非线性奇异微分方程组边值问题正解的存在性和多解性

1、曲阜师范大学硕士学位论文非线性奇异微分方程（组）边值问题正解的存在性和多解性姓名：王伟申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：张克梅20090401曲阜师范大学硕士学位论文非线性奇异微分方程（组）边值问题正解的存在性和多解性摘要非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，随着科学技术的不断的发展。非线性分析已经成为研究数学、物理学、航空航天技术和生物技术中非线性问题的一个重要工具非线性问题产生于应用数学、物理学、控制论等各种应用学科中，且奇异非线性微分方程的非局部边值问题、周期边值问题以及脉冲微分方程的边值问题引起了许多学者的关注，是目前微分方程研究中的一个十分重要的领域本文利用锥理论，不动

2、点理论，不动点定理，非线性二择一定理以及不动点指数理论，研究了奇异非线性微分方程组和脉冲微分方程多个正解的存在性本文共分为三章：在第一章中，我们利用不动点定理和平移变换，讨论了非线性二阶奇异半正微分方程组非局部边值问题。（，【，十，（）（）（，让（），（）（），叩（。）一跏，（）（让撕（）（）却（）（）（）（让（）砂（），（）（），口（。）一仍（。）一（口（）却（），秒（）砂：（），他（）如，（）（让（）砂（），”（）曲（）个正解的存在性，改进并推广了文【，】中的结果正解的存在性本文在非线性项为半正的情形下证明了非局部边值问题（。）三在第二章中，我们利用非线性二择一定理和不动点定理讨论了奇异半

3、正非线性三阶微分方程组地（“，一“）坯丌（）（）地（丌），：（）钍：（），（），（），正解的存在性，并给出所获结果的应用曲阜师范大学硕士学位论文在第三章中，我们利用不动点指数定理，研究了一类带有积分边界条件和算子的脉冲边值问题一（妒（缸（）（，（），。（，），厶（札（）川（）（）咖（）【（。）（）让（）妒（）多个正解的存在性非线性奇异半正微分方程组；正解；非局部边值问题；周期边值问题；非线性二择一定理；不动点定理；脉冲微分方程；积分边界条件；不动点指数关键词：曲阜师范大学硕士学位论文，。，：（）（）（，（），（）（）（）（）（，（），钉（）（），刚（）跏，（）（让（）龇（），巾）却（），（），

4、札（），（让（），（），（）。（），掣（）刚（。）：（吣）讹（），巾）嘞（），（）如口，（）（小脚：，巾）蚴（）（）（）曲阜师范大学硕士学位论文【，】，：眦眦，一一打（），工矿：“，厶，似虮一一神）又艮，义孙，：一（，（），（，（），（，），？：（），七，（）【（。）鲋）啦（”）（）姒让）砒：；曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明本人郑重声明：此处所提交的硕士论文非线性奇异微分方程（组）边值问题正解的存在性和多解性，是本人在导师指导下。在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中

5、已明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担作者签名：日期：咿今曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书袋非线性奇异微分方程（组）边值问题正解的存在性和多解性系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容藏川叼第一章非线性二阶奇异半正微分方程组非局部边值问题的多个正解引言常微分方程组非局

6、部边值问题产生于应用数学和物理学的多个领域近年来，对于非局部边值问题的特殊情形多点边值问题的研究已有丰富成果【，但多数只对非线性项为正的情形进行了研究很自然的，对这一具体领域的进一步研究即为非线性微分方程组奇异半正非局部问题。本章研究下列非线性奇异半正微分方程组（）（）（，札（），（）（），口（）（）（，（），（）（），（。）一（。），（乱（）妒（），（）妒（），（）（），（）（），（）（），巾）一刚（）砘（小（），小（），例（）州（）仍（巾）讹（），小）讹（）三个正解的存在性其中（，），【，。），（）在或奇异，：【，】【，。）【，）一【，。），历，：【，】【，。）【，）连续，成，况，并且（屈

