随机利率的三因子模型及其参数估计

1、随机利率的三因子模型及其参数估计                             作者：侯丽英刘振忠董继学内容摘要：本文在分析利率期限结构模型的基础上，将影响短期利率行为特征的均值回复、随机波动和跳跃因素同时考虑到利率期限结构模型的构建中，建立了三因子模型。并且对模型参数进行了有效矩估计，比较几个同类模型，结果

2、表明三因子模型对我国国债回购利率具有较好的拟合能力。 关键词：随机利率 三因子模型 有效矩估计 随机利率模型概述 利率作为金融市场上最重要的价格变量之一，一直是金融学研究的重点，特别是短期利率，它直接影响着资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投机等金融活动。因此，学者们提出了许多利率期限结构模型来刻画利率的随机行为，例如，Merton(1973)、Vasicek(1977)、Cox(1985)、CKLS(1992)模型等，这些模型假设利率的动态变化都遵循扩散过程，即瞬时利率可用下列随机微分方程的一般形式来表达： 其中，m(rt)为漂移项，表示利率变化的瞬时期望；s(rt)为扩散项；

3、s2(rt)为利率变化的瞬时方差；dWt为布朗运动的微分增量。当漂移项或波动率函数选择不同形式时，就能得到已有的各个著名随机利率模型，它们都属于单因子利率参数模型。 但金融市场自身的复杂性决定了仅仅用单因子模型来描述是不完全的，国内外大部分的实证研究表明，瞬时利率变动的总体方差绝大部分来自于两到三个因素的贡献，并且三个主要因素基本上能解释短期利率曲线80%以上的动态特征。因此本文将影响短期利率行为特征的均值回复、随机波动和跳跃因素同时考虑到利率期限结构模型的构建中，建立了三因子模型；并利用上海证交所国债回购利率数据，对模型参数进行了有效矩估计，比较已有的同类模型，说明该模型具有较好的拟合能力。

4、 三因子模型的建立 在已有的期限结构模型中，CKLS模型对短期利率的动态行为特点的研究具有推动作用，现今几乎所有与期限结构相关的实证大都基于CKLS 模型或与其有关，其具体形式为： drt=(+rt)dt+rtdWt（1） 式中，(+rt)dt为漂移项，为短期利率的长期均值水平。rtdWt为扩散项，为短期利率标准差；表示利率波动性对利率水平敏感程度的参数，越大，短期利率方差对利率水平效应越敏感；dWt为标准维纳过程。对（1）中的四个参数、作适当的限制，就可得到现有文献中几乎所有的单因素利率模型，这些模型总体上漂移项是线性的。 Ait-Sahalia（1996）使用非参数方法估计短期利率的边际密

5、度函数时，发现利率过程的漂移项和扩散项都呈现出非线性特征，即倒数形式；而AG模型则假定漂移项是瞬时利率rt的二次函数。综合以上结果，本文假定瞬时利率服从以下随机微分方程： 其中，、为常数。 利率的水平因素并不能完全描述利率的随机行为，波动项也表现出明显的随机特征，所以在波动项增加一个不确定因素，就能够更好地描述利率随机行为，于是基于（2）的连续时间随机波动模型为： 其中dW1t、dW2t为不相关的标准维纳过程，k为波动率因素的均值回复速度，a为波动率因素的长期平均，为波动率因素的标准差。 更进一步，无论是CKLS模型还是非线性的随机波动模型，它们都是建立在随机贴现因子及其状态变量的影响因子服从

6、布朗运动的条件之上的。布朗运动的样本路径是连续的，这意味着用布朗运动描述的变量的变化过程是连续且密集发生的，不会有跳跃或不连续的情况。 但从金融市场发展的历史来看，利率、股价等变量的连续性经常会被一些不可预测的随机事件所破坏，带来因子的突然跳跃，例如金融危机、股市崩盘等。为了在模型中充分反映这些突发事件的影响，本文把价格过程分解成连续和跳跃两部分，连续部分用布朗运动来描述，跳跃过程用泊松过程来描述，并且假定跳跃过程与连续过程是相互独立的，具体模型为： 其中，()是产生跳跃的泊松过程，kt表示t时刻随机跳跃的大小，它是一个随机变量，服从正态分布N(j，j2)，称之为三因子模型。 有效矩估计 有效

7、矩估计（EMM）方法是由Gallant and Tauchen提出来的，是一种路径模拟方法。该方法对随机变量的条件分布密度函数不作假定，这对利率模型的实证研究是非常理想的，因为很多连续时间利率模型的条件密度函数无法通过解析的形式表达出来。EMM方法估计的具体步骤为： 第一步，选择一个辅助模型并得到该模型参数的极大似然估计值，所选的辅助模型应能够捕捉到样本数据的主要结构特征，并且是一种简约形式。 第二步，由极大似然估计参数产生模拟数据，以辅助模型刻度向量为矩条件进行模拟矩估计，即通过最小化二次型求得结构模型参数。 （一）辅助模型选择 为了便于估计，使用连续模型的近似欧拉离散形式，设从t到t+1所用时间为1，因此（4）的离散形式为： 其中t，ut为不相关的标准维纳过程，参数向量。辅助模型的选择首先必须能捕捉到时间序列的主要特征，并能够应用最大似然方法对模型参数进行估计。本文把观测数据映射成下列辅助模型：   其中ht=Et2，参数向量为=(m0，m1，m2，m3，b0，b1，b2，j，j，)。设转移密度为，且Yt-1=(yt-1，K，y1)，用极大似然法估计辅助模型的参数向量，则估计量满足下列一阶条件：  （二）权重矩阵的确定 对样本辅助模型的刻度向量计算非对称协方差的一致性估计量，若辅助模