数列经典例题集锦1

1、数列题目精选精编【典型例题】(一)研究等差等比数列的有关性质1.研究通项的性质例题1.已知数列an满足ai=1,an=3n'+an(n22)(1)求a2,a3;3n-1an=(2)证明：2解：(1),a1=1,."ra2=3+1=4,a3=3+4=13.n-13n 12(2)证明：由已知an-anA3,故an=(anan)*(anan_2)+(a2-a1)a13n-1-3n-31二an2,所以证得n例题2.数列an1的前n项和记为S,a1=1,an#=2Sn+1(n>1)(I)求an的通项公式；(n)等差数列(bn)的各项为正，其前n项和为Tn,且T3=15,又a1*b

2、,a42b3,a3+b成等比数列，求Tn.解：(I)由an+=2Sn+1可彳|an=2Sn+1(n±2),两式相减得：an+_an=2an,an+=3an(n22),又 a2 =2S1 +1 =3 , a2 =3a1故an是首项为1,公比为3的等比数列n.1(n)设%n的公比为d,由T3=15得，可得b1+b2+b3=15,可得b2=5故可设b1=5d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,2由题意可得(5d+1)(5+d+9)=(5+3),解得d1=2,d2=10等差数列(bn)的各项为正，d>0d=2风冒2=n22n例题3.已知数列an)的前三项与数列n的前三项对应

3、相同，且a1+2a2+22a3+=8n对任意的nWN*都成立，数列心由一%)是等差数列.求数列an)与&n的通项公式；是否存在kWN”，使得bkakW(0,1)，请说明理由.n 1；an,前n项和的形式,点拨：(1)&+2a2+22a3+.*2n.an=8n左边相当于是数列»可以联想到已知&求an的方法，当n之2时，SnSn=an.(2)把bk-ak看作一个函数，利用函数的思想方法来研究bk-ak的取值情况-n解：(1)已知al+2a2+2a3+2an=8n(nuN*)时，al+2a2+22a3+受n/an=8(n-1)(nwn*)n14得，2an=8,求得a

4、n=2,41在中令n=1,可得得ai=8=2,所以an=243(n,*).由题意bi=8,b2=4,4=2,所以b2bi=4,b3-b2=-2,，数列bn4-6的公差为-2-(M)=2,.tu-tn=4+(n-1)M2=2n6,bn=t(b2-t1)(b3-b2)HI(bn-bnj)=(M)+(2)+W+(2n8)=n27n+14(nWN*).(2)bk-ak=k27k+1424”,_72+7当k"时，f(k)=(k-3)124”单调递增，且"4)=1,一一_2所以k之4时，f(k)=k7k+1424”.,又f(1)=f(2)=f(3)=0,所以，不存在kwN*,使得bka

5、kw(0,1).例题4.设各项均为正数的数列成等比数列，且a1=1,解：依题意得：2bn+1=an+1+an+2an+1=bnbn+1an和bn满足：an、bn、%+1成等差数列，bn、3n+Vbn+1a2=3,求通项an,bn、.an、bn为正数，代入并同除以b由得an1=bnbn1,an-2=、/bn1bn-2n：H得：2bn1-bn,bn2,bn）为等差数列29a2=b1b2,则b2=-2,.bn'=2(n-1)(,an当n>2时，jvbnbnd2)母1),bnn(n1)又a1=1,当n=1时成立,2,_n(n1)an一2.研究前n项和的性质例题5.已知等比数列an的前n项

6、和为S=a2n+b,且ai=3.（1）求a、b的值及数列an的通项公式；bn（2）设an,求数列bn的前n项和Tn.解：(1)n之2时，an=Sn=2n'2.而尔为等比数列，得ai=21,.a=a,n_1又ai= 2 13n n (n 三 7)Sntn2 -13n 21 (n 7)4,得a=3,从而an=32.又,ai=2a+b=3.b=4.n nbn = =o 9nl(2)an3 2,1Tn(13n-n 1 )2 1 Tn23 , n -1.小山广n+2n )1111sL2Tn=3(1 5 了 川1n T -) n 1n 2 - 2 ,Tn_j =3(1 23212U31-12bn满

