数学二历年考研真题

1、(2)设函数y(x)由参数方程x =t3 3t 13y =t -3t 1确定，则曲线y = y(x)向上凸的x取值范围2004年考硕数学(二)真题.填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.)n 二 nx 1(1)设f(x)=lim(n21)x,则f(x)的间断点为x=.x%x2-1(4)设函数z=z(x,y)由方程z=e2x*+2y确定，则3J十J3.一6(5)微分万程(y+x3)dx2xdy=0满足y=的特解为XT5i210,(6)设矩阵A=120,矩B$B满足ABA*=2BA*+E,其中A*为A的伴随矩阵0,使得(A) f(x)在(0,6)内单调增加.(B) f

2、(x)在(6,0)内单调减小.(C)对任意的xW(0,S)有f(x)f(0).(D)对任意的xW(6,0)有f(x)f(0).I】(11)微分方程y*+y=x2+1+sinx的特解形式可设为2(A) y*=ax+bx+c+x(Asinx+Bcosx).2(B) y*=x(ax+bx+c+Asinx+Bcosx).2(C) y*=ax+bx+c+Asinx.(D) y=ax2+bx+c+AcosxI(12)设函数f(u)连续，区域D=(x,y)x2十y2E2yL则口f(xy)dxdy等于D1 中-x2(A)dx.f(xy)dy.11x2 2y-y2(B) 2f0dy10f(xy)dx.二,2si

3、n12(C) J0dJ0f(rsincose)dr.二2sin12I(D) J0dej0f(rsinCcos6)rdr(13)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为0 1 0, (A)100J 0 b9 10 (C)1 0 00 1 h0 10、(B)10 1.0 0 1)0 1 1 (D)1 0 02 0 b(14)设A,B为满足AB =0的任意两个非零矩阵，则必有(A) A的列向量组线性相关(B) A的列向量组线性相关(C) A的行向量组线性相关(D) A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关,B的行

4、向量组线性相关,B的列向量组线性相关三.解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求极限xm03 号x j -1(16)(本题满分10分)设函数f (x)在(口产 )上有定义，在区间0, 2上，f (x) =x(x2 4),若对任意的x都满足f(x)=kf (x+2),其中k为常数.(I)写出f (x)在-2, 0上的表达式；(n)问k为何值时，f(x)在x=0处可导.(17)(本题满分11分)x咫设f(x) = J 2sintdt,(i)证明f(x)是以冗为周期的周期函数；(n)求f(x)的值域. x(18)(本题满分12分)曲线y

5、 =x_xe e与直线x=0, x=t(tA0)及y=0围成一曲边梯形.该曲边才!形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为V(t),侧面积为S(t),在x=t处的底面积为F(t).(I)求船的值；(n)计算极限lim邺).V(t)t-/：F(t)(19)(本题满分12分)设eab0),则该曲线上相应于8从0变到物的一段弧与极轴所围成的图形的面积为1-11(5) 设口为3维列向量，aT是a的转置.若otaT=-11一1,则1-11T、工、工=.(6) 设三阶方阵A,B满足A2B-A-B=E,其中E为三阶单位矩阵，若101A=020,则B=.-2011二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.

6、每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设an,bn,Cn均为非负数列，且liman=0,limbn=1,limCn=a,则必有n)：n)二二n：.(A) anbn对任意n成立.(B) bnCn对任意n成立.(C)极限limancn不存在.n:，(D)极限IlmbnCn不存在.(2)设an=32xn、r1+xndx,则极限1imnan等于3(B)(1e)2-1.3(D)(1e)2-1.一，xy(3)已知y=是微分方程y=上Inxx+q)(-)的解，则y?(4)的表达式为y2y-2.x(C)2x-2.y2x(D).y(A)(B) (C) (D)I 1

7、 I 2(A)(B) 1 I1 I 2.f(x)有(4)设函数f(x)在(g,+w)内连续，其导函数的图形如图所示，则一个极小值点和两个极大值点两个极小值点和一个极大值点两个极小值点和两个极大值点三个极小值点和一个极大值点(C)(D)1I211.(6)设向量组I:%,5,，可由向量组II：02,，A线性表示，则(D)当 r As时,向量组I必线性相关.(A)当rs时，向量组II必线性相关.(C)当rs时，向量组II必线性相关.、(本题满分10分)设函数 f (x)=x : 0,x = 0,x 0,ln(1ax3)一,x-arcsinx6,eaxx2-ax-1-xxsin一4问a为何值时，f(x

