数值分析试题及答案汇总

1、数值分析试题填空题(20X2')1.,X-2设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有_23位有效数字。2. 若f(x)=x7x3+1,则f20,21,22,23,225,26,27=J,f20,21,22,23,24,25,26,27,28=0。3. 设，IIAIIoo=5,IIXIIoo=3,IIAXIIqq<_15_4 .非线性方程f(x)=0的迭代函数x二%x)在有解区间满足|中(x)|<1,则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。5 .区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到2阶的连续导数。6 .当插值节点为等距分布时，若所求节点

2、靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。n7 .拉格朗日插值公式中f(x)的系数a(x)的特点是：Zadx)=1;所以当i=0系数a(x)满足a(x)>1,计算时不会放大f(K)的误差。8 .要使、；50的近似值的相对误差小于0.1%,至少要取4位有效数字。9 .对任意初始向量X(0)及任意向量g,线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1，)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是P(B)<1。10 .由下列数据所确定的插

3、值多项式的次数最高是x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511 .牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)|12 .线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差n(i=0,1,n)来实现的，其中的残差ri=(bi-ciiXi-a2X2-anXn)/aii,(i=0,1，,n)。13 .在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点xo的选取依据为f(x0)f"(x0)>0。14 .使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、判断题(10X1)1、若A

4、是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX=b一定可以使用高斯消元法求解。(乂)2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。()3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式naii-aaij(i=1,2,.,n)则解线性方程组AX=b高斯一一塞德尔迭代法一定收敛。(X)4、样条插值一种分段插值。()5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX=b。(X)8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开

5、始估计，直到最后一步迭代计算的舍入误差。(X)9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误差。（）10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。（x）三、计算题（5X10'）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。x1-x2x345x1-4x23x3-122x1x2x3=11解答：（1,5,2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：5x14x23x3=12x1-x2x3=42x1x2x3.11L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4方程化为：5x1-4x2+3x3=120.2x20.4x3=1.62.6x20.2x3=15.8(-0.2,26

6、最大元在第三行，交换第二与第三行:5x14x23x3=122.6x2一0.2x3=15.80.2x20.4x3=1.6L32=-0.2/2.6=-0.076923方程化为:5x14x23x3=122.6x20.2x3=15.80.38462x3=0.38466回代得x1=3.00005x2=5.99999x3=1.000102-用牛顿一一埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4（x）,并写出其截断误差的表达式（设f（x）在插值区间上具有直到五阶连续导数）0x012f(x)1-13f'(xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi

7、,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3-对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。2x1-x2+x4=1x1-x3+5x4=6x24x3-x4=8一x13x2-x3=3解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优:2x

8、1-x2+x4=1一x1+3x2-x3=3x24x3-x4=8x1-x35x4=6雅克比迭代公式：2x1-x2+x4=1-x1+3x2-x3=3x24x3-x4=8x1-x35x4=6计算机数学基础(2)数值分析试题一、单项选择题(每小题3分，共15分)1 .已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x=0.0a1a2-anX10s(aM)的绝对误差|x<().(A)0.5X10s1t(B)0.5X10st(C) 0.5X 10s+1 t()(D) 0.5 X 10 s+ t(A)一2-10-12-1-12010-1(B)-5110101(C)P 3.过(0,1),3x(A)2-1-1(2

9、,-3x 103-2 -x -11001-112(D)412J4-1311014), (3, 1)点的分段线性插值函数0MxM20 MxM 2P(x)=(3x 1(B)2-3x2 10(D)2x 10Mx£ 20 MxM22 .以下矩阵是严格对角占优矩阵的为4.等距二点的求导公式是(A)一. 1f (xk) (-y h一. 1f (xk1) - -(y hyk 1)yk 1)(B)一. 1f (xk)(yk-yk1) h,，、1，、f (xk 1)(yk - yk Jh(C)-1f(xk)*(-ykyk 1)f (xk 1) =1 /、(yk 1 - yk) h(D)5.解常微分方程

10、初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是1 / yk 1 =Hy2那么yp,yc分别为(p yc)yp =yk +hf (xk,yjJc =yk +hf 区书，yk)yp = yk hf (xk”yk) yc =yk hf (xk, yp)yp=yk+f(Xk,yjyp=yk+hf(xyj(C)(D)Jy=yk+f(Xk,yp)yc=yk+hf(xy,yp)二、填空题(每小题3分，共15分)6 .设近似值Xi%满足&Xi)=0.05,联2)=0.005,那么s(XiX2)=.7 .三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间a,b内二阶连续可导，S(Xk尸yk(已知)，k=0,1,2,n,且满

