数列知识点及常用结论

1、数列知识点及常用结论、等差数列（1）等差数列得基本公式通项公式：ana1 （n 1）d（从第1项ai开始为等差）an am (n m)d（从第m项am开始为等差）anamndanam(nm)ddanamnm前n项与公式：Snn(aian)na1nd22(2)证明等差数列得法方定义法：对任意得n,都有an1and（d为常数）an为等差数列an为等差数列等差中项法：2an1anan2(nN)通项公式法：an=pn+q（p,q为常数且pw0）an为等差数列即：通项公式位n得一次函数，公差dp,首项a1Pq前n项与公式法：Snpn2qn（p,q为常数）an为等差数列即：关于n得不含常数项得二次函数（3

2、）常用结论若数列an,bn为等差数列，则数列ank,kgan,anbn,kanb（k,b为非零常数）均为等差数列、*右m+n=p+q（m,n,p,qN）,贝Uanam=apaq、特别得，当n+m=2k时，得anam=2ak在等差数列an中，每隔k（kN）项取出一项，按原来得顺序排列，所得得数列仍仍为公差为3d得等差数为等差数列，且公差为（k+1）d（例如：a1,a4,a7,a10列）若数列an为等差数列，则记Skaia2a,®Skak1ak2a2k,2SskS2ka2k1a2k2a3k,则Sk,S2kSk,SkSk仍成等差数列，且公差为kdS.若Sn为等差数列an得前n项与，则数列也

3、为等差数列、Sl,(n 1)S Si,(n 2)此性质对任何一种数列都适用求Sn最值得方法:若a1>0,公差d<0,则当时，则Sn有最大值，且Sk最大;,、，ak0r,一一一，若ai<0,公差d>0,则当k时，则&有最小值，且Sk最小；aki0II:求前n项与Snpn2qn得对称轴，再求出距离对称轴最近得正整数k,当nk时，Sk为最值，就是最大或最小，通过Sn得开口来判断。二、等比数列(1)等比数列得基本公式通项公式：ana1qn1(从第1项a1开始为等比)anamqnm(从第m项am开始为等差)前n项与公式：Sna1(1q),(q1),Snna1,(q1)1q

4、(2)证明等比数列得法方定义法：对任意得n,都有an1qan(an0)aq(q0)an为等比数列an等比中项法：an2an1an1(an冏10)an为等比数列通项公式法：anaqna,q是不为0的常数)an为等比数列(3)常用结论若数列an,bn为等比数列，则数列1,kgan,an2,a2n1,anbnananbn(k为非零常数)均为等比数列、*.右m+n=p+q(m,n,p,qn)，贝Uangam=apgaq、2特力1J得，当n+m=2k时，得angam=ak，.»、一.*一、在等比数列an中，每隔k(kN)项取出一项，按原来得顺序排列，所得得数列仍为等比数列，且公比为 qk 1

5、(例如：a1, a4, a7, a10仍为公比3 .q得等比数列)若数列an为等差数列，则记Sk al a2ak ,S2kS<1 1ak 2a2k , S3kS2ka2k 1a2k 2则Sk,S2kSk,S3kS2k仍成等比数列，且公差为q三、求任意数列通项公式an得方法(1)累加法：若an满足an+1=an+f(n)利用累加法求：an(anan 1)ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)例题：若a11,且an1an2n,求：an练习题：若数列an满足an1an2n10,且a10(2)累乘法：若an满足an1 f (n) an利用累乘法求：anana1g(包)3驾1包的a1a2a3

6、Q)an 1例题：在数列an中，a11一，an 12n 1an ,本：an n练习题：在数列an中,al1且annan，求：an(提示:1 2 3 .n n!)(3)递推公式中既有Sn ,又有an用逐差法§n=1anSn Sn1 n 2特别注意：该公式对一切数列都成立。(4)若an满足an 1panq,( p q),则两边加：x旦,在提公因式P,构P 1造出一个等比数列，再出求:an例题：已知数列an,满足:an 12an 1 ,且 a11,求：an习题1:已知数列an满足:an 13an 1 且 a11 ,求：an习题2：已知数列an满足:求:an(5)若an满足an 1npan

