数学(文)二轮复习通用讲义：专题三第二讲大题考法——立体几何

1、第二讲大题考法立体几何题型（一）平行、垂直关系的证明平行、垂直关系的证明是高考的必考内容，主要考查线面（面面声行、垂直的判定定理及性质定理的应用，以及平行与垂直关系的转化等.典例感悟典仞1（2018全国卷I）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,/ACM=90°.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABXDA.（1）证明：平面ACD，平面ABC;（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=|dA,求三棱锥Q-ABP的3体积.审题定向（一）定知识主要考查直线与平面垂直、平面与平面垂直、三棱锥的体积.（二）定能力1 .考查直观想象：平面图形翻折前后变

2、与不变的数量关系、位置关系；线面垂直、面面垂直的空间位置关系.2 .考查逻辑推理：欲证面面垂直，想到证线面垂直，进而要证线线垂直；要求三棱锥的体积，需求其底面积及高.（三）定思路第（1）问利用面面垂直判定定理求证：证BA1AC?ABL平面ACD?面ACDXWABC;第（2）问利用三棱锥体积公式求解：先求得三棱锥底面ABP的边角，过点Q作QEgC于点E,易证得QEL平面ABC,由体积公1式VQ-ABP=3XS/ABPXQE可求付体租.解(1)证明：由已知可得，/BAC=90°,即BA1AC.又因为BA1AD,ACAAD=A,所以ABL平面ACD.因为AB?平面ABC,所以平面ACDL平

3、面ABC.(2)由已知可得，DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=2DA,所以BP=272.3如图，过点Q作QE必C,垂足为E,则QE触1DC.3由已知及(1)可得，DC，平面ABC,所以QEL平面ABC,QE=1.因此，三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP=1XSzABpXQE=1xN3X2j2sin45乂1=1.332典例2(2017全国卷n)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为太等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=2AD,ZBAD=ZABC=90°./I证明：直线BC/平面PAD;(2)若PCD的面积为2巾，求四棱锥P-ABCD的体积.审题定向(一)定知识

4、主要考查直线与平面平行的判定、四棱锥的体积.(二)定能力1 .考查直观想象：四棱锥几何体中的线线、线面、面面平行与垂直的空间位置关系2 .考查逻辑推理：欲证线面平行，想到证线线平行；要求四棱锥的体积，需求底面积及高,进而先找证高线.(三)定思路第(1)问利用线面平行的判定定理求证：由条件中两角等于90。可得BC/AD,再结合线面平行的判定定理证明；第(2)问利用四棱锥体积公式求解：先求BC的长度后，计算底面积，确定高，利用V=1Sh可求.3解(1)证明：在平面ABCD内，因为/BAD=ZABC=90°,所以BC/AD.又BC?平面FAD,AD?平面FAD,所以BC/平面PAD.，一，

5、一.1一(2)如图，取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=2AD及BC/AD,/ABC=90°,得四边形ABCM为正方形，则CMLAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,所以PMLAD,PM，底面ABCD.因为CM?底面ABCD,所以PMXCM.国二llEr4设BC=x,贝UCM=x,CD=V2x,PM=3x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PNXCD,所以PN=F24x.因为PCD的面积为2巾，所以2xM2xx"24x=2g,解得x=2(舍去)或*=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=25.所以四棱锥

6、P-ABCD的体积V=:*21412V3=4*.32类题通法平行、垂直关系的证明思路i摄据图眩与已知条件，把所求迁的面面问题：二传化为统面向厩再特化为魏魏向超一.!VVB!*6=，KWVWB'!VV-H="W<!孑证明平行或垂直关系h利用线面，面面关不的判定定理与性及定理i14对点训练如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD,ABXAD,CD=2AB,平面PAD,底面ABCD,PAXAD,E和F分别为CD和PC的中点，求证：(1)PA,底面ABCD;(2)BE/平面PAD;(3)平面BEFL平面PCD.证明：(1)因为平面PAD,底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交

7、线AD,所以PAL底面ABCD.(2)因为ABQD,CD=2AB,E为CD的中点，所以AB/DE,且AB=DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BE/AD.又因为BE?平面PAD,AD?平面PAD,所以BE/平面PAD.(3)因为AB1AD,且四边形ABED为平行四边形，所以BE1CD,ADJCD.由知PAL底面ABCD,所以PAJCD,又ADAPA=A,所以CD，平面PAD,所以CD1PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF,所以CDJEF.又因为CD1BE,EFnBE=E,所以CD，平面BEF.又CD?平面PCD,所以平面BEFL平面PCD.题型(二)体积、距离的计算本部分