7、足1例题6.数列%是首项为1000,公比为10的等比数列，数列,1口=1(lga1+lga2+|+lgaJ«乏N*)（1）求数列bn的前n项和的最大值；（2）求数列1bn|的前n项和Sn.解：（1）由题意：an=104,.lgan=4n,.数列lgan是首项为3,公差为一1的等差数列，k(k-1),1n(n-1),7-nlga1lga2.IIIlgak=3k0=3n=2,n22bn-021Sa-S-由A书M0,得6WnW7,.数列bn的前n项和的最大值为2.(2)由(1)当nE7时，bn'°,当n>7时，bn<0,3+711Sn'山b2HIbn=

8、(-)n=-n2n.当nM7时，244当nA7时，13 c,n 21412Snfb.IIIb7%-区-川-bn=2S(b1b2川,bn)=4n例题7.已知递增的等比数列an满足32+33+34=28,且33+2是a2,84的等差中项(1)求an的通项公式3n；若bn=3nlog23n,S=b+b2+Hi+bn求使S+n2“+>30成立的n的最小值.解：(1)设等比数列的公比为q(q>1),由aiq+aiq1 2+aiq3=28,aiq+aiq3=2 (aiq2+2),得:1ai=2, q=2 或 ai=32, q= 2(舍)l- 3n=2 2(n 1)n二2512n = N，当 1

9、 <n W9且n = N 时,2(n+2)(n +3)<312,1PTn <2n 5312当n=10时,一 52(n +2)(n +3) =312，即Tn = 一 122n 5312bn=3nlogi3n=-门2n(2)2又2(n 2)(n 3) -312 =2(n5n 6-156) =2(n5n -150) =2(n 15)(n -10),Sn=-(i2+222+323+Tn2n)2n+I-2,-2Sn=-(i22+223+Tn2n+i),，Sn=2+22+23+2nn2n+i=(ni)若Sn+n2n+i>30成立，则2n+i>32,故n>4,，n的最小值

10、为5.例题8.已知数列an的前n项和为Sn,且I,Sn,3n书成等差数列，nWN*,3i=i.函数f(x)=log3x.(I)求数列an的通项公式；bn)-(II)设数列bn满足(n+3)f(an)+2，记数列bn的前n项和为Tn,试比较52n5工与-I23I2的大小.解：(I)7Snan平成等差数列，2&=%书一当n至2时，2&=%-1.全=3.得：2(&&)=为中一an,3an=an由，an32a2=3,.=3,当n=1时，由得;2s=2ai=a2-1,又ai=1，ain1,an是以1为首项3为公比的等比数列，-an=3.n(II)f(x)=log3x,f(

11、an)=log3an=log33=nT,h111,11、bn(-)n(n3)f(an)2(n1)(n3)2n1n3*当n >10且n u N时,2(n+2)(n+3>312，即 Tn253.研究生成数列的性质例题9.(I)已知数列Q),其中cn=2n+3n,且数列Q书pg为等比数列，求常数P;(II)设&、匕是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn,证明数列g不是等比数列.解：(I)因为Cn+1pCn是等比数列，故有2(cn+ipcn)=(Cn+2pcn+1)(cnpcn1),将cn=2n+3n代入上式，得2n+1+3n+1-p(2n+3n)2=2n+2+3n+2-p(

12、2n+1+3n+1)2n+3np(2n-1+3nJ,即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n1+(3-p)3n1,1整理得6(2p)(3p)2n3n=0,解得p=2或p=3.(n)设an、bn的公比分别为p、q,pWq,cn=an+bn.2为证cn不是等比数列只需证c2丰c1c3.2一22一事实上，c2=(a1p+b1q)=a1p+b1q+2a1b1pq,2.,22222.,2.2、c1c3=(a1+b1)(a1p+b1q)=a1p+b1q+a1b1(p+q).由于pwq,p2+q2>2pq,又a1、b1不为零，2因此备k。c3,故cn不是

13、等比数列.例题10.n2(n>4)个正数排成n行n歹U：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成13a42二二,a43二:等比数列，并且所有公比相等.已知a24=1,816.求S=a11+a22+a33+ann'解：设数列ak的公差为d,数列aik(i=1,2,3,，n)的公比为q则aik=a11+(k1)d,akk=a11+(k1)dqk1a24=(a11+3d)q1311 a11 = d = q = ±2*鼠=(a11+d)q丁823a43=(a112d)q依题意得：16,解得:又n2个数都是正数，1ka11=d=q=21c11S=丁23-32222312"