7、，；，口：（，）（一。，）可积，且在，】内有有限个奇异点；（）（，）或（）尼（，）在（，）的任一子区间上不恒为零；？（）晚（），：；，（）也（），爿“（）以（），爿？，（）叽（）。一，表示积分在上述类型的方程组中，非线性项是可以变号的，这类问题通常被称为半正问题第一章非线性二阶奇异半正微分方程组非局部边值问题的多个正解艾矧中，尿平等利用不动一点足理甜零非局鄢边值列题（）（）（瓦让（），（），（）（）（，珏，（），刚（）州（。）。，（）“，（）。（）酬），小）撕（），口（。）一伤口（。）。，仇（）如，（）仍（）（），（）砂（）三个正解的存在性这里吼（，），。），（，】，）【，），。），即非线性项

8、是非负的文【中，刘立山，张新光等利用不动点指数定理研究了奇异半正边值问题，一（）（，耖（），（）（），一（）（，（），（）鼋（），（）（），（）（）正解的存在性，但这里所研究的问题为两点边值问题（）受文献，】启发，本章用不动点定理和平移变换，在非线性项为半正的情形下证明了非局部边值问题（）三个正解的存在性预备知识和引理为了方便，我们首先给出不动点定理设为实空间中的一个锥，映射：一，）连续，如果对任意的，有（一）（）（一）（夕）（或（十（一）（）（一）（），则称为上的非负连续凹（或凸）泛函设为给定的常数，为上的非负连续凹泛函定义集合），（，）定理（），）设：一夏为一个全连续算子，为上的非负连续凹

9、泛函，对任意的夏，（）忙，如果存在满足（）（口，）口（）仍，并且对任意的。尸（，），有（），（）对任意，都有，曲阜师范大学硕士学位论文（）对任意（，），：，都有（），则至少有三个不动点，满足忙，（），且。，（）引理设（），】，或，则问题删删叫）一刨佃，屈娌，脚够虹坛（）机（），（）讥瓯吼“，伯让厂厶钉、：）咖（）有唯一解“（）以小灿掣吼（小脚小，小脚如，），（）妒（），鱼掣（缸（）妒（），其中优眦幻他仇），），（）一凤，、成脘证明由（）得札讯）一（）十乱，（），（）一（）（）（）“（），因此，我们有，（）札（）一）（），一（）（）（）（），第一章菲线性二阶奇异半正微分方程组非局部边值问题的多个

10、正解再由边界条件得（。）詈仇（“（）（），（）（）（一）（），一爰（）妒（），（）螂（），。）争（。）办（铭触以）州）鲁仇（小班似，吣黼，）吃（）以（），钞（）砒（）鲁【（一）文（）瓯矶因此一（叫小）胱见半吼（小脚小，巾脚如，）盈（一）（瓦）（）瓯（一）（）砂（），（）砂（）吼（）（），（）（）（）妒（），（）矽（）屈风为了方便，先列出本章中我们要使用的假设：（）讥，也为定义在【，】上增的非常数函数，且蛾（），以（），（）（）在（，）的任一子区间上不恒为零，并且片（，）（）。（），：（，）一（一。，）可积，詹一（），启一（），并且有（）（）鲁，。（）（）鲁，其中（）（），），一（）（），），（

11、）（），），一（）一，（），），丽高南司，曲阜师范大学硕士学位论文注由条件（），存在（，）使得（），从而可取矽（，）使得（，一秽）另外，由（，）的表达式易得（，），；（）（，），；（，），（，），日，（，去），；（，）（，）（，）（）或（，），【，】，注由于我们只要求口：（，。）（一。，）可积，很明显下列条件（）为所满足条件的特殊情形，这就意味着，可以有有限多个奇异点，并且（）的非线性项（）（，（），（）（），（）止（）（）（）可以趋向于负无穷（）对给定的，：（）他，）（一。，）连续可积，并且詹一（），詹一（）注若（，）满足（）且（），（）（或（），（），（，），则我们称（，）为（）的正解对任

