数列的全章复习与巩固

1、三好高中生(ID： sanhao-youke),为高中生提供名师公开课和精品资料。数列的全章复习与巩固编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】1 .系统掌握数列的有关概念和公式；2 .掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式，并运用这些知识解决问题；3 .了解数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系，能通过前n项和公式Sn求出数列的通项公式an；4.掌握常见的几种数列求和方法【知识网络】【要点梳理】要点一：数列的通项公式数列的通项公式一个数列an的第n项an与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式anf(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.要点诠释：不是每个数列

2、都能写出它的通项公式.如数列1,2,3,1,4,2,就写不出通项公式；有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：数列一1,1,1,1,的通项公式可以写成an(1)n,也可以写成ancosn；仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的通项an与前n项和Sn的关系：任意数列an的前n项和Sna1a2an；Si(n1)an-一，八、SnSn1(n2)要点诠释：由前n项和Sn求数列通项时，要分三步进行：(1)求aiSi,(2)求出当n>2时的an,(3)如果令n>2时得出的an中的n=1时有aS成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的

3、形式.数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项an与它的前一项an1或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式要点诠释：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等要点二：等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法定义法：an1and(常数)是等差数列；中项公式法：241anan2(nN*)%是等差数列；通项公式法：anpnq(p,q为常数)an是等差数列；前n项和公式法：SnAn2Bn(A,B为常数)an是等差数列.要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从多I例入手，归纳猜想一般特性等差数列的有关性质：(1)

4、通项公式的推广：anam+(nm)d*(2)右mnpq(m>n、p、qN),贝Uamanapaq；特别，若mn2p,则aman2ap三好高中生，学习方法/提分干货保青品课程/考试真题，你需要的这里都有!(3)等差数列an中，若m>n、p(m>n>pN)成等差数列，则am、an、ap成等差数列Sk,S2kSk,S3kS2k,组成新的等差数列(4)公差为d的等差数列中，连续k项和(5)等差数列&,前n项和为Sn当n为奇数时，Snnam;S奇S偶anan1当n为偶数时，Snn()；S2(6)等差数列4,前n项和为Sn,则(7)等差数列&中，若m+n=p+q(m

5、、n、p、qCN*,且mn,pw0,贝U.mnpq(8)等差数列an中，公差d，依次每k项和：Sk,S2kSk,S3kS2k成等差数列，新公差d'k2d.等差数列前n项和Sn的最值问题：等差数列an中an0右ai>0,d<0,Sn有最大值，可由不等式组来确定n;an10an0右ai<0,d>0,Sn有最小值，可由不等式组来确定n,也可由刖n项和公式an10一d2.d.Snn(a1一)n来确定n.22要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法要点三：等比数列判定一个数列是等比数列的常用方法SmSn1dn;S2S禺an2an12Smn/(m、mna

6、一一(1)定义法：q(q是不为0的常数，nCN*)an是等比数列；an(2)通项公式法：ancqn(c、q均是不为0的常数nCN*)an是等比数列；(3)中项公式法：a21anan2(anan1an20,nN*)an是等比数列等比数列的主要性质：(1)通项公式的推广：anamqnm*、一.(2)右mnpq(m>n、p、qN),贝Uamanapaq.特另1J,若mn2p,贝Uamanap2(3)等比数列an中，若m>n、p(m>n>pN)成等差数列，则am、an、ap成等比数列(4)公比为q的等比数列中，连续k项和Sk,S2kSk,S3kS2k，组成新的等比数列.(5)等

7、比数列斗,前n项和为Sn,当n为偶数时，S偶S奇q.(6)等比数列an中，公比为q,依次每k项和：Sk,S2kSk,S3kS2k成公比为qk的等比数列.(7)若an为正项等比数列，则logaan(a>0且awj)为等差数列；反之，若%为等差数n(n 1)a1nq 2 (n N*)列，则aan(a>0且aD为等比数列(8)等比数列&前n项积为Vn,则Vn等比数列的通项公式与函数：n1anaq方程观点：知二求一；函数观点：ana1qn1亘qnqq0且q1时，是关于n的指数型函数；q1时，是常数函数；要点诠释:0 ,等比数列&是递减数列;当q1时，若a10,等比数列4是递