8、)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点?四、(本题满分9分)2一2x=1+2t2,.2.,dy设函数y=y(x)由参数方程n21nte(t1)所确te,求2y=dudxT1uarctanx五、(本题满分9分)计算不定积分-xe一Zx.(1x2/六、(本题满分12分)设函数y=y(x)在(-q十厘)内具有二阶导数，且y#0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.d2xdx(1)试将x=x(y)所满足的微分方程十(y+sinx)(dx)3=0变换为y=y(x)满足的微分方dydy程；3(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y(0)=-的解.七、(本题满分12分)讨论曲

9、线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数.八、(本题满分12分)设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(上2,1),其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为22Q,且线段PQ被x轴平分.(1)求曲线y=f(x)的方程；(2)已知曲线y=sinx在0,n上的弧长为l,试用l表示曲线y=f(x)的弧长s.九、(本题满分10分)有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=*(y)(y至0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以3m3/min的速率向容器内注入液体时，液面的面2积将以兀m/min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)(1)根据t时刻液面的

10、面积，写出t与中(y)之间的关系式；(2)求曲线x=%(y)的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)十、（本题满分10分）设函数f（x）在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）内可导，且f（x）a0.若极限limf（2x-可存在证明:xax-a,22b-a(1)在(a,b)内f(x)0;(2)在(a,b)内存在点J使-bf(x)dxa222/.b在(a,b)内存在与(2)中-相异的点L使f()(b-a)ff(x)dx.-aaH、（本题满分10分）2201若矩阵A=82a相似于对角阵A,试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使PAP=A.006_十二、（本题满分8分）已知平面上三条不同

11、直线的方程分别为11:ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0,13:cx+2ay+3b=0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.1990年理工数学二试题一填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分)(x=cos(1)曲线上对应于=堂点处的法线方程是=sin3(2)设y=sin工则y=.Xri(3)xvl-xdx=.Jo(4)下列两个积分大小的关系式:(1Ix11二,选择题(每小JS3分，满分15分)a(1)已知lim(r-az-6)=0,其中a、b是常数，则k8力+1(A)a=1,6=1(B)a=-1.6=1(C)c=1,6=1(D)a=-1,5=-1设函数

12、/(Z)在(-8,+OO)上连续，则d1/(x)dx等于(A)/(x)(B)f(z)di(C)/(x)+c(D)/Z(x)dx(3)已知函数/Xz)具有任意阶导数，且，()=/()产,则当n为大于2的正整数时,/(工)的阶导致/工)是(AJh/C/Cx)*1(B)n/(x)+I(C)/(x)2(D)n/(x)P,(4)设工)是连续函数，且F(x)=/(r)d:则F(上)等于(A)-e-x/(e-)-/(x)(C)e-V(r*)-/(x),(D)e-V(e-*)+/(x)x#0-(5)设F(z)=Jx/(0)N=0其中/(x)在z=0处可导，r(0)#0,/(0)=0,则I=0是F(x)的(A)

13、连续点(B)第一类间断点(C)第二类间断点(D)连续点或间断点不能由此确定,J三、(每小5分，,分25分)(1)巳知lim(三士工产=9,求常数a.x-a(2)求由方程2y-1=(工-y)ln(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy.(3)求曲线y=1匕(工0)的拐点.(4)计算J(1-xr（5）求微分方程xlnxdy+lnx）dx=0满足条件y中广1的特解。四，本题满分9分）在楠圆号+名=1的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴a6所围围形面积为最小（其中0.60）.五，本题濡分9分）证明：当x.0,有不等式arctanx+y.六、（奉建清分9分）设/（工）=J：忍也.

14、其中x0,求八工）十/（1）.七、（本题海分9分）过点P（l,0）作抛物线夕-772的切线，该切线与上述抛物线及z轴围成一平面图形.求此平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积八、（本题清分9分）求微分方程/t4/+4y=之通解，其中。为实效.=J半秒到o =6秒内-1)处相切，其中a、6是常f()ck,04z42,则1991年理工数学二试题一、填空(每小*3分，分15分)(1)设3=ln(l+3-*),则dy=.(2)曲线、=的上凸区间是I詈忆=(4)质点以速度in(尸)米/秒作直线运动，则从时刻h质点所经过的路程等于米.(5)lim1-.+e*二、选择(每小3分，跳分15分)(1)若曲线，=