14、n-iS=2两式相减得：12-nTn2n例题11.已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1)和B(5,2),记an=3(1)(2)*)nn.求数列an的通项公式；abn/,Tn=-2bn设2，若Tn<m(mwZ),求m的最小值;(3)实数P.11(1)(1)(1求使不等式a1a2对一切nN*均成立的最大解：(1)由题意得1og3(2a+b)=1Iog3(5a+b)=2解得口二一1.f(x)=log3(2x-1)an=3lO3(2nJ=2nTn(2)2Tn(1)得122,_2n-113bn-n,Tn-122,22232n-12n232nzi2n1nn。n:卜1/日22一

15、得In22n-1213工221.2.上.2.况232n-12n122“2n12n3Tn=32n21一产"n-1二工.(工1L-.L)2121222n-22n2n-1c二32n2n32nf(n)=设f(n1)厂,n2n52n12n5f(n)f(n)得二当nt-2n32n2n32n依时,P(3)由题意得F(n)=2(2n3)一22n3,11125_*,nN随n的增大而减小TnT3又Tn<m(mWZ)恒成立，二mmin111中(1十(1+0；(1111(1-)(1-)(1')a1a2*N恒成立11111(1一)(1一)(1)(1)F(n1)=2n3a1a2anan1F(n)1

16、111、(1)(1)(1).2n1a1a2an2n22(n1)2n1(=二二1,(2n1)(2n3).4(n1)2-(n1)2nm 1'16 < 2 ,二m的最大整数值是 7.即存在最大整数 m=7,使对任意例题13.已知等比数列bn与数列an满足bn =3an,nW N*.p max =2i3,即 3an 书2an 书-annW N *.:F(n)>0:F(n+1)>F(n),即F(n)是随n的增大而增大F(1)=2%3,p<2<3F(n)的最小值为3,3（二）证明等差与等比数列1.转化为等差等比数列.例题12.数列an中，a1=8,a4=2且满足求数列

17、On的通项公式；设Sn=|aj+|a2|针十|an|,求Sn；1*、设bn=n(12an)(nuN),Tn=匕+b?+lll+bn(n=N),是否存在最大的整数m,使得对任意nWN*,均有Tn>32成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解：（1）由题意，an也一an*=an4an,二an为等差数列，设公差为d,由题意得2=8+3d=d=-2,an=82（n1）=102n.（2）若10-2n之0则n<5,nE5时,Sn=|a1|+|a2|+|an|=a1a2 ' III ' an8 10-2n2n = 9n -n ,n岂6时，Sn2ala2 ' a5

18、" a6 " a7- an(3)n _ 5n -61_2=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn=n-9n409n-n22n-9n40<bn=一(一一)n(12-an)2n(n+1)2nn+1,Tn_11、/1、/111、/二(1)()()(-)(222334m*,、一32对任息n匚N成立，即n-1nnnm>n1)2(n1)n+116对任意nWN成立,的最小值是2,(1)判断an是何种数列，并给出证明；a1 ，qn=3an = an =a1 +(n1 Jlog3 q °(2)若a8+a3=m,求b1b2111b2o.解：(1)设8的公比为q,.bn=3an

19、,3aia2。= a8 ' a13 = m,所以an是以log3q为公差的等差数列.(2) a8+a3=m,所以由等差数列性质可得a1+a2+a3+20(a1a20)20=10m;b1b2111b20=3(a1a2a20)=310m2.由简单递推关系证明等差等比数列例题14.已知数列an和6满足：ai=1,a?=2,ana0bn=Janan中(n亡N*),且bn是以q为公比的等比数列.2(I)证明：an卡=anq;(II)若Cn=a2n+2a2n,证明：数列cn是等比数列;1111_+_+_+_+|(III)求和：a1a2a3a411+-+_La2nAa2n解法1：(I)证:bn1q由

20、bn,an1an-2anan12an史=anq(n七N*).(II)证：an2a2nj.=a2n苧q2=an/q,-III=aq2n_22a2n-a2n_2q=a2q2n-22n_2-cn二a2n2a2n二aq"Cn)是首项为5,公比为12a2q2n=(a12a2)q2n/=5q2q的等比数列.2n-2(III)解：由(II)得a2n工12.2n=qa112na122n-qa1.工HI，=(1,1川a1a2a2na1a3)(-HI-)a2na2a4a2n;(11111242n2qqq11)-(1-2a2q11I)42nJ2/qq9111+当q=1时,aa2a2n31二2(1彳|-)4

