结构—地基非线性体系水平位移与扭转耦合效应研究

1、结构地基非线性体系水平位移与扭转耦合效应研究1姜忻良，赵慧芳天津大学建筑工程学院，天津 (300072)E-mail：摘 要：本文基于多线性随动强化模型，采用非线性有限元求得了基础和地基土之间的水平刚度与摇摆刚度，从而建立了结构地基空间非线性相互作用体系，利用能量法得到了结构水平侧移和扭转相耦合的振动方程，采用多尺度法研究了结构地基相互作用体系的主共振，比较了多种结构与地基非线性现象给响应曲线带来的影响，揭示了代表高模态水平振动向低模态扭转振动传递的耦合效应现象，为结构抗震分析提供了理论依据。关键词：非线性；耦合效应；主共振；相互作用体系；能量传递。中图分类号：P315.9651. 引言在强烈

2、地震作用下，结构一般进入弹塑性阶段。当考虑结构地基土相互作用时，结构与地基上均会不同程度进入弹塑性阶段，因此进行结构地基土相互作用的弹塑性分析十分必要。在以往的研究中，往往仅注重于结构地基土相互作用的动力反应，而对其内在的特性研究不够，其原因是问题的复杂性给分析带来困难1-3。本文将结构地基土相互作用体系做了适当的简化，考虑不规则结构质量偏心或刚度偏心所造成的水平位移与扭转位移的耦合效应，利用能量法导出结构水平侧移和扭转相耦合的振动方程，采用多尺度法研究结构地基相互作用体系的主共振，得到主共振的定常解并讨论了其稳定性，通过算例分析在不同情况下结构地基土相互作用体系的动力特性进行了比较，得出一些

3、规律性的现象，为结构地基相互作用耦合效应的研究提供有用的参考。2. 相互作用模型及参数的确定系统介绍结构地基相互作用体系模型如图1所示。上部结构为单层结构，具有质量或刚度偏心，为计算简便，在基础与地基交接处将其分开，用有限元法求得地基土的动力特性参数，得到基础与地基之间的水平刚度与摇摆刚度，进而建立结构地基土相互作用简化计算模型如图2所示。R2Ry图1 结构地基相互作用体系模型 图2 结构地基相互作用简化计算模型1 本课题得到国家自然基金（50278063），博士点基金（20040056032）资助。- 1 -2.1 基础水平刚度和摇摆刚度为了得到基础和地基之间的水平刚度和摇摆刚度，利用大型有

4、限元程序ANSYS计算图3所示基础与地基模型，通过基础水平荷载P和水平位移U的关系可确定基础的水平刚度变化曲线，通过弯矩M和转角的关系可确定基础的摇摆刚度变化曲线。在计算中，基础按弹性体考虑；土体采用多线性随动强化模型来进行模拟；基础与土体之间的界面引入了接触面单元。土体的侧向和底部边界取为刚性支杆约束。现考虑混凝土平板基础尺寸a×b×h=28m×16m×1m，外荷（基础重量加上部结构重量）基础弹性模量E3×1010N/m2,容重取2400Kg/m3,泊松比=0.25，土的容重为1.64×104kN，1800Kg/m3,泊松比0.4，

5、经分析研究地基深度H=2b,长度L=4a，宽度B=4b,即可达到计算精度。为便于理论分析，将P-U曲线和M-曲线用最小二乘法拟合成三次多项式*其中KH、KR为刚度的线性部分，KH、P=KHU+KH*U3和M=KR+KR*3的形式，图3 基础与地基模型KR*为刚度的非线性部分，现仅给出x方向与xoz平面拟合后的曲线如图4所示。(a)X方向水平刚度曲线 (b)XOZ平面内摇摆刚度曲线图4 水平刚度和摇摆刚度曲线2.2 上部结构的恢复力模型上部结构的恢复力模型采用双线性恢复力模型，如图5所示，其中K1为弹性刚度，K2为屈服后的刚度。并且利用最小二乘法将双线型恢复力模型拟合成三次多项式曲线，其表达式为

6、：S=K1U+K1*U3，其中K1为刚度的线性部分，K分。*1为刚度的非线性部2.3 阻尼系数在结构体系运动时，一般而言，阻尼力的影响比较小，所以假定阻尼为线性阻尼。结构- 2 -采用瑞雷型阻尼：C=M+bK；地基的阻尼系数CHx、CHy、CRxCRy则假定仅与地基刚度K中的线性部分成正比，即：取=0,地基的第一自振频率及阻尼比。b=2/1。其中，1、分别对应于3. 相互作用体系的运动方程&g的作用下，建立体x对于图2 所示的结构地基相互作用简化体系，在输入地震运动&系的运动方程。由于体系在x与y方向激励作用下的振动响应类似，因此只讨论体系在承受x方向的激励的响应4-6。体系的

