数学(文)二轮复习通用讲义：专题七第二讲选修4-5不等式选讲

1、第二讲选彳4-5不等式选讲考情分析1 .不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是绝对值不等式的解法以及不等式的证明，其中绝对值不等式的解法以及绝对值不等式与函数综合问题的求解是命题的热点.2 .该部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考时应注意分类讨论思想的应用.考点一绝对值不等式的解法典例感悟典例(2018全国卷n)设函数f(x)=5|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时，求不等式f(x)>0的解集；(2)若f(x)<1,求a的取值范围.2x+4,x<-1,解(1)当a=1时，f(x)=<2,-1<x<2,I-2x+6,x>2.当x<1时，

2、由2x+4>0,解得一2Wx<1；当一1WxW2时，显然满足题意；当x>2时，由一2x+6>0,解得2<xW3,故f(x)>0的解集为x|2WxW3.(2)f(x)W1等价于|x+a|+|x2|>4.而|x+a|+|x2|>|a+2,且当x=2时等号成立.故f(x)W1等价于|a+2|>4.由|a+2|>4可得aw6或a>2.所以a的取值范围是(一8,-6u2,+2.方法技巧绝对值不等式的5种常用解法(1)基本性质法：对aCR+,|x|<a?a<x<a,|x|>a?x<a或x>a.(2)平方法

3、：两边平方去掉绝对值符号.(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.演练冲关(2019届高三沈阳模拟)已知函数f(x)=|x-a|+3x,其中aCR.当a=1时,求不等式f(x)>3x+|2x+1|的解集；(2)若不等式f(x)wo的解集为x|xv1,求a的值.解：当a=1时,f(x)=|x-1|+3x,由f(x)>

4、;3x+|2x+1|,得|x1|2x+1|>0,当x>1时，x1(2x+1)>0,得xw2,无解；当一xw1时，1X(2x+1)>0,得一-<x<0;1I当xva时，1x+(2x+1)>0,得一2Wxv、.不等式的解集为x|2&XV0.(2)法一：由|xa|+3xW0,x>a,x<a,可得1或f4xa<0|2x+a<0,(g.kx>a,x<a,即SA或SAdd卜3lx<-2-al当a>0时，不等式的解集为pc|x<-J由一：=1,得a=2.当a=0时，不等式的解集为x|x<0,不合题意

5、.当a<0时，不等式的解集为由=1,得a=-4.综上，a=2或a=4.法二：当x>a时，f(x)=4x-a,函数f(x)为增函数,由不等式f(x)wo的解集为x|xv1得，f(-1)=4X(-1)-a=0,得a=-4.当xa时，f(x)=2x+a,函数f(x)为增函数，由不等式f(x)wo的解集为x|xw1得，f(1)=2X(1)+a=0,彳#a=2.经检验，a=2或a=4都符合题意，故a的值为2或4.考点二不等式的证明典例感悟典例(2017全国卷n)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明：(1)(a+b)(a5+b5)>4;(2)a+b<2.证明(1)(

6、a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)22a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2b2)2>4,当且仅当a=b=1时取等号.23(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)<2+4a+b)=2+(一4所以(a+b)3w8,因此a+b<2,当且仅当a=b=1时取等号.方法技巧证明不等式的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等.(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法.(2)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法.演练冲关设不等

7、式|x+1|x1|<2的解集为A.(1)求集合A;1abc(2)右a,b,cCA,求证：abc>1.2,x>1,解：(1)由已知，令f(x)=|x+1|-|x-1|=22x,-1<x<1,由|f(x)|<2得一1<x<1,即12,x<1,A=x1<x<1.1abc(2)证明：要证>1,只需证|1-abc|>|ab-c|,abc只需证1+a2b2c2>a2b2+c2,只需证1a2b2>c2(1a2b2),只需证(1a2b2)(1c2)>0,由a, b, cC A,得1<ab<1, c2&l

8、t;1,所以(1 a2b2)(1 c2)>0 恒成立.综上,1 abcab c>1.考点三含绝对值不等式的恒成立问题典例感悟典例(2018全国卷I)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若xC(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.2,x<-1故不等式f(x)>1解(1)当a=1时，f(x)=|x+1|x1|,即f(x)=$2x,-1<x<12,x>1.1x>2(2)当xC(0,1)时|x+1|ax1卜x成立等彳于当xC(0,1)时|ax1|<1成立.若aw。，则

9、；所以2>1,故 0<a<2.一，_一2当xC(0,1)时，|ax1|>1;右a>0,贝“ax1|<1的解集为lx0<x<-a综上，a的取值范围为(0,2.方法技巧已知不等式恒成立求参数范围问题的3种解法分离参数法运用“f(x)Wa恒成立？f(x)maX<a,f(x)>a恒成立？f(x)min>a”可解决恒成立中的参数取值范围问题更换主元法对一些含参不等式恒成立问题，若直接从主兀入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时数形结合，揭示问题所蕴含的几何

10、背景，发挥形象思维与抽象思维的优势，可直接解决问题演练冲关已知函数f(x)=|2x+1|-|2x-3|,g(x)=|x+1|+|x-a|.(1)求f(x)>1的解集;(2)若对任意的tCR,sCR,都有g(s)>f(t).求a的取值范围.解：(1)因为函数f(x)=|2x+1|-|2x-3|,故f(x)R1,等价于|2x+1|-|2x-3|>1,等价于厂；-2x-1-(3-2x户1,2x+1(32x广1,33x>-,或$22x+1-(2x-3广1.无解，解得3>x>3，解得x>3.242综上可得，不等式的解集为x|x>31：(2)若对任意的tCR

