维随机变量及其分布

1、第三章 维随机变量及其分布本章要求1了解维随机变量的概念,重点掌握二维随机变量的概念,分布函数,分布列,概率密度及边缘分布等。2掌握并理解二维随机变量的联合分布与边缘分布的关系。3理解随机变量独立性的概念。4掌握求随机变量函数的分布的方法。内容提要与疑难解析一、随机变量的定义设是一个随机试验，它的样本空间记作，设和是定义在上的随机变量，由它们构成的一个向量叫做二维随机变量或随机向量。由定义可以看出，随机变量不过是一个随机取向量值的变量。从几何图形上看，二维随机向量可以看作平面上的“随机点”，它的随机取值相当于在平面上随机取点。固然可以对随机向量的每个分量分别进行研究，但二维随机变量的性质不仅与

2、及有关，而且还依赖于这两个变量的相互关系，因此把还需作为一个整体来进行研究，对许多问题来说这是十分必要的。二、 二维随机变量的分布函数定义1 设是二维随机变量，对于任意实数二元函数称为的分布函数或称为随机变量和的联合分布函数。而称为关于和的边缘分布函数。性质是变量和的不减函数。且对于任意固定的，对于任意固定的，；。；即关于右连续，关于也右连续。对于任意；下述不等式成立，。值得注意的是：如果一个二元函数要成为某一个二维随机变量的分布函数，必须满足上述四个条件，如果仅仅满足上述这三个条件，它还不一定能成为某个二维随机变量的分布函数，例如： 容易验证，这个函数满足条件，但不满足条件 (-1,3) (

3、3,3)。我们考虑平面中任一图形，（如图3-1），它的三个 顶点在直线以上，一个在此直线以下，由的关系 式有 (-1,-1) y=-x (3,-1) 图3-1这是不可能的，因为一个事件的概率不能为负，故不可能是的分布函数。另外从定义中可以看出：二维随机变量的联合分布函数能唯一确定边缘分布函数，但反之不一定。三、 二维随机变量的分布律与概率密度离散型随机变量的分布律定义2 如果二维随机变量的所有可能取的值是有限对或可列无限多对时，则称是离散型的随机变量。显然二维随机变量是离散型的，当且仅当和都是离散型的随机变量。这是因为若是离散型的，它的一切可能取值为，则取的全部可能值必为；取的全部可能值必为，

4、所以和都是离散型的随机变量。反之，若取的全部可能值为；取的全部可能值为，则取的全部可能值的个数是有限的或可列的，所以为离散型随机变量。定义3 设二维离散型随机变量所有可能取值为记称之为二维离散型随机变量的分布律，或随机变量和的联合分布律。记 分别称和为关于和关于的边缘分布律。关于边缘分布律这个名称的含义通过下面的例子将看得很清楚。例1 一袋中装有2只白球及3只黑球，现从袋中随机地取球2次，定义下列随机变量 （1） 进行有放回的取球，（2）采用不放回取球则的联合分布律与边缘分布律由下表给出表1有放回取球的概率分布 表2不放回取球的概率分布Y X 0 1 PY=yj= Y X 0 1 0 0 1

5、1 PX=xi 1 1=在上面两个表中，中间部分是的联合概率分布，而边缘部分是的概率分布，它们是由联合分布经同一行或同一列的相加而得到，“边缘”二字由上述双行表的特点而来。从上述两个表中，我们可以看到及的边缘分布是相同的，但它们的联合分布却不相同，这里可以看出联合分布不能由边缘分布唯一确定，也就是说二维随机变量的性质并不能由它两个分量的个别性质来确定，这时还必须考虑它们之间的联系，这也说明了研究多维随机变量的作用。连续型随机变量的概率密度定义4 设二维随机变量的分布函数，如果存在非负的函数，使得对于任意的有则称是连续型的随机变量，函数称为二维随机变量的概率密度或和的联合概率密度。而；为关于和的

6、边缘概率密度。从定义中可以看出，若是连续型随机变量，当且仅当它的两个分量和都是连续型的随机变量。联合概率密度具有如下性质若在点连续，则有是平面上的一个区域，点落在内的概率为上述四条性质中，和是联合概率密度最基本的性质。也就是说，任何一个定义在整个平面上的非负二元函数，如果具有上述性质和，则它一定可以作为某个二维随机变量的概率密度。由性质可以看出，事件的概率等于以曲面为顶，平面区域为底的曲顶柱体的体积。四、 条件分布，随机变量的独立性若为二维随机变量，在的条件下的分布通常指的是：在的条件下，的取值不超过的概率（的任意实数），称为的条件下,的条件分布函数。记作或。为避免出现的情况，因此通常采用极限