15、12+02：+6和2y=-1+xy3在点(1,数，则(A)a=0,6=-2(B)a=1,6=-3(C)a=-3,6=1(D)a=-1,6=-1(x20zl设函数/(工)，记FG)=12-工1x2勺04N&1(A)F(x)=2j+2x-y1x20(B)F(x)=2一工+1n42ozy0xl(C)F(x)=Lz青+2金一全1工42全04工41(D)F(x)=v2x-y1工2(3)设函数/(N)在(-8,+OO)内有定义,的金0是函数/(工)的极大点，则(A)入必是/(N)的驻点(B) -Z0必是-f(-工)的极小点(C) -为必是-/(工)的极小点(D)对一切x都有/Xn)1时,有不等式ln（l+

16、工）、.nx1+x五、（本法分9分）求微分方程y*+,=n+cosx的通解.六、（本清分9分）.或；曲线y=（工-l）（z-2）和工轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、（本就分9分）如图,A和。分别是曲线,=/和,=e上的点,AB和OC均垂直n轴，且IAB1：1DC1=2:1,IABlI,求点8和C的横坐标，使梯形ABCD的面积量大.八、（本题戏分9分）设函数/（x）在（一+8）内满足/（x）=f（工-xr）+simc,且/（工）=工，工W0,7r）.计算1/（x）dx.1992年理工数学二试题一,填空题(本题共5个小题，每小题3分,清分15分.把答案填在II中

17、横线上)fx=/(t)一汗.设t,其中/可导，且，(0)X0,则富=ly=/(e3-1)dx(2)函数y=工+28=在区间0,御上的最大值为.(3) lim一？=LO0x0f(x2+x)x0(B)/(-x)=0.x2工40(C)/(-x)=0x2-xx0(D)/(-X)=5Ix2Z)0(3)当工-1时，函数无一e士的极限X-1(A)等于2(B)等于0(C)为oo(D)不存在但不为82设f(工)连续，F(z)=：产)dt,则Fz(x)等于(A)/(x4)(B)x2/(x4)(C)2x/(x4)(D)2x/(x2)若f(x)的导函数是sinn则/(x)有一个原函数为(A)l+sinx(B)l-si

18、nx(C)l+cox(D)lcoax三、(本网共5小JB,每小JI5分，加分25分)求lim(沙丹.,L-0+X(2)设函数y=y(x)由方程,=1所确定，求*的值求J=dx.J71+x2(4)求，Vlsinxdx.(5)求微分方程(y-x3)dx-2xdy=0的通解.四(本意於分9分)1+x2x0Q设f(z)=o五、(本题设分9分)求微分方程/-3/+2,=M的通解.六、(本题潴分9分)计算曲线,=匕(1-12)上相应于0Z上的一段弧的长度七、(本局戏分9分)求曲线的一条切线/，使该曲线与切线I及直线工=0,x=2所围成的平面图形面积最小.、八，本H清分9分)巳知/(工)0J(0)=0试证，

19、对任意的二正数工1和孙，恒有/(!+x2)0),则函数FQ)的单调减少区间是.J1vt(4)f野d工=.JVCOSX(5)巳知曲线丫=/(x)过点(0,-抖且其上任一点(ay)处的切线斜率为xln(l+x2),则f(l)=二、选择(本II共5个小，每小题3分，就分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合目要求,把所选项前的字母填在后的括号内)当工一0时,变量与sin工是xx(A)无穷小(B)无穷大(C)有界的，但不是无穷小(D)无界的，但不是无穷大(fIx2-1I,设人工)=，则在点工=1处函数f(z)l2工=1(A)不连续(B)连续，但不可导(C)可导,但导致不连续(D)可导，且导数连续

20、、fx20x1(3)巳知，(工)=11lx2设F(n)=1/(力dr(04工42),则FG)为(A)*30X1z1X20x 1lx2佶工3ox1(C)PL-1lx2(D心70i0,函数/(x)=Inx-2+A在(0,+oo)内零点个数为e(A)3(B)2(C)l(D)0J(5)若/(x)=-/(-),在(0,+8)内/(x)0,/*(x)0,W/(x)在(一8,0)内(A)r(x)0,r(x)0(B)/(x)0(or(x)o,r(x)o,r(x)0三、（本II共5小题，每小题5分，清分25分）（1）设y=其中/具有二阶导数,求台.（2）求limx（Zs?+100+x）.-BB-求frrfedN