8、增数列；若a1当0q1时，若a10,等比数列an是递减数列；若a0,等比数列%是递增数列;当q0时，等比数列an是摆动数列;当q1时，等比数列an是非零常数列要点四：常见的数列求和方法公式法：如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n项和公式求和.分组求和法：将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：an=2n+3n.裂项相消求和法：把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.右an,分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式则an(An B)(An C

9、)(An B)(An C)占(An B1An Can=1n(n 1)错位相减求和法:通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式:anbn cn ,其中bn是公差dwo等差数列，cn是公比qwi等比数列,如 an=(2n-1)2 n.般步骤:Snb1C1b2c2bn 1Cn 1bnCn，则qSn hGbn 1cnbn cn 1所以有（1q)Snb1C1(C2C3cn )d bncn 1要点诠释:求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点要点五：数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（

10、复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型建立数学模型的一般方法步骤.认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么.抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.【典型例题】类型一：数列的概念与通项57一，一，1726的一个通项公式.13例1.写出

11、数列：1,510【思路点拨】从各项符号看,负正相间，可用符号（1）n表示；数列各项白分子：1,3,5,7,是个奇数列，可用2n1表示；数列各项白勺分母:5,10,17,26,恰是221,321,421,521,可用（n1）21表示.【解析】通项公式为：an （ 1）n2n 12(n 1)1【总结升华】求数列的通项公式就是求数列中第n项与项数n之间的数学关系式.如果把数列的第1, 2, 3,项分别记作f(1), f(2), f(3),，那么求数列的通项公式就是求以正整数n （项数）为自变量的函数f（n）的表达式;通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；给出数列的构造为分式时，可

12、从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.举一反三：1212312345【变式1】已知数列i，£J,£,3,£,3,4,，则5是此数列中的（）2132143216A.第48项B.第49项C.第50项D.第51项【答案】C.11212312r将数列分为第1组1个，第2组2个，第组n个，（1）,（1，2）,（，2/），（，,121321nn11.一.一.5.则第n组中每个数的分子分母的和为n+1,则5为第10组中白第5个，其项数为（1+2+3+9)+5=50.故选C.【变式2】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其

13、通项公式:(1) a13,an12an11(2) a1a©12an【答案】(1)a13,a27,a315,包31,猜想得an 2n 1 1 .12 a 3 2a(2)ai =a,a2=,a3=,a4=,2 a 3 2a 4 3a猜想得 an= (n 1) (n 2)a n (n 1)a类型二：等差、等比数列概念及其性质的应用1之间才1入n个正数，使这n 2个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积;方法一：设插入的n个数为x1,x2, , xn ,且公比为q,则n 1 - qn 1 n1q n(n 1), 4 -q (k 1,2，n) nTnXi x211 2Xn -q -qn nn(

14、n 1)1 -q n1万法一：设插入的n个数为x1,x2, , xn , x0 ,xn 1 n 1,nn 1Xo Xn 1 Xi Xn X2 Xn 1n2n 1 nTn x1 x2xn ' Tn(x1xn ) (x2xn 1)(xn x1) () ,nTn(U)2n【总结升华】第一种解法利用等比数列的基本量a1、q,先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到.举一反三：【变式1】如果一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为

15、32:27,求公差.【答案】设等差数列首项为&,公差为d,则12a1- 12 11 d 354216(a1 d) 6 5 2d2c1c c，6a16 5 2d212a1 66d 354a1 25a1 2d 0d 5【变式2】已知：三个数成等比数列，积为 216,若第二个数加上4,则它们构成一个等差数列，求这三个数.【答案】这三个数为2, 6, 18 或 18, 6, 2.例3.设&是等差数列1S J1,则会等于(3S12A. B.-103C. 1 D, 189【思路点拨】利用等差数列的性质来解：等差数列an中，Sk，S2kSk，S3k&k也成等差数列.0成等差数列,【解

16、析】由题意知S3,S6S3,S90,§2由已知得S63S3,故公差为(S6s3)S3S3,所以S9s6S32s3,故S96s3，S12S9S33s3,故§210S3,s63所以一一.故选A。S1210【总结升华】等差等比数列的性质是高考命题的热点，熟练掌握它们的性质并灵活运用，能使问题简洁.举一反三：【变式】已知等差数列an,Sn25,S2n100,则S3n()A.125B.175C.225D.250【答案】C方法一：an为等差数列， Sn，S2nSn，0nS2n成等差数列，即2(S2n&)&(S3n$2n) 2(10025)25(S3n100),解得当22