21、2n-2fqq当qfi时,1-Hl-aa2a2n31-q-n3q2n-1二大;2")=彳2n2/2-7；21_q-2q一(q-1)工a1-川a2a2n3n, 2.2n2 q -1J 2n 2, 2二 q -(q -1)q =1,q : 1.解法2:(I)同解法1(I)cn 1a2n 1，2a2 n .2(II)证：Cn - a2nl+2a2n22q a2n12q a2na2n J. ' 2a2n2*=q (n N )又 g =a +2a2=5 ,-cn p2是首项为5,公比为q的等比数列.2n_22n_2(III)由解法1中(II)的类似方法得a2n+a2n=(a1+a2)q

22、一=3q一,11-ma1 a2a a2o_aia2n22.|卜哈皿2n a2n la2na2k,a2k3q3cNk2-4k4=q.a2kJ_a2k2q2,k=1,2j|,n.1 一 一 . a1a2a2n=3 +q二+. +q 2n也2例题15.设数列an的前n项和为Sn，且Sn=(1+九)施n，其中1,0(1)证明：数列an是等比数列；n>2),(2)设数列an的公比q=f。)，数列bn满足b1=,bn=f(bn_1)(nCN*,求数列bn的通项公式；1(3)设九=1,Cn=an(-1),求数列Cn的刖n项和Tn.bn(1)证明：由Sn=(1+K)->.an=Sn=(1+尢)一九

23、Hn/g22)，ran相减得：an - an ' ' an 1,-解：an, 4-l不”凶，数列an是等比数列12 (n-1) = n 1. . bn bn1 n42 2) n二；是首项为=2,公差为1的等差数列，.1、n1(3)解：尢=1时，an=(一)二Cn=an(1)=12bn二Tn=1+2(1)+3(1)2+川+n(1)n。222-得：1tclTn=21iini2nL2JJ所以:例题16.11Tn=4(1(2)n)2n(2)n.OC的中点,为(Xn,yn) ,E为线段OP的中点.对每一个正整数n,Pn卡为线段EP,卡的中点.令Pn的坐标1an ="yn yn

24、12 .求(1)4包口及%,(nw N*).(3)(1)证明：yn 4=1(n N )4记 bn =y4n* -y4n,(n W N *),证明：1斛：因为 y1=y2=y4=1 , y3= , y5= 2bn是等比数列.3 1,所以得 a=a2=a3=2.4OBC的各个顶点分别为(0,0),(1,0),(0,2),设P为线段BC的中点，P2为线段yn书=yn；yn+,对任意的正整数n有.ynyn1_1-ynyn1yn2=an22恒成立，且(2)证明:(3)证明:a1=2,所以an为常数数列，an=2,(n为正整数)根据yn*=yn+yn,及1%+%+yn忐=an=2,易证得yn+4=1&qu

25、ot;224因为bn+1=y4n8-y4nH4=(1丫4n书)(1一-n-)=bn444又由,“y41b1=y8y4=1-y4=-,4411所以bn是首项为4,公比为4的等比数列.【模拟试题】-、填空题1 .在等差数歹Uan中，已知ai=2,a2+a3=i3,贝Ua4+a5+a6等于=.2 .已知数列的通项an=n+2,则其前n项和Sn=.3 .首项为24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d的取值范围是.4 .在等比数列an中，a3和a13.已知函数f (x)定义在正整数集上，且对于任意的正整数X,都有f(x + 2) =2f(X+1)f(x),且 f(1)=2,f(3)=6,贝u f(2

26、005) =14.三个数a，b，C成等比数列，且a+b+c=m(mA0),则b的取值范围是 .15.等差数列an中，前n项和为& ,首项a =4,0 =0.(1)若 an +Sn = -10 ,求 A(2)设bn =2%,求使不等式 5+3+川+>>2007的最小正整数 n的值.点拨：在等差数列中 an,Sn,n,d知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项a1与公差d ,把an,Sn分别用首项a1与公差d ,表示即可.对于求和公式Sn "a1 'an)2 =na1 +n(n T)d采用哪一个都可以,但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更2简

27、单一些.例如：已知a >0,a10 <0,a9 +a10 >0,判断S,7,S18,S20的正负.问题2在思考时要注是二次方程x2+kx+5=0的两个根，则a2%的值为.5 .等差数列an中，ai=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n=.6 .等差数列an的前m项和为30,前2m项的和为100,求它的前3m项的和为A17n45亘7 .已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且Bnn+3,b7=_an一若bn为正整数,n的取值个数为。18 .已知数列,an对于彳i意P，q三N，有ap+aq=ap出,若a1-9,贝Ua36=9 .记数列an所有项的和为