21、.求小乩（5）求微分方程（n?-l）dy+（2xy-e,证明（Q+x）a1(A)左、右导致都存在(B)左导数存在,但右导数不存在(C)左导数不存在，但右导致存在(D)左、右导数都不存在，)设h=代工)是清足微分方程&=0的痹，且=。，则/(x)在(A)孙的某个部举内单调增加(B)与的某个部城内单胸减少(C)td处取得极小值(D)茹姓取得极大值y：*：-(4)曲线索=的渐近线有(A)l条(B)2条(C)3条(D)4条.2二，(5)设M=J严Jrdx卜N=工+cajc)djctP=/air?工-cobG)(Le5喘*T*-*I别有(A)NVPM(B)MPNmN,*熊.(ONMP(D)PVM0.证明

22、:#。时，方程Jfex*=0有且但有一个解，求k的取值范用一X五，（本满分9分）*E*+4ky-j-H）求函数的地谟区间及极值；（2）求函数图象的凹凸区间及拐点；（3）求其渐近线年（4）作出其图形.六,1本橘分9分）求微分方程/+0。彳近的通解，其中常数口0，七.（本理满分9分）设/（工）在0,1上连续且通域，证明：WOA耳）（工）di.人（本题灌分9分）求曲线y=37丁-1I与工轴囤成的封闭图形绕直线=3旋转所羯的旋转体体III、1995年理工数学二试题一、填空题(本题5个小题，每小H3分，就分15分.把答案填在题中横线上)(2)微分方程/+-21的通解为(3)曲线在t = 2处的切线方程为

23、(5)曲线y=/e-的渐近线方程为.二、选择本共5个小题，每小3分，於分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在延后的括号内)设/(工)和Rz)在(-8,+oo)内有定义J(z)为连续函数，且/(#0,?(工)有间断点，则(A)p/(x)必有间断点(B)w(n)尸必有间断点(C)/p(N)必有间断点(D)怒必有间断点1(2)曲线y=x(x-1)(2-工)与二轴所围图形的面积可表为(A)-J2x(x1)(2x)dx（3）设/（h*T）=In工j2,且/I中（工力=hr,求卜fL1xarctun工#0（4）设f（H）=，工，试讨论尸（工）在工=0处的连续性.,0H

24、=0for=1-aost（5）求提袋；-m（0I2）的弧长.7=t-3inr（6）设单位随点在水平面内作直线运动，初速度=%.巳知阻力与速度成正比1-0（比例常数为1）,同t为多少时此质点的速度为与？并求翱此时刻该质点所经过的路程.四，（本清分H分）求函数/（x）=0.又MTMP分别为该曲线在点M（g.如处的切域和法就.巳如线段MP的长度为空泮其中文=与=yo4（孙）,诚推导出点P（e，7）的坐标表达式IV、七，(本题濡分8分)设/(工)=1芈d,计算了)也.J0JT-J。八，(本题清分8分)设=1,且尸(工)0,证明工)了.x-*GXV、，1996年理工数学二试题一,填空JSf本盘共5小题,

25、每小题3分,偶分15分,把答案填衽中横照上)(D设y=(4+/宠)1则/!=.(2)jJh+-/Ix2)2dx,(3)微分方程4+如十5y=0的通解为.(4)Iimx8inln14-:卜ainlnj1+J=由曲线y工工+二2及)=2所围留走的面积5=.二、选择(本摩共5小鹿，每小JS3分，漏分15分,海小屋给出的四个选项中，只有一项将合J8目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设当工-0时，/-1a2+红+D是比/高阶的无穷小，则(A)a=y=1(B)a=1.8:1(0)a,6=-1(D)a=-1,6=1r(2)设函数打工)在区间3,的内有定义,若当比(-&.S)时，恒有，(上)|工

26、，则工=0必是f(x)的(A)间断点(B连续而不可导的点(C)前导的点，且,(0)=0(D)可导的点，且，0声0OO(3)设/(工)处处可导，则(A)当lim/(x)=-8,必有lim/(x)=一L-L-(B)当limf(x)=-8,必有hm/(x)=-00jp一e-(C)当lim/(x)=+8,必有imf(h)=+8(D)当lim/(n)=+8,必有limf(x)=+00(4)在区间(-8,+8)内，方程|lI：+1z-COSX=0(A)无实根(B)有且仅有一个实根(C)有且仅有二个实根(D)有无穷多个实根(5)设N)、g(4)在区间a,b上连续，且&(N)/(x)=/(x),x=a及z=b

