数列经典例题裂项相消法

1、v1.0可编辑可修改数列裂项相消求和的典型题型11 .已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515,则数歹U的刖100项和为(anan1A黑B.黑5黑D.黑1011011001000在y轴上的截距.1.一一一.92 .数列an，其刖n项之和为一，则在平面直角坐标系中，直线(n1)xynn(n1)10为()A.-10B.-9C.10D.93 .等比数列an的各项均为正数，且2al3a21,a29a2a6.(I)求数列an的通项公式；(11)设3log3allog3a2log3an,求数列r的前n项和.4 .正项数列an满足a；(2n1)an2n0.(I)求数列an的通项公式an；.1(n)

2、令bn，求数列bn的前n项和Tn.(n1)an5.设等差数列an的前n项和为Sn ,且S44s2,a2n 2an 1 .10学习好帮手(I)求数列an的通项公式;(D)设数列bn满足且旦a1a2bn,1.*一1n-,nN，求bn的刖n项和Tn.an26.已知等差数列an满足：a37,a5a726.an的前n项和为Sn.(I)求3及Sn；1，一一*、.一一.一(n)令bn(nN),求数列bn的前n项和Tn.an1197.在数列an中，a11,2an1(1-)an.n(I)求an的通项公式；.1(n)令bnan1an,求数列bn的刖n项和Sn；2(出)求数列an的前n项和Tn.8.已知等差数列an

3、的前3项和为6,前8项和为-4.(I)求数列an的通项公式；(10设bn(4an)qn1(q0,nN*),求数列回的前n项和Sn.*29 .已知数列an满足ai0色2,且对m,nN都有a2m1a2n12amn12(mn).(i)求a3,a5;*(n)设bna2n1a2n1(nN),证明：bn是等差数列；(出)设cn(an1an)qn1(q0,nN*),求数列cn的前n项和Sn.10 .已知数列an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655,a2a716.(I)求数列an的通项公式；(n)数列Jan和数列Jbn满足等式an旦与与-bn(nN*),求数列bn的前n项和Sn.222211 .已知

4、等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且Si,S2,S4成等比数列.求数列an的通项公式；人n14n一_(2)令b2(1)，求数列bn的前n项和Tn.anan112.正项数列an的前n项和Sn满足：S：(n2n1)S0(n2n)0.求数列an的通项公式an；n1*5(2)令bn2-,数列bn的前n项和为Tn,证明：对于nN,都有Tn.(n2)an64答案：1.A;2.B3 .解：(I)设数列an的公比为q,由a32=9a2a6有a32=9a42,，q2J.y由条件可知各项均为正数，故q=i.由2ai+3a2=1有2ai+3a1q=1,ai=.(n)S含+1-bnn(n+1)-+.-+.如b2

5、-2(1故数列an的通项式为a=-2(1-nn+1)+,+(1-3nn+1)=一的前n项和为-%4 .解：(I)由正项数列an满足：/-(2nT)an2n=0,0ri可有(an-2n)(an+1)=0an=2n.1-bn=-=J(工一一)，(口+D、2n(n+1)2nn+1Tn=(1-工-工+=门2223nn+12n+12n+2数列bn的前n项和Tn为.2n+25.解：(I)设等差数列an的首项为a1,公差为d,由S4=4S2,a2n=2an+1有:伊i押在8a+4d1+(2n_1)d=282(n-1)解有 a1=1, d=2.一 *,.,nCN ,有:严当n2时,LJ.11二)工，n=1时符

6、合.ril1r1TLnCN2n*由(I)知，an=2n-1,nCN.* n C N+22232b - 3 2n - 1+6.解：(I )设等差数列a n的公差为d,泮2户一7.解：(I )由条件有.a3=7,a5+a?=26)f短2届7，有，Jai+lCId=26解有ai=3,d=2,an=3+2(n1)=2n+1;2,&=口=n+2n；(n)由(I)知an=2n+1,=:=-+1)之-1In31)4nn+1.Tn=L(一工J._十J.L)(1)=412卷37n+1，4n+14(n+1)即数列bn的前n项和Tn=一上r4(n+1)rd-l1an,5VF，又n=1时,故数列金构成首项为1,公式为

7、之的等比数列. n工(n+1)22/(n)由bn二(n+1) 22 n2112n+l子有十型i2rls -A+2n- 1 2n+l2rl 2 向两式相减，有:Ac 2Sn21212rd-lF1(m)由江2+03十一+0什1)有功，十日rrM /丁门一 /2.Tn=2Sn+2a1-2an+1=12-n+4n+62口7由已知有8 a1 +280由a2+a7=16,有，2a1+7d=16D由a3a6=55,有(a1+2d)(a+5d)=552)由联立方程求，有d=2,a1=1/d=-2,a1=(排除).an=1+(n-1)?2=2n-1匕(n)令Cn=,贝U有an=Cl+C2+册211an+1=Cl

8、+C2+.+Cn+1两式相减，有an+ian=Cn+i,由(1)有a1=1,an+1-an=2Cn+1=2,即Cn=2(n2),即当n2时,bn=2n+1,又当n=1时，b1=2a1=22,(n=l)bn=于是Sn=b1+b2+b3+-+bn=2+23+24+2n+1=2n+26,n2,.-2X1一一一11 .解(1)因为S=a1,S2=2aH-2-x2=2a1+2,4X3&=4ad2-* 2 = 4a1 + 12,由题意得(2a1+2)2= &(4a+12),解得 a1=1,所以 an=2n1.(2) bn=(-1)n 1 4nn 14n=(-1)- anan+1(2 n- 1)(2 n+1

9、)当n为偶数时，T=(1 +1) (：+!) + (- + -) -(- + -) = 1-3，3 52n3 2n-1 2n1 2n+1，2n+12n2n+ 1.当n为奇数时,下=(1 +) -(+1)(tt + r-) +(t-+t-) = 1 +3，3 52n3 2n-12n1 2n+1，2n+12n+22n+ 1.2n+22n+ 1所以Tn2n2n+ 1n为奇数,n为偶数.(或 Tn=2n+1+ ( 1)2n+112 .(1)解由S2(n2+n1)S(n2+n)=0,得&(n2+n)(&+1)=0,由于an是正项数列，所以3+10.所以&=n2+n(nCN).n2时，an=SnSni=2n,n=1时，ai=S=2适合上式.*.an=2