8、的计算题目多设两问，第(1户考查空间位置关系的证明，第(2产考查空间几何体体积的求法或点到平面距离的求法.典例感悟典例1(2018全国卷n)如图，在三棱锥P-ABC中，ab=bc=R2,太PA=PB=PC=AC=4,。为AC的中点./A证明：POL平面ABC;/血(2)若点M在BC上，且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.审题定向(一)定知识主要考查直线与直线垂直的判定、直线与平面垂直的判定定理、点到平面的距离.(二)定能力1 .考查直观想象：三棱锥中的线线垂直、线面垂直的空间位置关系2 .考查逻辑推理：欲证线面垂直，想到证线线垂直；要求点面距，先找过此点的面的垂线，即高线的长.(三)定思

9、路第(1)问利用线面垂直的判定定理求证：连接OB,由已知条件得出OP1OB,OP1AC,再利用线面垂直的判定定理得证；第(2)问利用线面垂直判定定理找高线，由等面积法求其大小：作出直线与直线垂直，证明直线与平面垂直，由等面积法求点到平面的距离解(1)证明：因为FA=PC=AC=4,O为AC的中点，所以PO1AC,且PO=2册.2一.一.一1连接OB,因为AB=BC=AC，所以ABC为等腰直角三角形，且OB必C,OB=2AC=2.所以PO2+OB2=PB2,所以POJOB.又因为ACnOB=O,所以PO,平面ABC.（2）如图，作CHJOM,垂足为H,又由可得OPJCH,所以CH，平1面POM.

10、故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=/AC=2,24、万2、花OCMCsinZACBCM=§BC=3,ZACB=45°,所以OM=3,CH=OM典仞2 （2017全国卷I ）如图，在四棱锥CD,且/ BAP=Z CDP=90°.P-ABCD 中，AB /.所以点C到平面POM的距离为证明：平面PABL平面FAD;(2)若PA=PD=AB=DC,/APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为8,求该四棱锥的侧面积3审题定向（一）定知识主要考查直线与平面垂直、平面与平面垂直、四棱锥的体积和侧面积（二）定能力1 .考查直观想象：四棱锥几何体中的

11、线线平行、垂直，线面垂直，面面垂直的空间位置关系2 .考查逻辑推理：欲证明面面垂直，想到证线面垂直，进而要证线线垂直；已知四棱锥的体积，可求得底面边长，进而可求侧面积.（三）定思路第（1）问利用面面垂直判定定理求证：证AB1AP,AB1PD?ABL平面PAD?平面PABL平面FAD;第（2）问利用四棱锥体积公式列方程求边，进而求各侧面面积：在平面PAD内作PE必D,先证得PE为四棱锥的高，由四棱锥体积列方程，求得高及各侧面中的边，进而由面积公式求得侧面积.解(1)证明：由/BAP=/CDP=90°,得AB1AP,CDJPD.因为AB心D,所以AB1PD.又APAPD=P,所以ABL平

12、面PAD.又AB?平面PAB,所以平面PABL平面PAD.(2)如图所示，在平面PAD内作PE1AD,垂足为E.由知，AB，平面PAD,故ABJPE,可得PEL平面ABCD.；.崇二设AB=x,则由已知可得AD=y2x,PE=¥x.故四棱锥P-ABCD'"的体积Vp-abcd=；ABADPE=；x3.由题设得：x3=5,故x=2.从而FA=PD=AB=DC=2,AD33331111=BC=2>/2,PB=PC=2q2.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为2PAPD+-PAAB+2PDDC十万BC2sin60=6+273.类题通法(1)求解不规则几何体的体积时，常用

13、割补法，将问题转化为柱体或锥体的体积求解.(2)求点到平面的距离时，常用等体积转换法.对点训练(2018郑州模拟)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PABL平面ABC,AB=6,BC=2V3,AC=276,D为线段AB上的点，且AD=2DB,PD±AC.(1)求证：PD,平面ABC;(2)若/PAB=-,求点B到平面PAC的距离.4解：(1)证明：连接CD(图略)，据题知AD=4,BD=2,AC2+BC2=AB2,.ACB=90°,.cosZABC=263-=兴,.CD2=22+(2m)22X2X2V3cos"BC=8,.CD=272,CD2+AD2=AC2,贝UC

