( b 关于 是二阶相容的 , 关于 h 为四阶相容的 , 则由 Lax - 李荣华等价定理此格式也 是收敛的 . 4 数值实验 4. 1 取薛定谔方程的解析解为 q ( x, t = 2 e 其中 ( ( ( 取时间步长为 0. 01, 空间步长为 0. 2, 即 r = 0. 25 时 , 画出由差分格式 ( b 、 c 、 d 、 e 得到 2 - i 2 x - 4 ( -2 t+ ( < 0 + / 2 ×sec h

22、 ( 2 x - 8 t - x0 , - < x < x0 = <0 = 0, = 1, = 0. 5 348 暨南大学学报 (自然科学版 4 2006 年 的解的绝对值与原方程的解析解的绝对值得误差的绝对值的图像 . 如图 1 8 所示 . 当 r = 0. 275 时 , 得到图 9. 4. 2 可以通过数值实验得到 4 种差分格式的运行时间 2 用 MATLAB 在 Pentium PC 上实现 4 种差分格式 ,当时间步长为 0. 01, 空间步长为 0. 2 时 ,得到表 1 所示时间 . 图 1 由差分格式 ( b得到的解的绝对值与解析解 的绝对值的误差的绝对值

23、 图 2 由差分格式 ( c 得到的解的绝对值与解析解 的绝对值的误差的绝对值 图 3 由差分格式 ( d 得到的解的绝对值与解析解 的绝对值的误差的绝对值 图 4 由差分格式 ( e得到的解的绝对值与解析解 的绝对值的误差的绝对值 5 图 从图像上方看差分格式 ( b得到的解的绝 对值与解析解的绝对值的误差的绝对值 6 图 从图像上方看差分格式 ( c 得到的解的绝 对值与解析解的绝对值的误差的绝对值 7 图 从图像上方看差分格式 ( d得到的解的绝 对值与解析解的绝对值的误差的绝对值 8 图 从图像上方看差分格式 ( e 得到的解的绝 对值与解析解的绝对值的误差的绝对值 第 3期 王秀凤

24、,等 : 非线性薛定谔方程的五种差分格式 表 1 四种差分格式所用时间对比 差分格式 差分格式 ( b 差分格式 ( c 差分格式 ( d 差分格式 ( e 运行时间 / s 7. 40 2. 30 0. 80 15. 80 349 9 r = 0. 275 时 , 由差分格式 ( d 得到的解的绝 图 对值与解析解的绝对值的误差的绝对值 5 结论 ( ( 从数值实验可以看到 ,当改变差分格式 ( b 、 c 、 e 的时间步长和空间步长时 ,它们的图 ( ( 像仍然是解析解的图像的很好的近似 ,所以差分格式 ( b 、 c 、 e 是绝对稳定的 . 因此用“ 冻 结” 系数法来分析非线性偏微分方程的稳定性是可行的 . 如果 r > 1 /4, 改变差分格式 ( d 的时 间步长和空间步长时 ,它的图像显然不是解析解图像的一个很好的近似 ,这可以由图 9 看出 , 所以正如我们在第 2 部分分析的结果 ,只有当 0 < r1 /4 时差分格式 ( d 才是稳定的 . 由图 1 4 可知 ,在 4