7、形式来定义条件分布函数。同样可以定义，在的条件下的条件分布函数，定义5 设是二维离散型随机变量，对于固定的，若，则称为在条件下随机变量的条件分布律。同样，对于固定的若，则称为在条件下，随机变量的条件分布律。定义6 设是二维连续型随机变量，其概率密度为，边缘概率密度分别为，则分别称为在条件下，的条件分布函数和条件下，的条件分布函数。而；，分别称为在条件下，的条件概率密度和在条件下，的条件概率密度。定义7 设及分别是二维随机变量的分布函数及边缘分布函数，若对所有的有即，则称随机变量和相互独立。为连续型随机变量，则和相互独立的充要条件是为离散型随机变量，则和相互独立的充要条件是其中，是由关于求和后得

8、到的；是由关于求和后得到的。随机变量的独立性概念是概率论中最基本的概念之一，也是最重要的概念之一。从定义7看出，随机变量相互独立是指随机事件和相互独立，此时由边缘分布可以唯一地确定联合分布。在理论上可以严格地证明：如果两个随机变量相互独立；那么，它们的函数也相互独立，例如，与独立，则与也独立，与也独立，（为任意常数）等等。而在实际问题中，常常由随机试验的独立性来判断随机变量的相互独立性。五、两个随机变量函数的分布1的分布设为二维连续型随机变量其概率密度为，则的分布函数为此时积分区域是直线左下方的半平面（如图3-2），化为累次积分为 y的概率密度公式 x+y=z当与相互独立时 G o x上述，称

9、为的卷积记作 图3-2，卷积满足交换律和结合律， 几个重要的随机变量和的分布（1） 若与相互独立，且则。（2） 若与相互独立，且都服从分布，即则。 分布若随机变量的概率密度为其中为两个参数， 为伽马(Gamma)函数，则称随机变量服从参数为和的分布，简记为。特别，当时，分布的概率密度转变为称为自由度为的分布，简记为。（3） 若与相互独立且都服从分布，即，则。（4） 若与相互独立且都服从二项分布，即，则。（5） 若与相互独立且都服从Poisson分布,即则注意上述（4）、（5）中两个分布都是离散型的。2的分布设为二维连续型随机变量其概率密度为，则的分布函数为这里积分区域是直线左上方的半平面（如图

10、3-3），化为累次积分为，固定和对积分 y作变换，令，得 x-y=z x于是 图3-3由概率密度定义可得，的概率密度为 当相互独立时有3设的概率密度为，则的分布函数为其中如图3-4所示。其概率密度为 y 当相互独立时 G1 x其中，分别表示关于、关于的边缘 G2概率密度。几个重要的随机变量商的分布 图3-4（1） 若，且相互独立， 那么，随机变量服从自由度为的分布（学生分布）。其概率密度为其中，为伽马函数。（2）若随机变量和相互独立，分别服从自由度为和的分布，那么，随机变量服从自由度为的分布。其概率密度为4的分布设随机变量的概率密度为，其边缘概率密度分别为，那么容易证明它们乘积的概率密度为。当

11、相互独立时。5及的分布设是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为即同理可得典型例题 例1 一整数等可能地在十个值中取一个值，设是能整除的正整数的个数，是能整除的素数的个数（注意不是素数），试写出和的联合分布律和边缘分布律。解 素数是指一个大于的整数，除了能被和它本身整除外再不能被其它的整数整除这样的数称作素数；否则就称作合数。当等可能地在中取值时，的可能取值为，其中而的可能取值为；其中所以 由上述计算得的分布律，及其边缘分布律如下F(n) d(n) 1 2 3 4 PF(n)=j0 1/10 0 0 0 1/101 0 4/10 2/10 1/10 7/102 0 0 0 2/10 2/10

12、Pd(n)=i 1/10 4/10 2/10 3/10 1例2 从一个装有3个红球，2个白球和4个黄球的 y盒子中，任意取出3个球，设分别表示取出的白球数 (1.5,1.5)和红球数，试求的联合分布律，边缘分布律和 G落入区域内的概率（如图3-5）。 o x解 显然，均为随机变量，的全部可能取值为；的全部可能取值为；由于题意限制只取出 图3-5个球，因此必须满足，在图5中，我们把取的全部可能值用*表示出来，用表示取出的三个球中有个白球，个红球，它的概率为计算结果如下：X Y 0 1 2 3 PX=xi0 1 2 PY=yj 例3 设的概率密度为试求（1）常数（2）分布函数（3）边缘概率密度 （

13、4）求落在区域（如图3-6中带阴影部分）内的概率。解 （1）利用联合概率密度的性质2）有 x+y=1 y由此式得 （2）由分布函数的定义，并注意到在不同区 域上的具体表达式。 o x当或时， 图3-6当或时当，时当，时当，时因此，的联合分布函数为（3）当时，当为其它值时，因为，所以因此，类似地，可得（4）例4 设概率密度为试求(1)的分布函数. (2)边缘分布函数及边缘概率密度. (3).解 (1)当时 当或时,因此,.(2).于是,得到, .(3) .例5 设是平面上的有界区域,其面积为,若二维随机变量具有概率密度,则称在上服从均匀分布,假定为及所围成的区域(图3-7),求的概率密度及边缘概