14、D1AB；.平面PABL平面ABC,平面PABA平面ABC=AB,，CD，平面PAB,.CDJPD,PDIAC,ACACD=C,.PD，平面ABC.(2)由(1)得PD1AB,.熟B=j,.PD=AD=4,PA=4*,在Rt矛CD中，PC=/pD2+CD2=2乖，.-.zPAC是等腰三角形，可求得SAFAC=842.设点B到平面PAC的距离为d,由Vb-pac11SAabcxpd=Vp-abc,得3szpAcXd=3SaBcXPD,d=3.故点B到平面FAC的距离为3.题型（三）翻折与探索性问题主要考查平面图形与空间图形的转换，且多涉及空间线面、向向的平行与垂直问题的证明或判断以及探索性问题.

15、典例感悟典例1（2018全国卷出）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧仃）所在平面垂直，M是，D上异于C,D的点.歹（1）证明：平面AMD，平面BMC;Ak.幺（2）在线段AM上是否存在点P,使得MC/平面PBD?说明理由.审题定向（一）定知识主要考查线面垂直、面面垂直、线面平行的判定，探索性问题.（二）定能力1 .考查直观想象：空间图形中线线、线面、面面平行与垂直的空间位置关系2 .考查逻辑推理：欲证面面垂直，要证线面垂直、进而先证线线垂直；是否存在点使得线面平行，只需找一点证明线面平行即可.（三）定思路第（1）问利用线面垂直、面面垂直的判定定理求证：先证明BCJDM,再证明DM1CM即可；第

16、（2）问利用线面平行的判定定理进行判定：先连接AC,BD,BD与AC交于点O,再说明是否存在点P满足OP/MC即可.解(1)证明：由题设知，平面CMD，平面ABCD,交线为CD.因为BCJCD,BC?平面ABCD,所以BCL平面CMD,所以BC1DM.因为M为CD上异于C,D的点，且DC为直径，所以DMJCM.又BCACM=C,所以DM，平面BMC.因为DM?平面AMD,所以平面AMD，平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC/平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形，所以。为AC的中点.连接OP,因为P为AM中点，所以MCOP.又MC?平面PBD,OP?平面PBD

17、,所以MC/平面PBD.典仞2(2016全国卷H)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点。，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到D'EF的位置.(1)证明：AC±HD，;(2)若AB=5,AC=6,AE=4，OD'=272,求五棱锥D'-ABCFE的体积.审题定向(一)定知识主要考查平面图形翻折问题中的线线垂直、五棱锥的体积.(二)定能力1 .考查直观想象：平面图形到空间图形的转化，翻折前后变与不变的数量及位置关系2 .考查逻辑推理：欲证线线垂直，可转化为证其中一直线的平行线与另一直线垂直；欲求五棱锥的体积，需先找(

18、证)其高，再求其底面积，然后利用锥体体积公式计算即可(三)定思路第(1)问利用平行过渡来证明线线垂直：利用AC与EF平行，转化为证明EF与HD'垂直；1第(2)向利用锥体体积公式V=-Sh计算：3求五棱锥的体积需先求棱锥的高及底面的面积，结合图形特征可以发现OD'是棱锥的高，而底面的面积可以利用菱形ABCD与4DEF面积的差求解，这样就将问题转化为证明OD'与底面垂直以及求DEF的面积问题了.解(1)证明：由已知得ACJBD,AD=CD.又由AE=CF得器=焉，故AC/EF.由此得EFJHD,故EFJHD',所以AC1HD'.(2)由EF/AC得祟=AE

19、"=1.由AB=5,AC=6得DO=BO=«AB2AO2=4.所以OH=DOAD41,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(2V2)2+12=9=D，H2,故OD'!OH.由(1)知，AC±HD',又AC1BD,BDAHD'=H,所以AC,平面BHD',于是ACJOD'.又OD'JOH,ACAOH=O,所以OD'，平面ABC.又由AF=DO得EF=2.五边形ABCFE的面积S=2X6X81X9X3=69.所以五棱锥D'-ABCFE的体积乜二乂岑会平=232.224342类题通法1.