27、所国平面图形绕直线_y=m旋转而成的旋转体体积为,“(A)jff2m-/(x)+g(x)/(x)-g(x)dx(B)|r2m-f(x)-g(x)/(x)-g(x)dx(C)jkm-/(x)+g(x)/(x)-g(x)dx(D)jrm-/(n)-g(x)/(x)-g(x)dxJ三、(本共6小JI,每小5分，II分30分)(1)计算J1-1bdx.求(，产-.J1+smxlx-f(u2)du(3)设Jo，其中/()具有二阶导数，且/()#0y=(产)了.(4)求函数/(z)=匕亍在工=0点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.(5)求微分方程/+/=x2的通解.(6)设有一正椭圆柱体，其底面的长、短

28、轴分别为2a、26,用过此柱体底面的短轴与底面成a角(0Va今)的平面截此柱体，得一模形体(如图)，求此模形体的体积V.四(本第濡分8分)计算不定积分若詈Mdx.JX(1+X)五、(本I1胸分8分)12x2x-1设函数f(N)=x3-1x2(1)写出/(x)的反而数g(x)的表达式；(2)g(x)是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点.六、(本U两分8分)设函数y=y(x)由方程2y3-2y2+2xy-x2=1所确定，试求y=y(x)的驻点,并判别它是否为极值点.七、(本分8分)设/(外在区间a,6上具有二阶导致，且f(a)=f(b)=0,，()，()0.证明：存在(。，6)和Q),使/()

29、=0及/*)=0.八、(本清分8分)设义工)为连续函数.俨+3=f(工)(1)求初值问题、的解虫工),其中q是正常数；，z0(2)若I/(x)k(k为僧败)，证明：当工0时，有I(x)l0,记Si=1/(jeJcLe,s?=f(b)(b-a),S3-；，(&)+f(b)(b-。)，则(A) Si S2 S3(C)S3 Si s2(B)s2 Ss S1(D)S2 Si s3(3)已知而敷y=/(x)对一切z满足“(工)+3x/(z)2=1-葭，若，(工0)=O(xoK0),则(A)/Qo)是/(工)的极大值(B)/(1q)是/)的极小值(C)(xo,/(xo)是曲线y=f(工)的拐点(D)/(z

30、0)不是/(x)的极值，(二。,/(为)也不是曲线y=/(x)的拐点设F(x)=J：,4sind,则F(x)(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数12-2工&0x2x0设g(x)=/(x)=5，则g/(x)lx+2x0I-x工)0x 02-ix0(2 + x2 x 0(D)0I2+zz0三(本共6小,每小5分，於分30分)求被叼巴4工苴土N所确定，求今(X=arctant设,=y(x)由(tanz+l)2dx.(4)求微分方程(3/+2xy-y2)da:+(x2-2xy)dy=0的通解.(5)巳知“=M+力=1+。-，力=+是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程.71

31、-1、（6）巳知A=011，且A?一AH=I,其中I是三阶单位矩阵,求矩阵B.00-U四，（本题篇分8分）2xi+Aj：2一工3=IA取何值时，方程组，Axl-%+巧=2无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无4xi+5x25科=T穷多解时写出方程组的通解.五、（本题满分8分）设曲线L的极坐标方程为厂=X8）,M（r,8）为L上任一点，M2,0）%L上一定点,若极径OMu、OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上Mo、M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程.六、（本题南分8分）设函数工）在闭区间0,1上连续，在开区间（0,1）内大于零，并满足x/（x）=上）+：工2（。为常数），又曲线、=/（工）

32、与工=0所国的图形S的面积值为2,求函数6=并问a为何值时，更形S绕工轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.七、（本盟清分8分）巳知函数/（x）连续,且lim）=2,设中（N）=f（z）d八求卯（6）,并讨论工7xja，（H）的连续性.八、（本题潇分8分）就k的不同取值情况，确定方程2-fsinx=k在开区间（0号）内根的个数,并证明你的结论.1998年理工数学二试题一、填空(本题共5小题，每小M3分，於分15分)(1) lim=lOX(2)曲线y=-Z3+1+2与工轴所围成的图形的面积人=(3)fln3mxdx=Jsinz(4)设工)连续，剜-/)出=.(5)曲线y=xln(e+1)(工0)的渐