28、S(1),第二项及以后各项的和为S(2),第三项及以后各项的和为S(3)，第n项及以后各项的和为S(n),若S(1)=2,S(2)=1，S一鼻制，S(n)2T则an等于319,偶数项之和为290,则其中间项10 .等差数列an共有2n+1项，其中奇数项之和为为.211 .等差数列an中，an#°,若mA1且am一amam由=0,Szm=38,则m的值为.12 .设Sn为等差数列an的前n项和.已知S6=36,S=324,Snq=144(n>6),则n等于意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项16 .等差数列an的前n项和为S,ai=1+V2,S3=9+3&q

29、uot;.(I)求数列an的通项an与前n项和为Sn；hSnbn=_*(II)设n(n=N),求证：数列«中任意不同的三项都不可能成为等比数列17 .在直角坐标平面上有一点列P1(x1,yl)，P2(x2,y2)III，Pn(Xn，yn)|H?对一切正整数n,点Pn位c135y3x于函数y4的图象上，且Pn的横坐标构成以2为首项，-1为公差的等差数列Xn.求点!的坐标；设抛物线列C1,C2,C3,，Cn,中的每一条的对称轴都垂直于X轴，第n条抛物线a的顶点为Pn,且过点Dn(0,n2+1),设与抛物线Cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求：anWSCT,其中a1是SCT中的最大数，-2

30、65<a10<-125,求an的通项公式.+HI +1knkn设 S =x |X= 2xnyn 4!, 1等差数列 an 的任一项18 .已知数列an满足a1=1,an+=2an+1(n匚N),(1)求数列4的通项公式；(2)若数列an满足4"4b2,1114bn,=(an+1)bn(nWN)(nN*),证明：匕)是等差数列.1.42n(5n1)2. 28。匕国3. 34. ±5痣5. 106. 2107.8.5;5个S_(A%)n解法一：点拨利用等差数列的求和公式"一2一及等差数列的性质apaq3m“若2m=p+q,m,p,q=N，则2”(a1a13

31、)/c2父13上Ea7Q“3)13一%一2解析：b7=22解法2：点拨利用“若七为等差数列，那么Sn=an+bn”这个结论，根据条件找出an和4的通项.解析：可设A=kn(7n+45),Bn=kn(n+3),则4=AA1=k(14n+38),包k(14738)17bn=k(2n+2),则b7=心7+2)一万ank(14n38)1212-7由上面的解法2可知bn=k(2n+2)n+1,显然只需使n+1为正整数即可,故n=1,2,3,5,11,共5个.点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用反思：解法2中，若是填空题，比例常数k可以直接设为1.8.4anS(n)S

32、(n1)n_2n1n19 .解：()(f222.(n1)an1=31910 .解：依题意，中间项为an由，于是有Inan+=290解得an书=29.2-c一Oc一-CC一*'cCC11 .解：由题设得amam4am卡2am,而am0,am2,又“S2m-38,38* aGQmf/amQmf22, m=1012 .解：S6+(SnSn上)=6(a1+an)=36+(324144)=216,a-an=36n)=324n =18。*、13 .解：由f(x+2)十f(x)=2f(x+1)知函数f(x)(x仁N)当X从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，f(1),f川H，f(20

33、05)形成一个首项为2,公差为4的等差数列，f(2005)=2+(1003-1)x4=4010.bb1ma=，c=bqbbq=m,.b=0,.q1=-14 .解：设q，则有qqb.1当q a0时,q130：-b：一q,而b>03;m1)mq1-1m<-1当q<0时，bq，即b，而m>0,二b<0,则一mEb<0,一m故b-m，0)-(0F15 .解：(1)由S9=9曲+36d=0,得：d=1a=5n,-,n(n-1)又由anSn=-10,4(n-1)(-1)4n(-1)=-10.2即n2-7n30=0,得至Un=10.(2)由bn=2-1若n<5,则b1地2曲|+bnwb,+b2+|十怎=31,不合题意2(2nM-1)故n>5,b1+b2+bn=31+-()>20072-1即2n立>989,所以n>15使不等式成立的最小正整数n的值为15a1=21,