17、5,选C.方法二：取特殊值(适用选择题)：令n1,由题意可得SnS1a25，S2nS2a1a2100,a275,da2a50,cc3(31) .S3nS33a1(一)d225,2，选C.、4一n(n1)2n(2n1)万法二：Snna1d25,S2n2na1-d100,2 2两式相减可得nain(3n1)d75,2S3n3na13n(3n1)d753225.2，选C.例4.等差数列an中，a10,S9§2,该数列前多少项的和最小？【思路分析】等差数列an的通项an是关于n的一次式，前n项和Sn是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和Sn的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的

18、方法981211【解析】设等差数列an的公差为d,则由题意有：9a1d12a1d22化简得a110d,'/a10,d0,Sn na1 nd10dn212；d0,Sn有最小值。又nN,n10或n11时，Sn取最小值.0时，Sn有最小值；当【总结升华】前n项和Sn是关于n的二次式(缺常数项)，当a10,da10,d0时，Sn有最大值举一反三：【变式1】等差数列an中，a113,S361,则它的前一项和最大，最大项的值是.【答案】7,493 21110设公差为d,由题思得3a1+d=11a1+-d,得d=-2,Sn有最大值.311又S3=S11,可彳导n=一-=7,76S7为最大值，即S7=

19、7X13+-(-2)=49.【变式2】若数列an是等差数列，数列bn满足bn=anan+1an+2(nCN),bn的前n项和用Sn表示,若an中满足3a5=8a12>0,试问n多大时，Sn取得最大值，证明你的结论.56【答案】-3a5=8a12>0,.3as=8(a5+7d),解得a5=d>05'd<0,-a1=-d5故an是首项为正的递减数列ana1(n 1)d 0则有n 1')，即an 1al nd 076 d576 .d5(n 1)d 0nd 0解得：151. n=16,即a16>0,a17<0即：a1>a2>>a16

20、>0>a17>a18>是 b1>b2> - >b14>0>b17>b18>而 b15=a15 a16 a17<0b16=a16 a7 a18>0Si4>Si3> - >Si ,S14>S15, S15<S16p 69乂 a15= - d>0, a18= 一 d<055a15<|a18|,|b151Vb16,即 b15+b16>0S16>S14,故 Sn 中 S16 最大S例5.设Sn、Tn分别为等差数列an, bn的前n项和，满足 Tn7n 1+ a11,求

21、14n 27【思路点拨】利用等差数列的前 n项求和公式及性质是解决本题的关键，主要利用:S2n 1(2n 1)(a1 a2n 1) (2n 1) 2an(2n 1)an进行求解.方法一:a111bli2a112b11aa21b1b2121,、(a1a21)21 八 ，、 二(bl b21)2S217 21 1T214 21 27-的关系3方法二:设&k(7n1)n, Tnk(4n 27)n(kw0)a11=S11-S10=11k(7 11+1)-10k(7 10+1)=148kb11=T11-T10=11k(4 11+27)-10k(4 10+27)=111ka11 bn148k411

22、1k3【总结升华】等差数列的中项在前 n项和式中的应用是解决本例的关键,也应注意到前n项和与通项公式的联系.【变式1】等差数列an中，Sn=50, a1 a2 a3 a430, an 3 an 2 an 1 an 10,求项数n.【答案】a1 a2 a3 a4 30an 3 an 2 am an 10由(1) + (2)得：4(a1 an) 40(为cn(a1 an)n 10-Sn 50 nn 22【变式2】已知各项均为正数的等比数列【答案】由已知得a1a2a3 a3 5,a7a8a【高清课堂：数列综合381084例2】，an) 10,10an, aa2a3 5,a7a8a9 10,则 a4a

23、5a6 9 % 10 ,故 a4a5a6 a5 (Ja2a8)5>f2.【变式3】在数列an中，& 1,a2 2, an1(1 q)an qan 1 (n 2,q 0)，一，*、.(1)设bnan1an(nN),证明bn是等比数列(2)求数列 an的通项公式.中项.若氏是26与a9的等差中项，求q的值；并证明：对任意的 n N , 4是an 3与4 6的等差an(1)利用定义证明bn qbn,q 1n 11 q d-,q 11 q(3)证明1时,n不合题意q 1时,an2 2 qn21 q2 2qn 11 q由23是%与a9的等差中项可求q3n2n又an3an61TV17sq1q