33、近线方程为.二、选择(本题共5小J1,每小匙3分，清分15分)(1)设数列工.与为满足limzj,=0,则下列断言正确的是(A)若4发散，则以必发散(B)若z.无界，则“必有界(C)若z,有界，则为必为无穷小(D)若工为无穷小，则的必为无穷小工.(2)函数/(x)=(x2-x-2)Ix3-xI的不可导点的个数为(A)0(B)l(02(D)3(3)已知函数Y=y(x)在任意点x处的增量加=谭5+a,其中a是比&:(Az0)高阶的无穷小，且(0)=，则y(l)=(A)/(B)2ir(C)ir(D)J(4)设函数/(z)在I=。的某个邻城内连续，且f(a)为其极大值,则存在60,当(a-a,a+6)

34、时，必有(A)(x-a)/(x)-/(a)0(B)(z-a)/(x)-/(a)3)阶方阵,A是其伴随矩阵，又人为常数，且AWO,1,则必有(匕)=(A)M*出)k-(C)FA*(DM-%三、(本1清分5分)求函数/(x)=(1+工)5二幻在区间(0,2)内的间断点，并判断其类型.四、(本港分5分)确定常数a、6、c的值，使叫11山=00)五、(本濡分5分)利用代换y=将方程COSXycosx-2ysinz+3coax=ex化简，并求出原方程的通解.六，本题，分6分)七，本清分6分)从船上向海中沉放某种探测仪卷，按探测要求，需确定仪器的下沉速度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系，设仪器

35、在重力作用下，从海平面由静止开始船直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为P，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为0).试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y3).八、(本意清分8分)设y=/(x)是区间0,1上的任一非负连续函数.(1)试证存在的(0,1),使得在区间0,工上以/(n)为高的矩形面积,等于在区间工。,1上以,=/(x)为曲边的曲边梯形面积.(2)又设/(工)在区间(0,1)内可导，且，(工),证明(1)中的苑是唯一的.九、(本4分8分)设有曲线,=/7,过原点作其切线，求由此曲线、切线及z轴围成的平面图形绕X轴旋转

36、一周所得到的旋转体的表面积.十、(本H海分8分)设y=y(工)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(z,S处的曲率为7=，且v1+y此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=X+1,求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值.十一,(本H於分8分)设工W(0,1),证明(1)(1+x)ln2(l+x)(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定，则祟J21冲=Jx-ox+13(4)函数y=厂J在区间*,上的平均值为-71-x2/(5)微分方程/-4=/工的通解为.二、选择题(本题共5小，每小H3分，清分15分)x0设人工)=心N2g(工)工40其中g(X)是有界函数，则/(X)在工=0处(A)

37、极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导(D)可导(2)设a(N)=(1+r)+dr,则当工0时,(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等阶无穷小(3)设/(x)是连续函数,FQ)是/(x)的原函做，则.,(A)当y(x)是奇函数时，尸(工)必是他造数(B)当正N)是偶函数时,F(z)必是奇函敷(C)当义工)是周期函数时，FQ)珞是周期函敷(D)当/(x)是单隔地的数时,FG)必是单网增函数二(4)“附衽意给定的e6(0,1),总存在正整数N,当时，恒有I。-是数列lJ收效于a的(A)充分条件但非必要条件(B)必要条件但非充分条件(C)充分必要条件(D)

38、既非充分条件又非必要条件 I&2J10的根 f(5)记行列式X -1j： 2X-3 2x -12工一22x一 33x-24x -53x- 54n - 35x -74x- 3Z 227 - 2为则方程幻3工一3(A)l(B)2(03(0)4的个数为三(本JBHI分5分)条limY1+tanj:-/i+sinR上fj：ln(l+x)-x1四、(本调分6分)计算厂?.五(本国充分7分)(夕+，工*+3?)d-xdy=0(x0)求初值问题.的解.尸o*1六、（本题清分7分）为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥c夕后提出井口（见图）.巳知井深30m,抓斗.自宣400N,缆绳每米jVz/重50

39、N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升超度为3m/s.在提升过程中，污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起产污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？,5,（说明：（DlNxlm=lJ;m,N,s,J分别表示米，牛顿，秒，焦耳J：，：，抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.）次七、（本题II分8分）已知函数号还，求,（l-1）一,.i-v-1（1）函数的增减区间及极值；（2）函数图形的凹凸区间及拐点；（3）函数阴形的渐近线.八、（本题看分8分）：.设函数7（工）在闭区间-1,1上具有三阶连续导数，且/（-D=o,/（i）=i,r（o）=0,证明：在开区间（-1,1）内至少