12、意的【】，定义函数【（圳。：以）呱），（）令（）（，）一（），由条件（），有（）（，）一（），（）一（）（，）一（）去一（），（）（）叮一（）（吖一（）小壶一（）幽（）通过直接计算可得，（）一（），；（）一（），（）一（），“（）一阮：（），（）“，：（），“，（）：（）从而，（），（）分别为下列边值问题（）一（），（）一札，（），；（），（），第一章非线性二阶奇异半正微分方程组非局部边值问题的多个正解：意宅嚣赫“以垆。的正解为了解决半正带来的困难，我们考虑下列奇异非线性常微分方程组一札，（一（】，【（）。），一，（）（）（，【（）（）】，【（）（）（），（。）一（。），。，（）矽，（），（）

13、妒（），（）（）。（）。（），（）。（），邶）一刚（。）（吣）讹（），（）龇（），。，（）：（）（）多（）（）咖（），则（，）为（）的解等价于（，）为下列积分方程的解（）（，）【（）（，【（）一（），【（）一（）】）（），掣（小脚小，）撕），鱼半，（），（），钉（）妒（），秒（）（，）陋（）厶（，阻（）一，（）】，（）一（）】）（）】，（鱼掣。（）嘞（），小）讹（）（）妒（），（）妒（）（）设，】，】，（，），令（，），其中札（），（），则在所定义的范数下为一个空间定义中的锥（眠？，）：（），（），【，】曼（，）定义一个非线性积分算子：丁（，）（）（，）（）（，）（），曲阜师范大学硕士学位论文

14、其中（，）（）（，）（）（，【（）一（），【（）一：（）（）】（一）（小脚小，小）厅，（）矽（），（）妒（），脚（，）。（）止（，【（）一（）】，【（）一（）】）（）】庞镌（一）仍（小脚，小膨）（札（）砂（），（）妒：（），因此，性（）正解的存在性等价于算子丁在空间中不动点的存在引理若（，）满足（）（），（）（），【】，为（）的一个正解，则（，口一）为奇异半正微分方程组（）的一个正解证明若（。）为（。）的一个正解并且满足钍（）（），（）（），【，】，则由（）与【（）】的定义可得一“”（）（）（）一（），（）一（）（），一口”（）（）（，（）一（），（）一（）（），刚（。）一胁，（）。（）蚍（）

15、，巾）批（），乜（）（）（珏（）（），钞（）矽（），巾）一倒（。）危（）讹（），小）却（），：（）：（）（）砂：（），（）。（）（）令（）（）一（），（）（）一（），则（）（）一？（）（）第一章非线性二阶奇异半正微分方程组非局部边值问题的多个正解口（）一兰（），从而（）？（）一一（），（）”，（）一一（）故（）变为一乱；（）（）（，（），移（）（）一一（），一，（）（）止（，札（），（）“（）一一（），（）掣（卟刚（。）。（札（）却（），小）讹），钉（）：（）（）妒（），（）痧：（）注意到，（）（）一一（），（）（）一一（），故由（）知，（，）为（）的一个正解，即（一（，秒一）为（）的一个正解

16、主要结果为了方便，先列出下文中我们要用到的记号：彳躜，（【（）（）】罢誉（）“（）】，江，帆：唧少（抽）以）厶志煮，赤丽抽）啦（）幽，厶丽五而，。南丽，江，帆唧少一引理：，证明对任意的（，），由注以及（，小），口（札，？，），【，】，可得（，）（，）（）口，口（）踯（）。（小酬上（）踯（）（）驴。（）厂厂、（，）（）（，（）一（）】，（）一（）十（）】曲阜师范大学硕士学位论文（，）（，）（）尾（小班似，小脚）如，：（小，小）（，）【：（）（，【（）一。（）】，（）一（）（）】，因此，对任意的（，），由（，）（，）及以上两式得一，。（，）（）。壁曼“（）胁（）一（）】？【（）一（）（）（）（），

