数学(理)人教A新设计大一轮讲义+习题：第二章第3节函数的奇偶性与周期性

1、第3节函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.I知讯衍正体验E顾鼓材.夯实基础知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)

2、=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数、那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.微点提醒1 .(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).2 .奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3 .函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x:(1)若f(x+a)=f(x),则T=2a(a>0).r1(2)右f(x+a)=f(、，则T=2a

3、(a>0).f(X)1 1i若f(x+a)=,则T=2a(a>0).fXJ4.对称性的三个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数v=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)=f(x)或f(x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(3)若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数v=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.基础自测疑误辨析1 .判断下列结论正误(在括号内打或"x”)(1)函数y=x2在xC(0,+8)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)=0.()(3)若T是函数的一个周

4、期，则nT(nCZ,nw0)也是函数的周期.()(4)若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y=x2在(0,+8)上不具有奇偶性，错.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x=0处有意义时才满足f(0)=0,(2)错.由周期函数的定义，(3)正确.(4)由于v=f(x+b)的图象关于(0,0)对称，根据图象平移变换，知y=f(x)的图象关于(b,0)对称，正确.答案(1)X(2)X(3)，(4)，教材衍化2 .(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinxB.y=x2c

5、osx_xC.y=|lnx|D.y=2解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0,+8),不具有奇偶性；d选项既不是奇函数，也不是偶函数答案B3.(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当xC1,1)-4x2+2,-1<x<0,时，f(x)=区0<x<1,解析由题意得，f2!-f121=4X2j+2=1.答案1考题体验】4 .(2019衡水,K拟)下列函数既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递增的是()1A.y=x3B.y=x4C.y=|x|D.y=|tanx|解

6、析对于A,y=x3为奇函数，不符合题意；1对于B,y=x4是非奇非偶函数，不符合题意；对于D,y=|tanx|是偶函数，但在区间(0,十°°)上不单调递增.答案C5 .(2017全国II卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当xC(8,0)时，f(x)=2x3+x,则f(2)=.解析x(一巴0)时，f(x)=2x3+x2,且f(x)在R上为奇函数，.f(2)=-f(-2)=-2X(-2)3+(-2)2=12.答案126.(2019上海崇明二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x0,1时，f(x)=log2(x+1),则当x1,2时，f(x)=解析当xC1,2

7、时，x2C1,0,2-x0,1,又f(x)在R上是以2为周期的偶函数,.f(x)=f(x2)=f(2x)=10g2(2x+1)=10g2(3x).答案1og2(3x)I考点聚焦突破I:选美醺疆暖领就法考点一判断函数的奇偶性【例1】 判断下列函数的奇偶性：x2 + x, x<0,(3)f(x)=32 一x+ x,x>0.3-x2>0-3> 0得 x2= 3,解得 x= 03,即函数f(x)的定义域为3,3,从而f(x)=3x2+山23=0.因止匕f(x)=f(x)且f(x)=f(x),函数f(x)既是奇函数又是偶函数.由,1-x>0,得定义域为(1,0)U(0,1)

8、,关于原点对称.抠2仔2,1g(1x2).x2<0,x-2|-2=-x,.f(x)=4一x又. f( x)=1g1 - (-x)2 = _1g (1-x2)=f(x),函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(一oo,0)U(0,+OO),关于原点对称.;当x<0时，x>0,则f(x)=(x)2x=x2x=f(x);当x>0时，x<0,则f(x)=(x)2x=x2x=f(x);综上可知：对于定义域内的任意x,总有f(x)=f(x)成立，函数f(x)为奇函数.规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的

9、必要不充分条件，所以首先考虑定义域；判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(x)=0(奇函数)或f(x)f(x)=0(偶函数)是否成立.【训练11(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.y=x+sin2xB.y=x2cosxx.121.C.y=2+2xD.y=x+sinxxxx2x+x所以h(x)=2xT1+2=2-1)'定义域为(00,0)U(0,+OO).因为h(x)=2 (2-x 2x xx (1+2x)x-1)2 (2x-1)= h(x),所以h(x)=f(x)+g(x)是偶函数,令 F(

10、x) = f(x)g(x) =2 (2x-1)'定义域为(00,0)U(0,+OO).所以F(x)=2 (1-2x)x2 2x因为F(x)wF(x)且F(x)wF(x),所以F(x)=g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数.答案(1)D(2)A考点二函数的周期性及其应用【例2】(1)(一题多解)(2018全国II卷)已知f(x)是定义域为(j,+oo)的奇函数，满足f(1x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+-+f(50)=()A.50B.0C.2D.50(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0&x<2时，f(x)=x3x,