11、足S(x)在每个子区间Xk,Xk+i上是.bnn8 .牛顿科茨求积公式f(x)dx电工Akf(xk),则£Ak=.kOk09 .解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数中(X)满足在有根区间内,则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛.10 .解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报一一校正公式是预报值：yk41=yk+hf(xk,yk),校正值：yk+尸.三、计算题(每小题15分，共60分)11 .用简单迭代法求线性方程组8x1-3x22x3=204x111x2-x3=336x13x212x3=36的X取初始值(0,0,0)T,计算过程保留4位小数.12 .已知函数值f(0)=

12、6,f(1)=10,f(3)=46,f(4)=82,f(6)=212,求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6和二阶均差f(4,1,3).13 .将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分LV1+X2dx,计算过程保留4位小数.14 .用牛顿法求”"15的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保留4位小数.四、证明题(本题10分)15 .证明求常微分方程初值问题；y'=f(x,y)-、y(x。)=vo在等距节点a=X0<X1<<Xn=b处的数值解近似值的梯形公式为,、hy(Xk+1):Yk+1=Yk+一f(Xk,yk)+f(Xk+1,yk+1)2其中h=X

13、k+1-Xk(k=0,1,2,-n-1)计算机数学基础(2)数值分析试题答案一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.A2.B3.A4.B5.D二、填空题(每小题3分，共15分)6.0.05X2+0.005Xi7.3次多项式8.ba9.*(x)l讶<110.yk+'f(Xk,yJ+f(Xk书，yk书)hf(4+1,y).2三、计算题(每小题15分，共60分)11.写出迭代格式x1(k*=0+0.375x2k)0.25x3k)+2.5=-0.3636个+0+0.0909x3k)+3,x3k的=-0.5x1")-0.25x2k)+0+3X二(0,0,0)T.X1(1)=0+

14、0.375x0-0.25x0+2.5=2.5x21)=0.3636000.090903=3x31)=0.50-0.25003=3L得到X=(2.5,3,3)Tx1(2)=0+0.375M30.25M3+2.5=2.875x22)=-0.36362.500.090933=2.3637x32)=-0.52.5-0.25303=1.0000得至UX=(2.875,2.3637,1.0000)Tx1(3)=0+0.375M2.3637-0.25M1+2.5=3.1364x23)u-0.36362.87500.090913-2.0456x33)u-0.52.875-0.252.363703-0.9716

15、得到X=(3.1364,2.0456,0.9716)T.12.计算均差列给出.xkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151f(0,1,3,4,6)=15f(4,1,3)=6,2,213.f(x)=W+x,h=-=0.25.分点Xo=1.O,x1=1.25,x2=1.5,改=1.75,刈=2.0,Xs=2.25,x6=2.50,8xy=2.75,x8=3.0.函数值：f(1.0)=1.4142,f(1.25)=1.6008,f(1.5)=1.8028,f(1.75)=2.0156,f(2.0)=2.2361

16、,f(2.25)=2.4622,f(2.50)=2.6926,f(2.75)=2.9262,f(3.0)=3.1623.3h1f(x)dx=2f(x0)fd)+2(f(x1)+f(x2)+f(x3)+f仇)+f(x5)+f(x6)+f(x7)(9分)0.25X1.4142+3.1623+2X(1.6008+1.8028+2.0156+2.2361+2.4622+2.6926+2.9262)=0.125X(4.5765+2X15.7363)=4.506114.设X为所求，即求因为 f(X)=2X, fr(X)=2, 取 x0=11 .有迭代公式X2-115=0的正根.f(X)=X2115.Xk+

17、i=Xk f(Xk)=x f (Xk) k2X2 -115 xk 115=+2Xk2 2Xk(k=0,1,2,)Xi =11-22 11115 =10.727 3X2=10.727 3115十=10.723 82 10.727 3X3=10.723 82115+= 10.723 82 10.723 8X* 10.723 8四、证明题(本题10分)15.在子区间区+1.上，对微分方程两边关于X积分，得xk 1y(Xk+1)-y(Xk)= f f(x, y(x)dxXk用求积梯形公式，有h 一一y(Xk+1)-y(Xk)= f (Xk, y(Xk) + f (Xk+y(Xk书)2将 y(Xk),y