24、n12(1q)2%即an是an3与an6的等差中项.类型三：由递推关系求数列通项公式例6.已知数列an中a5,a22,an2an13an2,(n3)求这个数列的通项公式。【思路点拨】把an2an13an2整理成anan13(an1an2),得数列anan1为等比数列；把an2an13an2整理成an3an113an2)得数列an3an1为等比数列，通过构造的新数列的通项公式，联立求出an.【解析】an2an13an2anan 13(an 1 an 2)又a1a27,anan1形成首项为7,公比为3的等比数歹U,则anan173n2-an2an 13an(an 1a23a113,an3an1形成

25、了一个首项为13,公比为1的等比数列则an3an1(13)(1)n234an73n113(1)n17on113n1an3(1)44【总结升华】本题是两次构造等比数列，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。举一反三：2【变式1】已知数列an中，a11,an1-an1,求an.32【答案】法一：设(an1A)-(anA),解得a332即原式化为(an13)-(an3)3设bnan3,则数列bn为等比数列，且b1al322 2nbnan3(2)(-)n1an33(一)n3 3法二：an2anan131(n2)由一得:一一2an1an3(anan1)设bnan1an则数列0为等比数列bnan1an

26、ant守1(2)n(3)n一ana23(2)n32a11,3a3(2)2a%23a323/2221(-)(-)-1,3332an-an3,an3【变式2】在数列an中,a1=1,an1nanan.an1nannanan1anan11nan111a2a1a312a2an(nan11)(n2)将以上各式叠加,an12(na11)n/2(n1)(n2)11an2(n1)(n2)一一11又n=l时，1一(11)1一2a12*,ann-V(nN)类型四：an与Sn的关系式的综合运用【思路点拨】可以考虑化为例7.数列an的前n项和为Sn,若对于nN,Snnan1恒成立，求Sn.Sn的递推式，直接求Sn,这

27、是方法一；已知S与an的混合式，考虑采用降角标作差的方法，化为an的递推关系式，先求an再求Sn,这是方法【答案】Snn【解析】方法一：当n 2时,anSnSn1,SnnanSnn(&Sn1)(1n)&nSn1,所以数列(1n)Sn是首项为2§,公差为1的等差数列.当n1时，§a11,2sl1(1n)Sn2s(n1)1n,Snn1方法二：Snnan1则Sn1(n1)an11一彳aannan(n1)an10,(n 1)an(n1)an 1anan 1在中，当n=1时，a1a11,a2 a3 a4an& ai a2 a3an 2ann 2 n 111 &

28、#177;n n 1 n(n 1) n n 1(11)(11)(11)(122334n【总结升华】an与Sn的关系式的综合运用，如果已知条件是关于an、Sn的关系式f(an,Sn)0,可利用n>2时anSnSn1,将条件转化为仅含an或Sn的关系式。注意分n=1和n>2两种情况讨论,若能统一，则应统一，否则，分段表示。举一反三：【变式1】在数列an中，已知a121,刖n项和S与通项&?两足2Sn2anSnan(n2,3.)，求这个数列的通项公式【答案】因为anSnSn 1,从而由已知得至U：2 _2Sn(2Sn 1)(Snr 1Sn)即工 Sn于是得到Sn1一，就可以得到:

29、2n 11an -2n2).【变式2】在数列an中,Sn是其前n项和，若a1= 1, an+1 =S)(n> 1)则3an =,n1,n21c，一.an=-Sn1(n>2,)3an+1= an(n> 2)3.c1an+1an=-an(n>2)3当n>2时,an工(")”当n=1时，a=1.1,n1an14n2,n21-(an 1)(nN*).333【变式3】已知数列an的前n项和为Sn,Sn(1)求&,a2；(2)求证：数列an是等比数列.【答案】(1)由Si1(a11),得©1(a11),331a1一)21 .1.一1又S2(a21)

30、,即阚a2(a21),付a2.3 3411(2)证明：当n2时，anSnSn1二1)二11),33得反L又曳Lan12a1211所以an为首项为-,公比为-的等比数列.类型五：数列的求和问题*例8.(2015天津)已知数列an满足an2qan(q为实数，且qw1),nN,a11,a?2,且a2a3,a3a4,a4a5成等差数列.(i)求q的值和an的通项公式；(n)设bnlOg2a2n,nN*,求数列0的前n项和.a2n1【答案】(1)2； an【解析】n 12kn22,n为奇数.n 2(n) Sn 4 广(i)解：由已知，有(a3%) a3)as)(a3 %)，即a4a2a5a3,所以a2(