11、则函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为.解析法一二叶a)在R上是奇函数，且f(1x)=f(1+x).f(x+1)=f(x1),即f(x+2)=f(x).因此f(x+4)=f(x),则函数f(x)是周期为4的函数,由于f(1x)=f(1+x),f(1)=2,故令x=1,得f(0)=f(2)=0令x=2,得f(3)=f(1)=f(1)=2,令x=3,彳4f(4)=f(2)=f(2)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+02+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12X0+f(1)+f(2)=2.一一,I、.一.x.一法二取一个符合题意的函数f(x)=

12、2sin二2-,则结合该函数的图象易知数列f(n)(n口N*)是以4为周期的周期数列.故f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12Xf(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(2)=12X2+0+(2)+0+2+0=2.因为当0Wx<2时，f(x)=x3x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)=0,则f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.又f(1)=0,.二地尸仁尸。，故函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点有7个.答案(1)C(2)7规律方法1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已

13、知区间.2.若f(x+a)=f(x)(a是常数,且a40),则2a为函数f(x)的一个周期.第题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.【训练2】(1)(2018南充二模)设f(x)是周期为4的奇函数，当0&x01时，f(x)=x(1+x),则f19=()(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x2).若当x3,0时，f(x)=6x,则f(919)=.A.-3D.3解析(1)：f(x)是周期为4的奇函数,G9)T.%fJ又00x&1时，f(x)=x(1+x),9f1143故fI-2尸一f2厂-2l1+2广一4.(2)f(x+4)=f(x2), f(

14、x+2)+4=f(x+2)2,即f(x+6)=f(x),.f(919)=f(153X6+1)=f(1),又f(x)在R上是偶函数， .f(1)=f(1)=6(1)=6,即f(919)=6.答案(1)A(2)6考点三函数性质的综合运用一多维探究角度1函数单调性与奇偶性【例31(2019石家庄模拟)设f(x)是定义在2b,3+b上的偶函数，且在2b,0上为增函数，则f(x1)f(3)的解集为()A.-3,3B.-2,4C.T,5D.0,6解析因为f(x)是定义在2b,3+b上的偶函数，所以有一2b+3+b=0,解得b=3,由函数f(x)在6,0上为增函数,得f(x)在(0,6上为减函数.故f(x-

15、1户f(3)?f(|x-1|)>f(3)?|x-1|<3,故一2&x&4.答案B规律方法1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.2.本题充分利用偶函数的性质f(x)=f(|x|),避免了不必要的讨论，简化了解题过程.角度2函数的奇偶性与周期性【例32】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+5)=f(x),且当xC10,微)时，f(x)=x33x,则f(2018)=()A.2B.-18C.18D.-2(2018洛阳,K拟)已知函数y=f(x)满足y=f(乂)和y=f(x+2)是偶函数，且f(1)=3,设F(x)=f(x

16、)+f(x),则F(3)=()3A.TB.§C.ttD.¥333解析(1)f(x)满足f(x+5)=f(x),；f(x)是周期为5的函数，.f(2018)=f(403X5+3)=f(3)=f(52)=f(2),f(x)是奇函数，且当xC(0,55口寸,f(x)=x33x,f(2)=f(2)=一(233X2)=2,故f(2018)=2.(2)由y=f(x)和y=f(x+2)是偶函数知f(x)=f(x),且f(x+2)=f(x+2),则f(x+2)=f(x2).f(x+4)=f(x),则y=f(x)的周期为4.一.2九所以F(3)=f(3)+f(3)=2f(3)=2f(1)=2

17、f(1)=.3答案(1)D(2)B规律方法周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区问，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练3】(1)(2019重庆九校模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=3对称，当xC0,3时，f(x)=x,则f(16)=.(2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0,+8)上是单调递增函数.如果实数t满足f(lnt)+fn1产2f(1),那么t的取值范围是.解析(1)根据题意，函数f(x)的图象关于直线x=