7、p,则两边同时除以：pn 1,构造出一个等差数列,再求出：an例题：已知an满足:a11 an 12an 2n 1 ,求：an解：an 1 2an 2nan1anan7n二，既有：kT1 2222所以：”就是首项为:2nai1.一得等差数列2an1靛彳(n 1)22习题1:已知an 1 3an所以：an3n 1 且 a1 1 ,求:ann1习题2：已知an12an32且a11,求:(六)待定系数法：若an满足以下关系:an1kanfn都可用待定系数法转变成一个等比数列来:温馨提示：提k,对f(n)待定系数例题1:已知数列a。满足an12an35n,&6,求数列为得通项公式、解：an1x

8、5n12(anx5n)an12an3x5n,与原式对应得，x1n1an15n12(an5n)且-2an5所以：an5n就是首项a511,公比q2得等比数列既有：an 5n2n1nan52n例题2 ：已知数列 an满足an i 3an 5解：an 1 x 2n 1 y 3(an x 2n y)与原式对应得：X 5,y 2an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n 2)所以：an 5 2n 2就是首项为：既有：an 5 2n 2 13 3n 1an2n 4, a1 1,求数列an得通项公式、an 1 3an x 2n 2y ,an 1 5 2n 1 2 3an 5 2n 2a1 5 21 2

9、13,公比q 3得等比数列13 3n 1 5 2n 2（七）颠倒法：若an满足：an1用颠倒法;anCc C an an 1an C1an 1an CC ananC anC 1C an Can1所以：工，所以：就是以首项为：,，公差d工得等差数列an1anCana1C例题1：已知am2,且a2,求：anan2例题2：已知an1an3an3an1,且a11,求：an（八）倒数换元法：若数列an满足：an1Aan,则颠倒变成nn1BanCLan 1B an C C”A anA anAq1然后再用两边加： 一q一或者待定系数法既可求出一，再颠倒就可得到:P 1anan2a.一例题：右数列 an满足：

10、an 1 ，且a1 1 ,求：anan 3解：an 12anan 31an 13 11一，两边力口:2 an21得:an 11332 an 2an 13 12Dan 1Tan所以:1就是首项为:既有:anan2 (|)n 1an3。 12n 22n 2an若用待定系数法:an 12anan 3ananan 12 anan 12 anq 3得等比数列;22n 23n 1an 12n3/1、2(a x)2 an1，一，、一， 一.1x与原式子对应得 x 1 ,然后得方2法同上;习题：已知3an1an2an 1an 且 a11求:an1四、求前n项与Sn得方法(1)错位相减求与主要适用于等差数列与等

11、比数列乘积得数列得前n项与；或者就是等差与o既:等比得商得前n项与；(就是商得时候，适当转变一下就变成了乘积形式)设an为等差数列，bn为等比数列，求:anbn或互得前n项与常用此方法(曳都转变为b乘积形式)例题1 :已知数列an2n ,数列 4得前n项与0求数列an bn得前n项与Tn例题2:求数列an3n 12n得an bn得前n项与Sn习题1：求：Sn_ 2_ 3_2 4 227 23 . (3n 2)2n习题2:设数列an(2n 1)3n 1,求an得前n项与Sn(2)裂项相消求与适用于ann (n k)得形式，变形为：ann (n k)例题：求数列an1得前n项与Snn(n1)习题1:求数列an1一得前n项与Snn(n2)习题2:求数列1111, 2 , . 2、3 , , n v n 1得前n项与、(3)、分组法求与：有些数列就是与可以分成几部分分开求，在进行加减;例题：求an3n2n1得前n与Sn?习题1:已知就是一个递增得等差数列且a?a445,a1a§14,烝前n项与为S