18、(Xk+1)用 yk,yk+1 替代，得到，、hy(Xk+1) Wk+1=yk+ f(Xk,yk)+ f(Xk+1 ,yk+1 )(k=0,1,2,n 1)2数值分析期末试题一、填空题(2父10 = 20分)一15-21(1)设 A= 210 ，则 |AL =13。3-821f(10)f”(10)=(100115)X2<0,f(11)f”(11)=(121115)X2>02x1 -5x2 = 1(2)对于方程组，Jacobi迭代法的迭代矩阵是10x1 4x2 =302.5Bj = |>.50 一.一 3 L*(3) yx的相对误差约是x的相对误差的1 ,立 一彳口。3(4)求

19、方程x = f(x)根的牛顿迭代公式是xn 1 = x nxn - f ( x n)1 f'(xn)3(5)设f(x)=x3+x-1,则差商f0,1,2,3=1(6)设n父n矩阵G的特征值是储，如，,则矩阵G的谱半径P(G)=max九i(7)已知A02 I则条件数CondXA)=(8)为了提高数值计算精度，当正数x充分大时，应将ln(x-Mx21)改写为ln(x+Jx2+1)。(9)n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n-1次。一一，一八口13(10)拟合二点(%,“),(x2,f(x2),(x3,f(x3)的水平直线是y=£f(xi)o3i=1工2x-x2x3=1

20、二、(10分)证明：方程组x1+x2+x3=1使用Jacobi迭代法求解不收敛性。x1+x2-2x3=1证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为00.5-0.5Bj1010.50.50Bj的特征多项式为九-0.50.52det(九IBj)=1九12A九+1.25)-0.50.5九Bj的特征值为%=0,九2=V125i,九3=-Vt25i,故P(Bj)=JH5>1,因而迭代法不收敛性。三、(10分)定义内积1(f,g)=0f(x)g(x)dx试在Hi=Span4,x中寻求对于f(x)=Jx的最佳平方逼近元素p(x)。解：*0(x)三1,中i(x)三x,111(外产。)="x=1,(9

21、 1$) =(xdx = Q,1 211 2件1 卅1)=10x dx = q ,(90,f) = J07xdx=G , 331(1,f)= 02x Jxdx = 一。 5法方程112卜11%3一412_斛得Co=,G=。所求的取佳平方逼近兀素为1515P(x)412i x15 150MxM1四、(10分)给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。23解：y(x);c0c1xc2xc3x501001T010034AA=100340034013012481-11-1A=100011111248ATy=(2.9,4.2,7,14.4)T法方

22、程TTAAc=Ay的解为c0=0.4086,c1=0.39167,c2=0.0857,c3=0.00833得到三次多项式y(x)=0.40860.39167x0.0857x20.00833x3误差平方和为二3二0.000194五.（10分）依据如下函数值表x0124f(x)19233建立不超过三次的Lagrange雨值多项式，用它计算f （2.2）,并在假设f（x）1下，估计计算误差。解:先计算插值基函数(x -1)(x-2)(x-4)0 X 一 (0 -1)(0 -2)(0 -4)-x2 811(x) Jx-0)(x-2)(x-4) (1 -0)(1 -2)(1 -4)2x212(x)Jx-

23、0)(x-1)(x-4) (2-0)(2 -1)(2-4)1-x4(2)(4 -0)(4-1)(4 -2)13=x24x12所求Lagrange雨值多项式为3_1134521一一L3(x)=£f(xj)l"x)=10(x)+9l1(x)+23l2(x)+3l3(x)=-x+x一一x+1从而y442f(2.2)划L3(2.2)=25.0683。f(4)(h小据京差公式R3(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)及假设f(x)M1得误差估计:R3(x)f(4)()4!|(2.2 0)(2.2 1)(2.2 2)(2.2-4)10.9504 = 0.0396 4!

24、六.（10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组101,00121204001xJ1x23x331-x415317”一-102011020101l211U22U23U2443l31l321U33U3403Il41l42l43U440121由矩阵乘法可求出Uj和lj-1l21l31-10解下三角方程组y4得原方程组的解为X1=1,X241l32l42一1-10u22l43u23u33u24u34U44V2y3=4。再解上三角方程组01xJX2一15【317一71-513=1,X3=2X3X4=2°七.（10分）试用Simpson公式计算积分21exdx的近似值，并估计截断误差。解:21exdxffc61(e4