14、率密度.解 区域的面积所以, y y=x2关于的边缘概率密度为 1 y=x G即, 1 x关于的边缘概率密度为 图3-7即,.例7 设随机变量的分布函数为,求常数及的概率密度.解 由于为随机变量的分布函数,所以必满足分布函数的性质,由性质可知,对于任意固定的,即由于的任意性,可知,同理可确定再由,可得,即.所以, ,.由随机变量的概率密度性质可知, 例8 有12件产品,其中有6件为一等品,2件为二等品,4件为三等品,从中不放回地取3件,设其中一等品数为,二等品数为,试求条件下的条件分布律.解法1 利用公式,首先求的分布律及边缘分布律.为了方便计算,设抽取的3件产品中恰有件三等品.先考虑的可能取

15、值. 于是其中在中取值,在中取值且满足,结果如下表Y X 0 1 2 3 PY=yj0 1 2 PX=xi 于是可得条件分布律.解法2 从问题的实际含义来考虑,求在的条件下的条件分布律,相当于从12件产品中除掉全部二等品,在剩下来的10件产品中任取2件(第三件肯定是二等品),求其中含有一等品件数的分布律,这时可直接求出.例9 以记某医院一天出生的婴儿的个数,记其中男婴的个数,设的联合分布律为求(1)条件分布律 (2)写出当时的条件分布律.解 由公式由于而 .所以,又由于 所以,显然, .例10 设随机变量的概率密度为求条件概率密度.解 由公式,而所以,;由于当时,当时,所以, ;于是,当时,.

16、当时, .例11 设关于的条件概率密度为,而的概率密度为,求.解 设随机变量的联合概率密度为则所以, .于是, .例12 的概率密度为,问与是否独立?解 由于与相互独立的充分必要条件为,分别为的边缘概率密度,而显然,所以,与不独立. 例13 设是相互独立的随机变量且都服从上的均匀分布,试求方程有实根的概率.解 方程有实根条件为即而 y; . y=x2由于相互独立,所以的联合概率密度为 o 1 x 图3-8所以二维连续随机变量函数的概率密度:1. 两个随机变量的密度都比较简单时,用直接积分法求分布函数,求导得概率密度.例14 是相互独立的随机变量,概率密度分别是;求的概率密度.解 当时,所以.当

17、时, 所以,.当时, .所以.于是,.这种方法的特点是没有新知识、易懂，但局限性太大,当密度不容易积分时无效. 2.当两个随机变量的密度较简单,定义区域也简单,两个随机变量又独立时,用卷积方法来做更快.首先说明卷积的原理. y x+y=z变量代换令 o z x所以,对称的. 图3-9例15 设和两个相互独立的随机变量,它们都服从分布,求的分布.解 ,即分布.其中.例16 在一简单电路中,两电阻和串联联接,设和相互独立,它们的概率密度均为 y 10试求总电阻的概率密度. o 10 x解 用公式来作因为的定义域是,所以时,. 图3-10当时,使与都有意义,同时成立.从而时有.当时,使与都有意义.,

18、同时成立.从而,因为从第二个式子中得出,把这个区域和比较且同时使与都有意义,则取小区域当时, 中,所以.所以.对于两个随机变量的差,与上述和的形式相仿,上述和密度求出,我们用了较简单的两种方法,一种是直接方式,另一种是卷积方法,卷积方法讨论积分限时较繁,但仔细作来没问题,除此之外还有的可比变换性和特征函数法,学习了特征函数概念之后,求函数的密度更快捷.例17 设;且相互独立,求的分布.解 方法1,直接积分法 当, ,方法2 用相当于和函数的第二种方法,中作变换当 所以于是.当,.综上, .本题使用这个方法,.例18 电子仪器由两个相互独立的电子装置组成,组成方式有两种:(a) 串联 (b) 并联已知的寿命分别为,它们的分布函数分别为; 其中,试在两种联结方式下,分别求出仪器寿命的概率密度.解 (a)串联情况由于当有一个损坏时,仪器就停止工作,所以仪器的寿命则.于是的概率密度为.(b)并联情况因为只有当都损坏时,仪器才停止工作,所以,仪器的寿命则.于是, 的概率密度为.考研题精解1.(1998,I)在区间中随机地取两个数,求两数之和小于的概率.解 设分别表示随机取出的两个数,则 y取值的所有可能结果(即样 (1,1)本点全体)对应的集合为,以1为边长的正方形,其 x+y=6/5面积为1,事件对应图中部分,的面 A x积为,故. 图3-142.(1994,I)设相互独立的两个随机变量