17、可（），（）（一）（）妒。（），（）妒（）（垄睾（小州州）小州州）（吣酬，小川，）（，）（）（，【（）一（），扣（）一（）】）（）】（，）同理可证，对任意的（，），有一似（帆州），？（“，川故口裂口（，）（）（，勘）（）（“，）（，）（，）（，）从而，（，）（，？口（让，），即（）证完很明显，问题（）正解的存在性等价于丁在中有非零的不动点最后，我们定义上的非负连续凹函数（，钉）阳一日（）可（帆可以看出，对任意（，），位（？”，）川，）在这部分中，始终假设，吼，以，为六个正常数，并且击云击击寿西第一章非线性二阶奇异半正微分方程组非局部边值问题的多个正解定理假设（）一（）成立，且存在非负常数口，满

18、足，旭，舰轰，。，且（亡，），（，可），（，可）满足以下增性条件：（）（，）壶惫一，】，仳，】，（）（，）去（），忱【，也（）】，（，）手（多），鼢【，哦（）】，（）五（，）去惫一，乱，】，（）（）（，心（）一（）】，扣（）一）】牛）磊，一印，（）【，軎】，或（）（，【（）一（），（）一（）宰）而，一明，（）（），；】，则问题（）至少有三个正解（，），（，可），（，）满足（，），（）（）（耽），（，蜘）且一（）（）（）（）证明由引理知，只需证明问题（）有三个正解，即算子有三个不动点（，），（，），（，）满足讹（）（），饥（）（），且（，）口，一一一口（）（），（，）且一口（）十（）事实上，若上

19、述结论成立，则（，）（仳，一），（，）（一，一），（，）（一，一）为（）的三个正解，且满足），一（）（叫），（，）且（）（）（）（）如果（，），由条件（）可得。首先证明：为全连续算子，其中（珏，秽）（仳，）。仇（）（），（）也（）豪厶（）（）（）似）云燕，（）妒（），可（）矽（）三已（钍（）（）妒（）丢哪舡）丢巷瓦堕皇堕整盔堂堡主堂垡垒塞再由条件（），有（，）蹈（，）（古）罐嚣（，）（）坯。（亡，）【（）（，【（）一（），扣（）一叫（）（）！如岛口，（）币（），。（）币（），（一），（小舭，帅，）。蛭（：（，）陋（）厶（，心（）一（），（）一（）】）（）十届（）（），（）审（）十如仇（一）（）

20、矽（），（）移（）风（牡（）曲（），了九。（删州，巾（）（），）丁。（）。（），（）步（，）如他十危。（小渊，小删，）咔一猷赳一。（，）【（）（，阻（）一（）】，（）一“（）（）】吒一钗目（，）（），（，心（）一（）。，（）一（）】）（）】三昙三三三三因此，（，），即：再由定理易知为全连续算子由条件（），完全类似的可以证明，如果（，），则咿（，），即定理的条件（）满足下证定理的条件（）满足显然，（，铆）（口，；）（，口）若（，）（，；），则（）（）石，眠一钆再由条件（王）（），第一章非线陛二阶奇异半正微分方程组非局部边值问题的多个正解有口（缸，）（）心（，）（）（，口）（）口半（小，小川，）夕

21、（珏（）却（），（）鄙，（）下现（厶删，小蝴）警九。（蝴，小班州），一口（，）（）（，（）一（），（）一忱（）（）】一口（，）【（）止（，（）一，（），（）一（）】。）（）】广厶（，）口（）（，）一（），（）一。（）】）击一一。（如（）幽去仇。，同样地，由条件（）（）可得（，）（）面姆一（如）以）如老，故定理的条件（）成立最后，我们证明定理的条件（）成立对任意的（，口）（，），丁（“，）；，由引理的证明知（，口）（），一口（，）（）（，）（）钏（，）（圳，从丽，定理的条件（）成立由定理知，有三个不动点，即（）有三个正解（，），（“，），（，）满足（，），一口（）（），）且一（）卜曲阜师范大学硕