7、动能、势能及非保守力做功分别为：111&2&+x&+y&g+x&0+H&)2+M(y&0+H&)2+JcT=M(x222=Sx(x)dx+Sy(y)dy+i=1x0y0xymy+xiySyi(y)dy+j=1nxyixSxj(x)dx（1）+SHx(x0)dx0+SHy(y0)dy0+Mxd+Myd&+Cyydy&+R=Cxxdxx0y0xy&&&dCd+CRxd+CRy&0dx0+CHyy&0dy0+CHxx其中M为结构总质量；Jc为结构的转动惯量；x0、y0分别为基础位移

8、；x、y、z分别为上部结构相对基础的位移；Sx、Sxj分别为结构x向总恢复力和每榀框架恢复力；Sy、Syi分别为结构y向总恢复力和每榀框架恢复力；SHx、SHy、Mx、My分别为基础在x、y向的恢复力和在xoz、yoz平面内的弯矩； Cx、Cy、C分别为结构x、y以及扭转方向的阻尼；CHx、CHy、CRx、CRy分别为基础在x、y向的水平阻尼系数和在xoz、yoz平面内的&g为外激励加速度，本文取为余x摇摆阻尼系数；Fx为地震动的幅值，为地震动的频率，&弦波的形式。将T、R代入Lagrange能量方程，得到体系振动方程：21x3+4x2+5x2+63+Fxcos(T) &

9、;&+x&+2x3+xx=223223y&&+y&yy=21+2y+3+4y+5y+6（2）其中：,3,4,5,6,1,2,x,y,12,3,4,5,6,1,2,34,5,6,78,9,10是刚度、质量、高度等因素的组合系数，其形式类似于文献2。4. 主共振分析利用多尺度法求方程组(2)的一阶近似解7-9，为使得外激励与阻尼效应和非线性效应位于同一摄动方程之中，为小参数，令：- 3 -=2， 1=21,3=23,Fx=3fx,11=2,=2,=2=2。 33112233并设：x=x0(T0,T2)+3x1(T0,T2)3y=y0(T0,T2)+y1(T0

10、,T2) 3=+(T,T)1(T0,T2)002影响下的运动振幅调相10-12(3)其中，T0=t为快尺度，表征及尺度上的运动，T2=2t为慢尺度，表征非线性。假设：d2d2。 （4） =D0+D1+K， 2=D0+2D0D1+L 其中：Dn=Tndtdt将（3），（4）式代入方程组（2），比较等式两边同阶的系数，得到 Order ：D02x0+x2x0=0，D02y0+y2y0=0，D020+20=0 （5）Order 3：D02x1+x2x1=2D0D2x0+(21D0x0+30+2x03+4x020+5x00+60)+fxcosT023D02x1+x2x1=2D0D2y0+(21D0y0

11、+30+2y03+4y020+5y00+60)+6x00+70+8y0+9y00+10y00)其中，（5）的解可以写为：2332223（6）D021+21=2D0D20+(21D00+3x0+2y0+4x03+5x020x0=A1(T2)eixT0+cciyT0y=ATe+cc ()022=A3(T2)eiT0+cc0将式（7）代入式（6），得到：（7）其中，A1,A2,A3为未知函数，可由阶近似解的可解条件确定，cc表示共轭项。D02x1+x2x1=2ixA1'eixT02i1xA1e+4Ae+222i(2x)T031ixT0+32A121eixT0ixT0+25A33A1e+6A3

12、e33iT01fxeiT0+cc+NST2'iyT0D0y1+yy1=2iyA2e2i1yA2eiyT0+32A22eiyT02iyT0+4A32e2i(2y)T0+25A33A2e+6A33e3iT0（8）+cc+NST- 4 -D01+1=2iA3e22'iT02i1A3eiT0iT0+4A13e3ixT0+29A22A3e'+25A11A3eiT0+6A132ei(x2)T0+37A33e2+8A2e33iyT0iT0+10A232ei(y2)T0+cc+NST'以上三式中，cc代表共轭项，NST为不产生永年项的项，A1,A2分别为A1,A2对T2的导数。

13、由于振动系统的非线性因素是以三次方的形式出现，所以内共振发生于x3或3x的场合，并且由上式可以看出x的情况下将发生外共振。5. 主共振稳态解的分析5.1 x3时的主共振由于x，x3，所以根据多尺度法引进调谐参数1,3,设T0=xT0+1T2 ，xT0=3T0+3T2 （9）用（9）式消去（8）式中的永年项，设An=aneibn/2(n=1,2,3)，将其分离实虚部，并令（10）'''1=1T2b1， 2=3b3b13T2''注意到方程组（2）的稳态解对应于a1=a2=a3=1=2=0与a2=0的情形。因此，由（10）式可得：b1'=1，b3