18、3对称，则有f(x)=f(6x),又由函数为奇函数，则f(-x)=-f(x),则有f(x)=f(6x)=f(x12),则f(x)的最小正周期是12,故f(16)=f(4)=f(4)=f(2)=(2)=2.(2)由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(lnt)=fn；j,由f(lnt)+fjln1k2f(1),得f(lnt)<f(1).又函数f(x)在区间0,+8)上是单调递增函数，1 .所以11nt|<1,即一1&lnt<1,故e&t&e.答案(1)2£e1®反思与感悟思维升华1 .判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否

19、关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2 .利用函数奇偶性可以解决以下问题：求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.3 .在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kCZ且kw0)也是函数的周期”的应用.易错防范1 .f(0)=0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2 .函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(awb)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.I核心素养提用:自住阐读嵋程养褰养二数学运算

20、一一活用函数性质中“三个二级”结论数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展.通过常见的“二维结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.类型1奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xCD,都有f(x)+f(-x)=0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max+f(x)min=0,且若0CD,则f(0)=0.(x+1)2+sinx【例1】设函数f(x)=x2的取大值为M,取小值为m,则M+m=解析显然函数f(x)的定义域为R,(x+1)2+sinx2x+

21、sinxf(x)=x2+1=1+x2+1'2x+sinx设g(x)=f+1,则g(x)=g(x),g(x)为奇函数,由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,M+m=g(x)+1max+g(x)+1min=2+g(x)max+g(x)min=2.答案2类型2抽象函数的周期性(1)如果f(x+a)=f(x)(aw0),那么f(x)是周期函数，其中一个周期T=2a.,一1(2)如果f(x+a)=f丁(aw0),那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a.f(X)(3)如果f(x+a)+f(x)=c(aw0),那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a.【例2】已知函

22、数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，有f(x+3)=f(x),且当xC(0,3)时，f(x)=x+1,则f(2017)+f(2018)=()A.3B.2C.1D.0解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(2017)=f(2017),因为当x>0时，有f(x+3)=f(x),所以f(x+6)=f(x+3)=f(x),即当x>0时，自变量的值每增加6,对应函数值重复出现一次.又当xC(0,3)时，f(x)=x+1,f(2017)=f(336X6+1)=f(1)=2,f(2018)=f(336X6+2)=f(2)=3.故f(2017)+f(2018)=f(2017

23、)+3=1.答案C类型3抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.a+b,一一右f(a+x)=f(bx)包成立，则y=f(x)的图象关于直线x=2对称，特别地，若f(a+x)=f(ax)恒成立，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(ax)=0,即f(x)=f(2ax),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.【例3】(2018日照调研)函数y=f(x)对任意xCR都有f(x+2)=f(x)成立，且函数y=f(x1)的图象关于点(1,0)对称，f(1)=4,则f(2016)+f(2017)+f(2018)的值为.解析因为函数V=f(x1)的

24、图象关于点(1,0)对称，所以函数v=f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是R上的奇函数，f(x+2)=f(x),所以f(x+4)=f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2017)=f(504X4+1)=f(1)=4,所以f(2016)+f(2018)=f(2014)+f(2014+4)=f(2014)+f(2014)=0,所以f(2016)+f(2017)+f(2018)=4.答案4I分层限时期炼IiMMIBBIMBMIII毒Bl狒层训练睛提哥熊埋基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1 .下列函数中，既是偶函数，又在(0,1)上单调递增的函数是()3A.y=110

25、g3x|B.y=xC.y=ex|D.y=cosxi解析对于A选项，函数定义域是(0,+8),故是非奇非偶函数，显然B项中,y=x3是奇函数.对于C选项，函数白定义域是R,是偶函数，且当x(0,+%时，函数是增函数，故在(0,1)上单调递增，正确.对于D选项，y=cosxi在(0,1)上单调递减.答案C2 .(一题多解)(2019河北“五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是定义在R上的奇10g3(x+1),x>0,函数，且f(x)=,则g(8)=()0(x),x<0,A. 2B.3C.2D.3解析法一当x<0时，一x>0,且f(x)为奇函数，则f(X)=lOg3(1X),

26、所以f(X)=lOg3(1X).因此g(X)=lOg3(1-X),X<0,故g(8)=log39=2.法二由题意知，g(8)=f(8)=f(8)=一log39=2.答案A3 .已知f(X)在R上是奇函数，且满足f(X+4)=f(X),当xC(2,0)时，f(X)=2X2,则f(2019)等于()A.2B.2C.98D.98解析由f(x+4)=f(x)知，f(x)是周期为4的函数，f(2019)=f(504X4+3)=f(3),又f(x+4)=f(x),.f(3)=f(1),由一1C(2,0)得f(1)=2,f(2019)=2.答案B4 .(一题多解)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(

