数学江苏专用新设计大一轮讲义+习题：第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第4讲

1、第4讲函数的奇偶性与周期性考试要求1.函数奇偶性的含义及判断(B级要求)；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇偶性(A级要求)；3.函数的周期性、最小正周期的含义，周期性的判断及应用(B级要求).南派衍证体验回顾教材夯实基础知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2 .奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域

2、关于原点对称).(2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴又t称.(3)若奇函数的定义域包含0,则f(0)=0.(4)定义在(8,+oo)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.(5)对称性的三个常用结论若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(ax)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a)Ct称；若对于R上的任意x都有f(2ax)=f(x)或f(x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称；若函数y=f(x+b)是奇函数，即f(x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.3 .函数的周期性(1)周期函数

3、：对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(3)函数周期性的三个常用结论：若f(x+a)=f(x),则T=2a,1若f(x+a)=7丁，则T=2a,f(x)1若f(x+a)=则T=2a(a>0).f(x)诊断自测1 .思考辨析(在括号内打或"X”)(1)函数y=x2在xC(0,+8)上是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)

4、=0.()(3)若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数v=f(x)的图象关于直线x=a对称.()(4)若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y=x2在(0,+oo)上不是偶函数，错误.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x=0处有意义时才满足f(0)=0,错误.答案(1)X(2)X(3)V(4)V2 .(2019苏州暑假测试)已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时，f(x)=2xx；WJf(0)+f(1)=.解析因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,f(1)=f(1)

5、=(21)=1,因此f(0)+f(1)=1.答案13.(2017全国I卷改编)已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则下列说法正确的是(Kff号).f(x)在(0,2)上单调递增；f(x)在(0,2)上单调递减；丫二f(x)的图象关于直线x=1对称；丫;f(x)的图象关于点(1,0)对称.解析由题意知，f(2x)=ln(2x)+lnx=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1112(1x对称，正确，错误；又fx)=-=(0<x<2),故f(x)在(0,1)x2-xx(2-x)上单调递增，在1,2)上单调递减，错误.答案4.(2019南京、盐城模拟)若函数f(x)是定义在R上的

6、偶函数，且在区间0,+8)上是单调增函数.如果实数t满足f(lnt)+fln；<2f(1),那么t的取值范围是.I考点聚焦突破I考点一函数奇偶性的判断【例11判断下列函数的奇偶性:分类讲练1以笑求法(2)f(x) =lg (1-x2) |x-2|-2(1)f(x)=y3X+,x23;x2+x,x<0,“-x2+x,x>0.3-x2>0,_2x2-3>0,行=均3，即函数f(x)的定义域为J3,回关于原点对称.从而f(x)=3-x2+x23=0.因此f(x)=f(x)且f(x)=f(x),函数f(x)既是奇函数又是偶函数.1x2>0,、，一一(2)由得定义域为

7、(1,0)U(0,1),关于原点对称.出一2仔2,/2、.x2<0,|x-2|-2=-x,.f(x);gJxx又. f( x)=lg1 - (-x) 2_lg (1-x2)=f(x),函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(一oo,0)U(0,+oo),关于原点对称.;当x<0时，x>0,则f(x)=(x)2x=x2x=f(x);当x>0时，x<0,则f(x)=(x)2x=x2x=f(x);综上可知：对于定义域内的任意x,总有f(x)=f(x)成立，函数f(x)为奇函数.规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称，这是

8、函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；判断f(x)与f(x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(x)=0(奇函数)或f(x)f(x)=0(偶函数)是否成立.【训练11(1)给出下列四个函数：21丫:x+sin2x;y=x2cosx;2+2x；y=x2+sinx.其中既不是奇函数，也不是偶函数的是(*序号).(2018镇江期末)在函数y=xcosx,y=ex+x2,y=lgx2-2,y=xsinx中，偶函数的个数是.解析(1)对于，定义域为R,f(-x)=-x+sin2(x)=(x+sin2x)=f(x),为奇函数；对于，定义域为R

9、,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2cosx=f(x),为偶函数；对于，定义域为R,f(x)=2-x+/;=2x+J=f(x),为偶函数；y=2-2x2+sinx既不是偶函数也不是奇函数.(2)y=xcosx为奇函数，y=ex+x2为非奇非偶函数，y=IgJx22与y=xsinx为偶函数.答案(2)2考点二函数的周期性【例2】(1)(2018全国II卷改编)已知f(x)是定义域为(,+oo)上的奇函数，满足f(1x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=.1一一，一(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+2)=J,当2&x03时

10、，f(x)f(.x;=x,则f(105.5)=.解析法一二”)是定义域为(oo,+oo)的奇函数，.(x)=f(x),且f(0)=0,.f(1x)=f(1+x),.f(x)=f(2x),f(x)=f(2+x),.f(2+x)=f(x),.f(4+x)=f(2+x)=f(x),，f(x)是周期函数，且一个周期为4,.(4)=*0)=0,f(2)=f(1+1)=f(11)=f(0)=0,f(3)=f(1+2)=f(12)=f(1)=2,.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(50)=12X0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.法二由题意可设f(x)=2sin/|!,作出f(x)