20、求解平面图形折叠问题的关键和方法关键分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口把平面图形翻折后.经过恰当连线就能得到三棱方法锥、四棱锥等几何体，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决2.求解探索性问题的类型及策略问题类型求解策略对命题条件的探索）先猜后证即先观察,尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命即成立的条件,再证明充分性事（3）将JL何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件对命题结论的探索【1）探索结论是什么,常从条件出发，探索出要求的结论是什么；（2）探索结论是否存在.常先假设结论存在，再在这个

21、假设下进行推理论证.寻找与条件相符或矛省的结论，相符则存在.矛盾则不存在对点训练（2018泰安模拟）如图，在正四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，E为AD的中点，F为BiCi的中点.（1）求证:AiF/平面ECCi；（2）在CD上是否存在一点G,使BG，平面ECCi?若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由.解：（I）证明：如图，在正四棱柱ABCD-AB1c1中，取BC的中点M,连接AM,FM,所以BiFBM且BiF=BM,所以四边形BiFMB是平行四边形，所以FM/BiB且FM=BiB.因为BiB/AiA且BiB=AiA,所以FMAiA且FM=AiA,所以四边形AAiF

22、M是平行四边形，所以AiF/AM.因为E为AD的中点，所以AE/MC且AE=MC.所以四边形AMCE是平行四边形，所以CE/AM,所以CE/AiF.因为AiF?平面ECCi,EC?平面ECCi,所以AiF/平面ECCi.(2)在CD上存在一点G,使BG，平面ECCi.证明如下：取CD的中点G,连接BG.在正方形ABCD中，DE=GC,CD=BC,ZADC=/BCD,所以CDE/BCG,所以/ECD=/GBC.因为/CGB+/GBC=90°,所以/CGB+/DCE=90°,所以BGJEC.因为CCi,平面ABCD,BG?平面ABCD,所以CCilBG.又ECACCi=C,所以

23、BGL平面ECCi.故当G为CD的中点时，满足BGL平面ECCi.解题通法点拨立体几何问题重在“转”一一转化、转换循流程思维一一入题快立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是转化、转换.转化一一空间平行关系间的转化、垂直关系间的转化、平行与垂直关系间的转化以及平面几何与立体几何的转化等；转换一一对几何体的体积、锥体体积常考查顶点转换，多面体体积多分割转换为几个规则几何体的体积和或体积差来求解，求体积时距离与体积计算的转换等.按流程解题一一快又准典例(20i6全国卷出)如图，四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD,AD/BC,

24、AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点，AM=2MD,N为PC的中点.(i)证明MN/平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.解题示范证明：由已知得AM=2AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知31TN/BC,TN=2BC=2.又ADBC,故TN触AM,所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为MN?平面PAB,AT?平面PAB,所以MN/平面PAB.1(2)因为PAL平面ABCD,N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为2PA.取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AEJBC,AEmMABBE2=J5.由AM/BC得M至UBC的距

25、离为机，故生BCM=1X4Xm=2的所以四面体N-BCM的体积Vn-bcm=XSabcm><Pa=2324,5?3.?转化：平行关系间的转化.线/缆线/面.TN/BC,AD/BC?TN触AM?MN/AT?MN/平面PAB.?转换：距离与体积的计算转换.点面距、点线距？体积的计算.AE=V5,AM/BC?点M至ijBC的距离为J5;点N到平面ABCD的距离为(pa?四面体N-BCM的体积.思维升华立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定，因此，复习备考时往往有“纲”可循，有“题”可依.在平时的学习中，要重视识图训练，能正确确定关键点或线的位置，将局部空间问题转化为平面模型.其中

26、，平行、垂直关系的判定与性质是立体几何的核心内容；空间距离、面积与体积的计算是重点内容.应用体验（20i8河北二市联考）在直二棱柱ABC-AiBiCi中，AC=4,CB=2,AAi=2,ZACB=60,巳F分别是AiCi, BC的中点.证明：平面 AEBL平面BBiCiC;(2)证明：CiF/平面 ABE;设P是BE的中点，求三棱锥 P-BiCiF解：(i)证明：在4ABC中,.AC=2BC=4,ZACB=60°,.AB=2®.AB2+BC2=AC2,.ABIBC,由已知ABdBBi,且BCnBBi=B,可得AB,平面BBiCiC,又AB?平面ABE,平面ABEL平面BB1