27、x)=xf(x).若a=g(log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析法一易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数，奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)=0.；g(x)在(0,+8)上是增函数.又3>log25.1>2>20.8,且a=g(log25.1)=g(log25.1),.g(3)>g(log25.1)>g(20.8),贝Uc>a>b.法二(特殊化)取f(x)=x,则g(x)=x2为偶函数且在(0,

28、+00)上单调递增，又3>log25.1>20.8,从而可得c>a>b.答案C5 .(2019山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在1,+oo)上单调递减，且f(x+1)是偶函数，不等式f(m+2)f(x1)对任意的xC1,0恒成立，则实数m的取值范围是()A.-3,1B.-4,2C.(8,3U1,+oo)D.(°0,4U2,+oo)解析因为f(x+1)是偶函数，所以f(x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于x=1对称，由f(m+2)>f(x1)得|(m+2)1g|(x1)1|,即|m+1|0x2|在x-1,0恒成立，所以|m

29、+1|wx2|min,所以|m+1|w2,解得3wm01.答案A二、填空题6 .若函数f(x)=xln(x+ja+x2)为偶函数，则a=.解析f(x)为偶函数，则y=ln(x+0a+x2)为奇函数，所以ln(x+a+x2)+ln(x+Ja+x2)=0,则ln(a+x2x2)=0,a=1.答案17 .若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=4x,则fI)+f(2)=.解析二丁仅)是定义在R上的奇函数， .f(0)=0,又f(x)在R上的周期为2, .f(2)=f(0)=0.1又f口5kf(-2：心：一42一2, f1-2；+f(2)2.答案28.设函数

30、r1f(x) = ln(1 + |x|) ,则使得f(x)>f(2x 1)成立的x的取值范围是解析由f(x)=ln(1+|x|)知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)>f(2x1)即1+x为f(|x|)>f(|2x1|).-一1当x0时，f(x)=ln(1+x)2:,所以f(x)为0,+8)上的增函数，则由f(x|)1+x>f(|2x1|)彳#x|>|2x-1,两边平方得3x2-4x+K0,解得1<x<1.3答案3,13三、解答题fx2+2x,x>0,9.已知函数f(x)=<0,x=0,是奇函数.x2+mx,x<0求实数m的值；若函数

31、f(x)在区间1,a2上单调递增，求实数a的取值范围.解设x<0,则一x>0,所以f(x)=(x)2+2(x)=x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)=f(x).于是x<0时，f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.要使f(x)在1,a-2上单调递增，a2>1,结合f(x)的图象知v所以1<a03,故实数a的取值范围是(1,3.10 .设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有fg+x)=理x版立.(1)证明v=f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值；若g(x)=x2+ax+3,且y=|f(x)|g(x

32、)是偶函数，求实数a的值.解(1)由fg+x)=-fg-x),且f(x)=f(x),知f(3+x)=f3+g+xk-fl|-g+x*f(x)=f(x),所以y=f(x)是周期函数，且T=3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,且f(1)=f(1)=2,又T=3是y=f(x)的一个周期，所以f(2)+f(3)=f(1)+f(0)=2+0=2.(3)因为y=|f(x)|g(x)是偶函数，且|f(x)|=If(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|为偶函数.故g(x)=x2+ax+3为偶函数，即g(x)=g(x)恒成立，于是(一x)2+a(x)+3=x2+ax+3恒

33、成立.于是2ax=0恒成立，所以a=0.能力提升题组(建议用时：20分钟)11 .(2019石家庄模拟)已知奇函数f(x)在(0,+8)上单调递增，且f(1)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围为()A.x|0<x<1或x>2B.xx<0或x>2C.xx<0或x>3D.xxv1或x>1解析由题意知函数f(x)在(一8,0)上单调递增，且f(1)=0,不等式f(x1)>0?f(x1)>f或f(x1)>f(1).x1>1或0>x1>1,解之得x>2或0<x<1.答案A12.(2018合肥调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在0,1上是减函数，则有()1<f4B.f4<f-1 f 34 <f 231C.f |<f-4<f131D.f卜“<f；<f(4)解析由题设知：f(x)=f(x2)=f(2x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称；函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在0,1上是减函数，所以f(x)在1,0上也是