11、的部分图象如图所示.由图可知，f(x)的一个周期为4,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12f(1)+f+f(3)+f(4)+f(49)1f(x+4)=f(x+2)+2r=f(x).故函数的周期为4.f(105.5)=f(4X272.5)=f(2.5)=f(2.5).V2<2.5<3,由题意得f(2.5)=2.5.f(105.5)=2.5.答案(1)2(2)2.5规律方法函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.【训练2已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)=f(x1

12、),则f(2017)+f(2019)=.(2)(2019前黄中学、姜堰中学、漂阳中学联考)若f(x)是周期为2的奇函数，当x(0,1)时，f(x)=x28x+30,贝U*限)=.解析(1)由题意得g(-x)=f(-x-1),又.f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数,g(x)=g(x),f(x)=f(x),.f(x1)=f(x+1),.f(x)=f(x+2),.f(x)=f(x+4),.f(x)的周期为4,.f(2017)=f(1),f(2019)=f(3)=f(1),又.f(1)=f(1)=g(0)=0,.f(2017)+f(2019)=0.(2)：f(x)是周期为2的奇

13、函数，当x(0,1)时，f(x)=x28x+30=(x4)2+14,f(Vi0)=f(V10-4)=一f(4月)=(4回4)2+14=24.答案(1)024考点三函数性质的综合应用角度1求函数值【例31】(1)(2019南师大附中等四校联考)设必是定义在R上且周期为4的一，一、,一一，一，、-x+a,2<x<0,一，函数，在区间(一2,2上，其函数解析式是f(x)=其中aCR.J1-x|,0<x<2,若f(5)=f(5),则f(2a)的值是.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)=x31;当一1&x01时，f(-x)=f(x);当x>1时

14、，fjx+2卜平一2.则f(6)=.解析(1)易知f(5)=f(1)=1+a,f(5)=f(1)=|11|=0,结合f(5)=f(5)可得1+a=0,解得a=1,故f(2a)=f(2)=|12|=1.当x>1时，由d+2j=q一2),得f(x)=f(x+1),.f(6)=f(1),又由题意知f(1)=f(1),且f(1)=(1)31=2.因此f(6)=f(1)=2.答案(1)1(2)2角度2求参数值【例32(1)(2018扬州中学四模)若函数f(x)=xln(x+1a+x2)为偶函数，则a设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)=ax+ 1, bx+2 x+ 1

15、'1<x<0,0<x< 1,其中a, bCR.若f曰'= f| j,则a+3b的值为解析(1)由于函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数，则有f(x)=xln(x+a+x2)=f(x)=xln(x+1a+x2),可得一ln(x+aTx2)=ln(x+ya+x2),即ln(x+a+x2)+ln(x+Ja+x2)=0,即(-x+a+x2)(x+Aa+x2)=x2+a+x=a=1.(2)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数,所以噜尸f(-1)且f(T)=f(1)，1c1、f2b+2_1-2J,从而1？a+1,2+1即3a+2b=2.b+2由f(1)=

16、f(1)得一a+1=,即b=2a.由得a=2,b=4,从而a+3b=10.答案(1)1(2)-10角度3求取值范围1【例33】(1)设函数f(x)=ln(1+x|)-则使得f(x)>f(2x1)成立的x的1十x取值范围是.(2018南京盐城、连云港二模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=x2+xf(a)+f(a)<4,则实数a的取值范围为.解析(1)由f(x)=ln(1+|x|)知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)>f(2x1)1+x即为f(|x|)>f(|2x1|).-一1当x0时，f(x)=ln(1+x)2,所以f(x)为0,+8

17、)上的增函数，则由f(x|)1+x21>f(|2x1|)彳#x|>|2x-1|,两边平万得3x24x+K0,解得3<x<1.(2)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)=x2+x,则当x<02a0，时，f(x)=f(x)=xx,则f(a)+f(a)=2f(a)<4,即为f(a)<2,则2或aw0,%2解得0&a<1或一1<a00,故实数a的取值范围是(一1,1).aa<2,k7-1,答案(1)&，1J(2)(-1,1)规律方法(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性

18、或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)或x)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.(3)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性.(4)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(5)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练3】(1)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

19、<x<1时，f(x)=4x,则f5；+f(2)=.(2)若定义域为R的函数f(x)在(4,+8)上为减函数，且函数y=f(x+4)为偶函数，则f(2),f(3)的大小关系为.(3)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为.解析(1)：f(x)是定义在R上的奇函数，.(0)=0,又f(x)在R上的周期为2,.f(2)=f(0)=0.p5111又f12尸fr2尸一巧尸42=2，.f1一5；+f(2)=-2.(2)=y=f(x+4)为偶函数，.-.f(-x+4)=f(x+4),因此y=f