14、9;= 1xa1+1(1+3)，最后得到 3115a33sin2+fxsin1=0 (11) 8211a3+6a1a32sin2=0 （12）831112a13+4a32a1+5a33cos2+fxcos1+x1a1=0 （13） 848213115a3a12+7a33+6a1a32cos2+(1+3)a3=0 （14）4883结构在此状态下的稳态解(一由以上四式可以得到水平与扭转振动的响应幅值a1与a3，阶近似)为：x=a1cos(t1)111=a3cos(t1+2)3335.2 3x时的主共振(15)由于x,3x，所以根据多尺度法引进调谐参数1,3,设T0=xT0+1T2，T0=3xT0+

15、2T2 （16）用与5.1节同样的方法可以得到此状态下的一阶近似稳态解：- 5 -x=a1cos(t1)(17) =cos(33+)at312其中：1=1T2b1，2=b33b1+2T26. 算例分析6.1 x3结构平面布置示意图如图6所示，主要参数为：柱截面为400mm×400mm,纵向梁截面为300mm×600mm，横向梁截面为300mm×500mm，楼板加次梁的折合厚度为120mm，剪力墙厚为220mm，层高6m。地基土取为中软土，剪切波速Cs取170m/s，土的泊松比取0.4,土的密度取1800Kg/m3。由计算可知：x3。图6 结构平面布置示意图(x3)

16、 图7 结构平面布置示意图(3x)为了比较非线性因素给计算带来的影响，取三种不同工况进行计算，工况一为非线性结构非线性地基；工况二为线性结构非线性地基；工况三为非线性结构线性地基。取=0.1， 1=25，3=10，逐渐改变外激励幅值得到响应幅值随激励变化的比较曲线如图8和图10所示。图中虚线部分是利用RZ判据分析得到的不稳定解。当=0.1，3=10，fx=15时结构的振幅随协调参数1的变化，如图9和图11所示。由计算结果可以看到，三种不同工况曲线的性质大致相同，每种工况在振动过程中均存在跳跃现象。比较图8与图10，由于外激励的频率与高频率相接近，低模态被激发，从而导致扭转振动的幅值变化比水平振

17、动的幅值变化大的多。比较三种工况的曲线可以看出工况一响应幅值随激励幅值变化最快，说明当两者均为非线性时，结构与地基土刚度减弱较快，使幅值变化较大。从图9与图11同样可以看到，由于工况一上部结构与地基均考虑为非线性，其表现出来的软弹簧特性更加明显，幅值响应曲线的峰值最大。比较工况二与工况三两种情况，它们的响应幅值变化则取决于上部结构与地基的相对刚度，工况二相对结构而言，刚度较大，而地基的非线性特性明显，因此响应幅值随激励幅值变化较工况三大，同样其共振放大效应比工况三明显。- 6 -a1况3a1fx1图8 响应幅值随激励变化曲线(a1)图9 幅频响应曲线(a1)a3a3fx1图10 响应幅值随激励

18、变化曲线(a3) 图11 幅频响应曲线(a3)6.2 3x结构布置改为如图7，主要计算参数同上，计算得：3x。取=0.1,1=252=5，可得到外激励与振幅之间的关系，如图12、13所示。由图12与图13对比可以得到：由于外激励的频率与低模态的频率相接近，高模态并没有被激发。就是说在这种情况下，横向模态的能量只有很少一部分传递到了较低的模态即扭转角相对横向振动的幅值a1来说不会很大；其他的情况与以上讨论相同。a1a3fxfx图12 响应幅值随激励变化曲线(a1) 图13 响应幅值随激励变化曲线(a3)6.3地基性质对体系反应的影响相互作用体系同前，仅改变地基土的性质，地基土取中硬土，剪切波速C

19、s为270ms，密度为2000kgm3，泊松比为0.3。在x=3,x时的计算结果及与中软土地基的对比见图14和图15。- 7 -320280240200值a11601208040a1值0fx1图14 响应幅值随激励变化曲线 图15 响应幅值随激励变化曲线 由图14和图15可以看出，同等大小的激励幅值作用下，中软土地基上的响应要大于中硬土地基上的响应，软土地基体系的自振周期延长，自振频率减小，阻尼比加大，共振的放大效应明显。7. 结论本文通过结构地基作用的非线性分析，揭示了相互作用非线性振动的复杂现象。当结构与地基土均考虑其非线性因素后，其响应幅值随激励幅值变化加大；地基性质也是影响幅值的重要因

20、素，中软土地基的响应幅值明显大于中硬土的响应幅值。研究分析表明，当体系的某两频率成某种比例时，在外激励的频率与高模态的频率相接近的情况下，低模态被激发，加强了低模态的变化幅值。由计算结果可以看出，当x且x=3时，代表扭转变形的低模态被激发，从而导致扭转振动的幅值变化比水平振动的幅值变化大得多，水平与扭转位移耦合现象加剧，这一现象应引起工程设计人员的重视。参考文献1 姜忻良，贾勇结构-滑移基础-土非线性相互作用体系主共振与分叉J工程力学，2002.5：103-1072 姜忻良，骆兰月考虑空间效应的非线性结构主共振分析J地震工程与工程振动，2003.3：68-733 姜忻良，郑刚，常好诵地基结构相

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