迈克耳逊干涉仪测钠光D线波长差实验中

1、迈克耳逊干涉仪测钠光D线波长差实验中用逐差法处理数据的理论说明徐凌(山东大学化学与化工学院 2006级 化学专业，济南 250100)摘要：通过对特例、不连续模型、连续模型的分析比较逐差法与算术平均法的优劣。解释了在测钠光D线波长差实验中数据处理使用逐差法的原因。关键词：迈克耳逊干涉仪；钠光D线波长差；逐差法；算术平均法大多实验教材上的用迈克耳逊干涉仪测钠D线波长差实验中，设计的步骤是测出每次等倾干涉条纹对比度最差时M1的坐标D1、D2、D3D10，并用逐差法算出，进而算出。这里用逐差法而不是算术平均法处理是因为算术平均法会造成实验数据的丢失（即正负抵消）。然而数据的丢失是否一定导致实验精度的

2、下降，本文将对此进行讨论。1.特例通过下例可以看出逐差法的不足。假设实验的真值为10.5,20.5100.5,每个值的不确定度为1，即测量的数据可能值为1011，20，21100，101；再假设，从中取特殊的一组可能测量的数据为10，2050，61，71101若对这组数据用逐差法处理：=10.2 而用算术平均法处理：=10.11而真值为10，因此上例中算术平均法比逐差法准确。可见某些情况下算术平均法处理比逐差法处理得到的结果好1。2.一般化分析现就一般数据将算术平均法与逐差法作比较。先将实验数据简化为如下模型。 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 图上每条竖实线代表一

3、个真值，从理论上说，每个真值坐标间的绝对距离是严格相等的。但由于人眼对实验中等倾干涉环的对比度判断不可能十分准确，导致坐标不能准确测量。坐标的不确定度有一定有一个最大值x（恒正），即在任何情况下人眼都不会把很清晰的情况判断为对比度最差。2.1分立值简单化分析下面用两种数据处理方法（逐差法与算术平均法）来计算平均绝对误差注，在此过程中，先简单的认为在xi附近测量值只能取xix，xix两个分立的值，d为x2与x1间的真值之差。x10x，x10xx1x，x1xX10X1那么，如果实验之用算术平均值法处理可能有三个值，概率如下：可能值(x10x1)/9d(x10x12x)/9d(x10x12x)/9d

4、对应概率1/21/41/4平均误差注x/9d逐差法：逐差法的本质是把数据分为两组（15；610），每组先取一对特定的数（1，6；2，5；）用算术平均法处理，再将5对数的结果再做一次算术平均，得最后结果。x6x，x6xx1x，x1xX6X1第一步从两组中各取一个数据组成对应的一对（以x1,x6为例）展开讨论。由于x1,x6各有两个取值，因此由x1与x6处理得到的数据及其概率如下表所示： 可能值(x6x1)/5d(x6x12x)/5d(x6x12x)/5d对应概率1/21/41/4第二步再将每对数据产生的误差叠加。（这里的误差有正有负，因此叠加后的值不一定增大）用一个数学模型来说明就是从5个杯中任

5、意取出5个球，每个杯中取且只取一个。图示如下：02x2x002x2x002x2x002x2x002x2x0经计算，得到用逐差法处理的误差及其概率：误差±10x/25d±8x/25d±6x/25d±4x/25d±2x/25d0概率2/21020/21090/210240/210420/210252/210平均误差注0.0984x/d2.2对于分立值增加的推导上文平均误差的计算是基于实验值只能取xix，xix这种假设. 因过于简单，既不符合实验事实又不具有普遍性，因此需要扩展。为了弥补实验值在区间xix ，xix取值过少的缺点，可假定上述区间内实验

6、值可取xix，xi1/2x，xi， xi1/2x，xix 5个分立的值，用算术平均法概率如下：误差±2x/9d±3/2x/9d±x/9d±1/2x/9d0对应概率2/254/256/258/255/25平均误差注4x /45 d2.3连续性的推导观察以上误差与概率的关系，得出一般化的公式：如果在xix ，xix内可取n个分立的值，则平均误差为：=当n时xix ，xix间可取无数个值，即实验值连续。算术平均法在连续情况下的平均误差为2x /27d.而逐差法在连续情况下的平均误差难以精确求得，可做近似处理：每对数据的误差都计为连续时的算术平均法平均误差（带正

7、负），再将五对数据组合求平均值。误差±2x /75d±6x /75d±10x /75d对应概率20/3210/322/32平均误差注x /20d从上表可看出，即使在用非连续方法估计时，逐差法误差仍比算术平均法小。（由上文分析可知，对算术平均法数据点取的越连续，误差越小，完全连续时误差最小，此结论对于逐差法同样适用）3.结论通过对逐差法与算术平均法的分析，得知逐差法处理数据在平均误差上小于算术平均法，但偶然误差却大于算术平均法。当然，如果对连续情况下逐差法的误差作进一步的分析会得到更接近实验条件下的平均误差。另外，因为逐差法也存在一些问题（如上文提及的偶然误差大），用改进过的逐差法2会得到更好的结果。在这里必须说明的是本文所有的分析都是基于最大数据与最小数据的间隔基本相同的情况。例如用算术平均法处理第一次与第一百次干涉条纹变模糊时的数据，结果可能比用逐差法处理干涉条纹第一到第十次变模糊时的数据更准