11、,SCR,都有g(s)>f(t),可得g(x)min>f(x)max.函数f(x)=|2x+1|-|2x-3|<|2x+1(2x3)|=4,.f(x)max=4.g(x)=|x+1|+|x-a|>|x+1-(x-a)|=|a+1|,故g(x)min=|a+1|.|a+1|>4,解得a>3或a<-5.故a的取值范围为a|a>3或aw5.课时跟检测*存在实数x使1. (2018广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)=|xm|+|x|,mCNf(x)<2成立.(1)求实数m的值；(2)若1,1,f(a)+f(3)=4,求证：4+：>3.(X

12、p解：(1)因为|xm|十|x|引(xm)-x|=|m|.所以要使不等式|x-m|十|x|<2有解，则|m|<2,解得一2Vm<2.因为mCN*,所以m=1.(2)证明：因为1,1,所以f(a)+f(3=2a1+23-1=4,即a+片3,所以一十4114+1a83.4 3 a 1 i, J旷*2=35+当且仅当手.即“=2,3=1时等号成立，故乌+*3.(Xp2. (2018唐山卞莫拟)设f(x)=|x|+2|xa|(a>0).(1)当a=1时，解不等式f(x)W4;(2)若f(x)>4,求实数a的取值范围.2-3x,x<0,解：(1)当a=1时，f(x)=

13、|x|+2|x-1|=2-x,0<x<1,3x-2,x>1.当x<0时，由23xW4,得一2Wx<0;3当0WxW1时，由2xw4,彳导0WxW1；当x>1时，由3x2W4,得1<xW2.综上，不等式f(x)W4的解集为一3，2L2a-3x,x<0,(2)f(x)=|x|+2|xa|=2ax,0<x<a,13x2a,x>a.可见，f(x)在(00,a上单调递减，在(a,+8)上单调递增.当x=a时，f(x)取得最小值a.若f(x)>4恒成立，则应a>4.所以a的取值范围为4,+8).3. (2018全国卷出)设函数f

14、(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象；(2)当xC0,+8)时，f(x)<ax+b,求a+b的最小值.1/-3x,x<2，解：(1)f(x)=x+2,-2<x<1,'3x,x>1.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知，y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a>3且b>2时，f(x)<ax+b在0,十8)成立，因此a+b的最小值为5.4. (2018开封模拟)已知函数f(x)=|x-m|,m<0.(1)当m=1时，求解不等式f(x)+f(-x)>2

15、-x;(2)若不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围.解：设F(x)=f(x)+f(-x)=|x-1|+|x+1|-2x,x<-1,=2,1<x<1,G(x尸2-x,2x,x>1,由F(x)>G(x)解得x|xw2或x>0.(2)f(x)+f(2x)=|xm|+|2xm|,m<0.设g(x)=f(x)+f(2x),当xWm时，g(x)=mx+m2x=2m3x,则g(x)>m;m当m<x<2时，g(x)=xm+m2x=x,则一；<g(x)<一m;m当x>2时，g(x)=xm+2xm=3x2m,则

16、g(x"-m则g(x)的值域为m,+8j不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空，即1>解得m>-2,由于m<0,则m的取值范围是(一2,0).5. (2018昆明模拟)设函数f(x)=|x-a|+x+；(aw0,aCR).(1)当a=1时，解不等式f(x)W5;(2)记f(x)的最小值为g(a),求g(a)的最小值.解：(1)当a=1时,f(x)=|x1|+|x+2|,2x+1,x>1,故f(x)=33,-2<x<1,I2x1,x<2.当x>1时，由2x+1W5,得xW2,故1<xW2;当一2WxW1时，由3W5,彳#xR

17、,故一2WxW1；当x<一2时，由一2x1W5,得x>一3,故一3Wx<2.综上，不等式的解集为3,2.(xa 尸a十一2(2)f(x)=|x-a|+x+a且仅当xa+a0时等号成立所以g(a)=a+a，因为a+a=|a|十|2封24同用=2亚,当且仅当|a|=2,a即a=W2时等号成立，所以g(a)min=2J2.6. (2018陕西模拟)已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)解不等式f(x)W3;(2)记函数g(x)=f(x)+|x+1|的值域为M,若tCM,证明：t2+1>3+3t.<3x，xw1,1解：(1)依题意，得f(x)=22X,1<

18、;x<2,1L3x,x>2，xw 1,于是 f(x)< 3? f|- 3x< 3-1<x<1,或 22-x<3或；x43x< 3,解得一1WxW1.故不等式f(x)W3的解集为x|一1WxW1.(2)证明:g(x)=f(x)+|x+1|=|2x-1|+|2x+2|引2x12x2|=3,当且仅当(2x1)(2x+2)W0时取等号，M=3,+8).t2+1R；+3t等价于t2-3t+1->0,23t3-3t2+t-3(t-3ft2+1)t23t+1-=xt3ttt.tM,.t-3>0,t2+1>0,.I!L0,t2+1>3+3

19、t.7. (2018福州模拟)设函数f(x)=|x-1|.(1)求不等式f(x)W3f(x1)的解集；(2)已知关于x的不等式f(x)wf(x+1)|xa|的解集为M,若1,2bM,求实数a的取值范围.解：(1)因为f(x)<3-f(x-1),所以|x-1|w3|x-2|,即|x1|十|x2|W3,x<1,1<x<2,x>2,则或或3-2x<33|2x-3<3,解得0Wx<1或1WxW2或2<xW3,所以0WxW3,故不等式f(x)<3-f(x-1)的解集为0,3.一3"L一(2)因为1,2?M,所以当xC1,3h寸，f(x)wf(x+1)|xa|恒成立，而f(x)w