非线性有限元课后作业

1、有限元课后作业：第一章三节点等参梁单元的几何阵B和单元刚度矩阵D首先明确梁的物理坐标系，x轴延梁的轴线方向，y轴垂直于平面向外，z轴与x，y轴垂直，符合笛卡尔坐标系原则，梁水平放置，原点位于梁的最左端，关于等参坐标系，轴延梁的轴线。梁最左端坐标为-1，中点为零，最右端坐标为1，考虑梁的受力特点，所以梁一般是在某个平面内发生变形，现假设梁的变形发生在x-z平面内，则每个节点有四个自由度，= i=1,2,3 ，其中=0与=0。 梁中任意一点的应变 = =+单元形函数如下： =-1/2(1-) = 1- =-1/2(1+)位移插值形式如下： U=由等参坐标系变换到物理坐标系的坐标变换式如下：x=x记

2、J=，称为Jacobi矩阵,而在此处其为一阶矩阵，则即可看做一关于的函数，记 =，称为J的逆矩阵，在此处也可看作的反函数。应变位移关系为 =+ = =其中 = i=1,2,3。由于= i=1,2,3，所以几何阵为B=与应变相对应的应力为：=其中 =EA=EJ= EJ=GA其中E为杨氏模量，G为剪切模量，A为梁截面积，J、J为梁截面绕x、y轴的转动惯性矩，所以弹性阵D为D=所以单元刚度阵即为=det(J)d。第二章1.证明应力偏张量的第二不变量的表达式形式：(1) =1/2即=1/2(+)=，=，=，=，=。原式=1/2()+()+()+()+()+()+()+()+()=1/2()+()+()

3、+2+2+2=1/2(-2+-2+-2+)+=1/2+3-2(+)+=1/2+3-2x3+=1/2+-3+2+2+2=1/2+-3+=1/2(-3)(2)=1/2=1/2(+)=1/2()+()+()+()+()+()+()+()+()=1/2()+()+()+2+2+2=1/2(-2+-2+-2+)+=1/2+3-2(+)+=1/63+3+3+9-6(+)+=1/63+3+3+9-6(+)+=1/63+3+3-(+)+=1/63+3+3-(+2+2+2)+=1/6(2+2+2-2-2-2)+=1/6(-2+-2+-2+)+=1/6(-) +(-)+ (-)+=1/6(-) +(-)+ (-)

4、+6+6+6(3) =-(+)+=-()()+()()+()()+=-(+)+ -(+)+-(+)+=-+-2(+)+3+=-1/33+3+3-6(+)+9+=-1/33(+)-6(+)+9+=-1/33(+)-(+2+2+2)+=-1/3-(+)+=1/6-2+-2+-2+=1/6(-) +(-)+ (-)+=1/6(-) +(-)+ (-)+6+6+6=1/2 (由(2)中的证明可知)2.证明应变偏张量的第二不变量的表达式形式：(1)=1/2=-,=-,=-,=,=,=,=(+)/3。=1/2=1/2(+)=1/2(-) +(-) +(-)+2+2+2=1/2(-) +(-) +(-)+该多形式的形式与1.(2)中的形式相同，同理可推导得出:=1/6(-)+ (-) +(-)+6(+)证明完毕。(2) =1/6(-)+(-)+(-)+3/2(+)由于=1/2(+),=+,所以=2,将该式带入上式中的结论即可证得=1/6(-)+(-)+(-)+3/2(+)，证明完毕。第六章推导下面等式1/2A+1/2A=A。证明：记L=，则有A=L，A=L。记M=，则有=M，