22、士学位论文影（）再由条件（），有、，一、，一（，）【（）（，【（）一（）】，（）一：（）（）】小肛心。（）州）“）（，）肛（，）（）。，一（，）：（）一（，）一（）即（）（），同理可得地（）（），第二章奇异半正非线性三阶微分方程组周期边值问题的正解引言本章研究奇异半正非线性微分方程组，乱，）龟），、（）上。工，（）（丌），：（）让：（），（），（），：【，】正解的存在性，其中（，击），允许（，）在处奇异，作者对周期边值问题进行了研究，见文】文【】考察了以下奇异非线性周期边值问题）【，。）连续，：，】连续，礼近年来，许多（，），（）（丌），其中（，击），在，为正和半正的的情形下，分别利用非线性二

23、择一定理和不动点定理，得到以上边值问题至少一个正解的存在性结果自文【】以来，半线性奇异方程”（）警（），其中，丁】，入，引起了许多学者的关注【，】文【】将上述方程推广到更一般的形式，研究带有奇异非线性扰动项的方程（）（，）（）的正周期解的存在性。这种奇异方程出现在应用中的许多问题中，比如非线性弹性学【，方程【】等受文献【，启发，本章在非线性项满足更为广泛的条件下，分别利用非线性二择一定理和不动点定理讨论了（）的两个正解的存在性本章中（）可以变号，改进并推广了文【】中的结果本章用到以下记号：罩（，。）：，对，定义曲阜师范大学硕士学位论文（，。），（，）”，如果（，一，。一。）至，则记为如果对比鼢

24、并且剪，有（）妒（），我们称妒：酣非减类似地，可定义函数非增任给妒【，】，如果对【，丌】，妒（）且妒在【，】的任一测度为正的子集上值为正，则记为砂卜设为定义在（，）上的可测函数，若存在常数使得（）测度为零（即对（，），（），称：为本质有界的如果存在，则称最小的为的本质上确界类似可定义本质下确界妒【，丌】，记和。为妒的本质上确界和本质下确界记通常的范数为，的共轭指数记为痧：；预备知识和引理吾对，】，】，】，定义算子（）（），如（），厶（），其中，（，）口（）“（）以：，、一、（）（，）而瑟哑蜓亿，（）万，。，后”（，）；（删、。通过直接计算，很容易可以得到：现在考虑问题（六让，如让，厶“）（），

25、（）“：“）（丌），让：（）：（），如果“（，。）为（）的一个正解，即满足（）且扎（），【】，贝（）（），（），厶（）为（）的一个正解第二章奇异半正非线性三阶微分方程组周期边值问题的正解引理边值问题（）等价于积分方程，（）其中（）（，（，）（）巳（）】，（，）（）（卜雩（丌一）一册雩（一）】、口（，一，”一、）（，），（）（“卜【譬（一）一卵雩（丌一）】丽及胛；。品一（）云历丌一一，并且，（，）满足。弓器（）了百万磊而引理假设为赋范线性空间，丌】，记口口下面给出定理证明中用到的非线性二择一定理和不动点定理为的凸子集，为开集且，则每个全连续映射：至少有下列性质之一：（）在中有一个不动点，（）存在

26、，使得（）（一），（）引理【设是中的有界凸闭集（不一定有内点），：全连续，则在中必具有不动点在下面的应用中，我们取，】，丌】，并且对（，“，扎。），定义，一一。？，其中？【，】（）定义算子：，（，疋乱，），其中，（正？）（）（，）【（。，札）（），（），【，】（）主要结果（）曲阜师范大学硕士学位论文在这一部分中，我们利用非线性二择一定理证明问题（）的一个正解的存在性定义函数，：【，】一，其中（）（，）（），则（）为线性问题，一札：岛（），丌，札（）札（丌），：（）“：（），的唯一解记（），（）定理假设，（，）满足以下条件：（）对任意常数，存在函数九，使得对每个五有（，乱）（），【，丌】，钆【）（，】，（）对每个，存在非负连续函数（），玩（札），（）使得；（，）七（）（似）（“），（，）【，】（哗），并且（）非增，（）（）非减（）