27、C1C.(2)证明：取AB的中点M,连接EM,FM,在ABC中，M,F分别为AB,BC的中点,.MFAC,MF=2AC,A1C1/AC,AiCi=AC,E为A1C1的中点,.MF£Ci,MF=ECi,，四边形ECiFM为平行四边形，.CiF/£M,.EM?平面ABE,CiF?平面ABE,CiF/平面ABE.1取BiCi的中点H,连接EH,则EHAB,且EH=2AB=3,又AB，平面BBiCiC,.EHL平面BBiCiC,.P是BE的中点，.VP-BiCiF=ZVE-BiCiF=iX1sABiCiFEH=XX2Xm=乎.223233课时跟检测A卷一一大题保分练1 .(20i8

28、济南*II拟)如图，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是矩形，平面MADN，平面ABCD,E,F分别为MA,DC的中点.求证：(i)EF/平面MNCB;(2)平面MAC，平面BND.证明：(1)如图，取NC的中点G,连接FG,MG.心加占/曰1玲*因为F,G分别为DC,NC的中点，所以FG/ND且FG=/ND,寻一一1'：又MEND且ME=2ND,所以FG与ME平行且相等，所以四边形MEFG是平行四边形，所以EFMG,又MG?平面MNCB,EF?平面MNCB,所以EF/平面MNCB.(2)因为四边形MADN是矩形，所以ND1AD.因为平面MADN，平面ABCD,平面ABCDn平面MA

29、DN=AD,DN?平面MADN,所以ND,平面ABCD,所以ND1AC.因为四边形ABCD是菱形，所以AC1BD.因为BDAND=D,所以AC,平面BDN.又AC?平面MAC,所以平面MAC,平面BDN.2 .(2018江苏调研)如图，在三棱锥P-ABC中，已知平面PBCX平面ABC.若ABBC,且CP±PB,求证：CPXPA;(2)若过点A作直线U平面ABC,求证：1/平面PBC.证明：(1)因为平面PBCL平面ABC,平面PBCA平面ABC=BC,AB?平面ABC,AB±BC,所以AB，平面PBC.因为CP?平面PBC,所以CP1AB.又CP1PB,且PBnAB=B,A

30、B,PB?平面PAB,所以CP,平面PAB.又PA?平面PAB,所以CP1FA.(2)在平面PBC内过点P作PDJBC,垂足为D(图略).因为平面PBC，平面ABC,又平面PBCA平面ABC=BC,PD?平面PBC,所以PD，平面ABC.又1，平面ABC,所以lPD.又1?平面PBC,PD?平面PBC,所以1/平面PBC.3 .(2018郑州模拟)如图，已知四棱锥S-ABCD,底面梯形ABCD中，AD/BC,平面SABL平面ABCD,4SAB是等边三角形，已知AC=2AB=4,BC=2AD=2CD=2p,M是SD上任意一点，SM=mMD,/'且m>0.?工(1)求证：平面SAB,

31、平面MAC;(2)试确定m的值，使三棱锥S-ABC的体积为三棱锥S-MAC体积的3倍.解：(1)证明：在4ABC中，由于AB=2,AC=4,BC=275,.AB2+AC2=BC2,故AB!AC.又平面SAB,平面ABCD,平面SABA平面ABCD=AB,AC?平面ABCD,AC，平面SAB,又AC?平面MAC,故平面SAB，平面MAC.(2)由(1)知，Smbc=2X2X4=4,S/acd=2*4X522=2,mmVs-mac=Vm-sac=Vd-sac=Vs-acd,Vs-abc_m+1Vs-abc_m+1SBC_m+1._Vs-macmVs-acdmsCDm'.m=2,即当m=2时

32、，三棱锥S-ABC的体积为三棱锥S-MAC体c积的3倍.4.(2018北京东城区模拟)如图，在四麴隹E-ABCD中，AEXDE,CD/，平面ADE,ABL平面ADE,CD=3AB.、丁(1)求证:平面ACEL平面CDE;(2)在线段DE上是否存在一点F,使AF/平面BCE?若存在，求出EED的值；若不存在，说明理由.解：(1)证明：因为CD，平面ADE,AE?平面ADE,所以CD1AE.又AE1DE,CDADE=D,所以AE，平面CDE,因为AE?平面ACE,所以平面ACEL平面CDE.(2)在线段DE上存在一点F,且ED=3,使AF/平面BCE.设F为线段DE上一点，且ED13.1过点F作F