20、(x)的图象关于直线x=4对称， .f(2)=f(6),f(3)=f(5).又y=f(x)在(4,+00)上为减函数， .f(5)>f(6),所以f(3)>f(2).法一易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数， 奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)=0.；g(x)在(0,+8)上是增函数.又3>log25.1>2>20.8,且a=g(log25.1)=g(log25.1), .g(3)>g(log25.1)>g(20.8),贝Uc>a>b.法二(特殊化)取f(x)=x,则g(x)=x2为偶函数且在(0,+00)上单调递增，又3>l

21、og25.1>20.8,从而可得c>a>b.答案(1)2(2)f(2)<f(3)b<a<c出层限时训炼I爵，一,I温层训练会提升能力会、必做题1.若f(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=log2(2x),则f(0)+f(2)的值为.解析二仅)为定义在R上的奇函数，f(x)=f(x)且f(0)=0,又x<0时，f(x)=log2(2x),.f(2)=log24=2,.f(2)=f(2)=2,.f(0)+f(2)的值为一2.答案24xa，一一，一-，一，2.若函数f(x)=7为奇函数，则实数a的值为x214x-a4a解析函数g)=工为

22、定义在x|xw0上的奇函数，则f(1)=f(1),一1=-24 a2,解得a=-1.答案13 .已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=x23asin且f(3)=6,则a=.解析因为f(3)=6,f(x)是奇函数，所以f(3)=6,所以f(3)=93asiny)=-6,所以a=5.答案54 .函数y=f(x)是R上的奇函数，且满足f(3+x)=f(3x),当x(0,3)时，f(x)=2x,则f(5)=.解析由题意得f(5)=f(3+2)=f(32)=f(1)=21=2,因为f(x)是奇函数，所以f(5)=f(5)=2.答案 25.若函数f(x)(xC R)是周期为4的奇函数，且在

23、0, 2上的解析式为f(x) =x (1 x) , 0<x< 1 ,、sin x% 1<x< 2,则喈 > 唱:尸解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数,i= <2X4-3 ；+ ?2X4-pA. 16+ sin5答案磊2c 56=166.(2018南京三模)若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x) =x2 + x+a, 0<x<2,c c c则f(a+1)的值为 6x+ 18, 2<x< 3,解析 由f(x)是定义在R上的周期为3的函数，得f(0) = f(3),解得a=0,则f(a+ 1)=f(1) = 2.答案 22

24、a- 37.设函数y= f(x)是定义在R上的周期T=3的奇函数，若f(1)>1, f(2)=17, . a十 1则实数a的取值范围为2a 32a3解析由题设可得 f(2) = f(1) = f(1),因 f(1)>1, f(2)=,故一>1,a+1a+13a 2即<0,解之得a+ 12 1<a<o.3-1,8.函数y= 1 23sin xx4+x2+ 1(xC R)的最大值与最小值之和为sinx解析因为y=xDI/xCR)为奇函数，其最大值与最小值之和为0,因此函sinx数y=i-1+/+1(xeR州勺最大值与最小值之和为2.答案29.(2019徐州期中抽

25、测)已知函数f(x)=exex+1(e为自然对数的底数),若f(2x1)+f(4-x2)>2,则实数x的取值范围为.解析根据题意，令g(x)=f(x)1=exe-x,有g(x)=f(x)1=exex=g(x),则g(x)为奇函数，对于g(x)=ex-e-x,其导函数g'x)=ex+e_x>0,则g(x)为增函数，且g(0)=e°e°=0,若f(2x1)+f(4x2)>2,则f(2x1)-1>-f(4/)1,即g(2x1)>g(x24),又由函数g(x)为增函数，则有2x1>x24,即x22x3<0,解得1<x<3

26、,即实数x的取值范围为(1,3).答案(一1,3)10.设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2,且f(1+x)=f(1x),当Kx<0时，f(x)=x.判定f(x)的奇偶性;(2)试求出函数f(x)在区间1,2上的表达式.解(1)-.f(1+x)=f(1-x),.-.f(-x)=f(2+x).又f(x+2)=f(x),.r(一x)=f(x).又f(x)的定义域为R,f(x)是偶函数.当xC0,1时，一xC-1,0,则f(x)=f(x)=x;进而当10x&2时，一1&x200,f(x)=f(x2)=(x2)=x+2.-x,xC1,0,故f(x)=x,x(0,1),

27、l-x+2,x1,2.11设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有f(x+2)=f(x),当xC0,2时，f(x)=2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当xC2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+-+f(2019).(1)证明vf(x+2)=f(x), f(x+4)=f(x+2)=f(x). .f(x)是周期为4的周期函数.解当x-2,0时，一xC0,2.由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数，.f(x)=f(x)=2xx2, .f(x)=x2+2x.又当xC2,4时，x-4-2,0,f(x-4)=(x4)2+2(x4).又f(x)是周期为4的周期函数， .f(x)=f(x4)=(x-4)2+2(x-4)=x26x+8. .xC2,4时，f(x)=x26x+8.解易得f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数， f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=3=f(2016)+f(2017)+f(2018)+f(2019)=0. f(0)+f(1)+f(2)+f(2019)=0.二、选做题1-4x212.已知函数f(x)=sinxx+2,则关于