31、q1)a3(q1).又因为qwi,所以a3=a2=2,由a3=a1q,得q=2.n1当n=2k1(kCN*)时，ana2k12k12下n2kin当n=2k(ken*)时，ana2k2k2万.n2k所以，an的通项公式为ann 12n22,n为奇数.n为偶数.（n）解：由（I）得bnlog2 a2nn，.设bn的前n项和为Sn,则 2 n *Sn2Sn121012112T3T(n(n上式两式相减,2Sn 1整理得,Sn1)1)112n 12n1;所以，数列bn的前n项和为【总结升华】数列求和是考试的热点，以等差、等比数列的基本运算为背景考查错位相减法、裂项相消法、分组求和等求和方法。重点是错位相

32、减法举一反三：【变式1】（2015天津文）已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a53b2=7.（I）求an和bn的通项公式；（n）设Cn=anbn,nN*,求数列cn的前n项和.【答案】（I）设数列an的公比为q,数列bn的公差为d,由题意q>0.由已知，有2q24q3d3d2,消10去d,整理得q42q28=0.又因为q>0,解得q=2,所以d=2.nC N*.所以数列an的通项公式为an=2n-1,nCN*;数列bn的通项公式为bn=2n-1,(n)由(I)有Cn=(2n1)2n-1,设cn的前n项和为Sn,则Sn=1X20+

33、3X21+5X22+(2n3)X2n-2+(2n1)X2n-1,2Sn=1X21+3X22+5X23+(2n3)X2n-1+(2n1)X2n,上式两式相减，得Sn=1+22+23+2n(2n1)X2n=2n+13(2n1)X2n=一(2n3)X2n3,所以，Sn=(2n3)2n+3,nCN*.21、n【变式2】右数列an的相邻两项an、an1是万程xCnX（一）0的两根，又a2,求数3列Cn的前n项和Sn.1C【答案】由韦达7E理信anan1g,HnHn1（3）,1、n1/曰an21,an1an2(T)，仔二,3an3数列a2k与a2k1均成等比数列，且公比都为由a2,a1a2,1、k1a2k

34、a2()3(I)当n为偶数时，令5k2k，a2k1(kN*a12(3)k1SnC1C2C3(&a2)(a2.C2a3)k(a3a4)(a2k1a2。(a2ka2k1)ai2(a3a5.a2k1)2(a2a4.a2k)a2k12a41(孑1312-3113(1)k13-237(1)k2397(1)2223(II)当1ka21(3)11361(*2(3)kn为奇数时，令n2kSnC1C2C3(aa2)(a2.C2a3)ai2(a3a5a2ka3121(1)k313123-13(1)k13231k91(3)27(3)(3)kk1(a3a4)1)n1-2-2(a2.(a2k2a2k1)(a2k

35、1a2k)a4.a2k2)a2ka21(1)k136113(1)k13236(3)k11/1xk16(3)类型六：等差、等比数列的综合应用例9.(2016长沙校级模拟)已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等(1)求数列an的通项公式；设bnanlog1an,求数列bn的前n项和Sn。2【答案】(1)an=2n(2)Sn=2n+1n2n+12【思路点拨】(1)根据a3+2是a2,a4的等差中项和a2+a3+a4=28,求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1,即可求得通项公式；(2)先求出数列bn的通项公式，然后求出-Sn-(-2Sn),即可求得的

36、前n项和Sn。【解析】(1)设等比数列an的首项为a1,公比为q丁义+2是a2,a4的等差中项1-2(a3+2)=a2+a4代入a2+a3+a4=28,得a3=8a2+a4=203a1qa1q202oa3a1q8C1.q2或q2a12a32;数列an单调递增an=2n(2) an=2nbn2n10gl2nn2n2Sn12222n2n2Sn122223(n1)2nn2n1一得，Sn=2+22+23+2nn.2n+1=2n+1n-2n+12【总结升华】本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般采取错位相减的办法。举一反三：【高清课堂：数列综合381084例1】【变式】已知两个等比数列an,bn,满足a1a(a0),b1a11,b2a22,b3a33.(1)若a1,求数列an的通项公式；若数列an唯一，求a的值.【答案】(1)an(2J2)n1或an(2出一1(2)a13类型六：应用题例10.某地区现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加2