33、M/CD交CE于点M,连接BM,AF,则FM=-CD,如3图所示.因为cd±Wade,abxWade,所以cd/ab.又FMCD,所以FM/AB.因为CD=3AB,所以FM=AB.所以四边形ABMF是平行四边形,所以AF/BM.又AF?平面BCE,BM?平面BCE,所以AF/平面BCE.5.(2018北京西城区期末)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF，平面ABCD,BF=3,G,H分别是CE,CF的中点.(1)求证：AS平面BDEF;(2)求证：平面BDGH/平面AEF;(3)求多面体ABCDEF的体积.解：(1)证明：因

34、为四边形ABCD是正方形,所以ACJBD.又平面BDEFL平面ABCD,平面BDEFn平面ABCD=BD,且AC?平面ABCD,所以AC，平面BDEF.(2)证明：在4CEF中，因为G,H分别是CE,CF的中点，所以GH/EF.又GH?平面AEF,EF?平面AEF,所以GH/平面AEF.设ACABD=O,连接OH,如图.在9CF中，因为O,H分别为CA,CF的中点，所以OHAF.因为OH?平面AEF,AF?平面AEF,所以OH/平面AEF.因为OHAGH=H,OH,GH?平面BDGH,所以平面BDGH/平面AEF.(3)由(1)得AC,平面BDEF.因为AO=<2,矩形BDEF的面积S矩

35、形bdef=3X2<2=642,1_一，所以四棱锥A-BDEF的体积Vi=;XS矩形bdefXAO=4.3同理，四棱锥C-BDEF的体积V2=4.所以多面体ABCDEF的体积V=Vi+V2=8.B卷一一深化提能练1.(2018重庆*II拟)如图，在几彳S体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，BE,平面ABCD,DF/BE,且DF=2BE=2,EF=5,AC,BD交于点O.证明：平面AECL平面BEFD;(2)若cos/BAD=；,求几何体ABCDFE的体积.3解：(1)证明：四边形ABCD是菱形,.ACJBD,.BE,平面ABCD,AC?平面ABCD,.BE1AC,又BEABD=B,.

36、AS平面BEFD,.AC?平面AEC,平面AES平面BEFD.(2).BE，平面ABCD,.BEJBD,.DF/BE,DF1BD,.,BD2=EF2(DFBE)2=24,，BD=2V6,1S四边形befd=2(BE+DF)BD=3，6,设AB=a(a>0),.CoszBAD=1,3.BD2=AB2+AD2-2ABADcosZBAD=4a2=24,，a=3也3.OA2=AB2-OB2=12,.OA=2弧由(1)得AC,平面BEFD,OA=OC,-V几何体ABCDFE=2V四棱锥A-BEFD=；S四边形BEFDOA=12/2.32.(2018陕西模拟)在三棱锥P-ABC中，PAC和4PBC都

37、是边长为山的等边三角形，AB=2,O,D分别是AB,PB的中点.(1)求证：OD/平面PAC;(2)求证：POL平面ABC;(3)求三棱锥A-PBC的体积.解：(1)证明：:。，D分别为AB,PB的中点,.ODPA.又PA?平面PAC,OD?平面PAC,.OD/平面PAC.(2)证明：如图，连接OC,.AC=CB=m，AB=2,.AC2+CB2=AB2,ACB=90°.又。为AB的中点,.OCJAB,OC=1.同理，PO1AB,PO=1.又PC=小，而PC2=OC2+PO2=2,.POJOC.又ABAOC=O,AB?平面ABC,OC?平面ABC,.PO,平面ABC.由(2)可知PO,

38、平面ABC,PO为三棱锥P-ABC的高，且PO=1.三棱锥A-PBC的体积1Va-PBC=VP-ABC=3sAABCPO=Xi1X2X1X1=123.3 .如图，在三棱锥P-ABC中，/ABC=90°,平面FAB±平面ABC,PA=PB,点D在PC上，且BD，平面PAC.证明：PA，平面PBC;(2)若AB：BC=2：46,求三棱锥D-PAB与三棱锥D-ABC的体积比.解：(1)证明：因为BD，平面PAC,PA?平面PAC,所以BDJPA,因为/ABC=90°,所以CB必B,又平面PABXWABC,平面PABA平面abc=ab,所以CBL平面PAB,又PA?平面PAB,所以CBJPA,又cbabd=b,所以PAL平面PBC.，一一.1、一1一(2)因为二棱锥D-PAB的体积Vd-p