数学江苏专用新设计大一轮讲义+习题：第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第8讲含解析

1、第8讲函数的图象考试要求1.点的坐标与函数图象的关系（A级要求）；2.图象的平移、对称、伸缩变换及应用（B级要求）；3.函数图象的应用一一研究函数的性质、求解方程解的个数、不等式的解等（B级要求）.回顾教材夯实基础知识梳理1 .利用描点法作函数的图象步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）；（4）列表（尤其注意特殊点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线.2 .利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换（2）对称变换y=f（x）的图象为于x轴对称>y=f（x）的图象；y=f（x）的图象兰于y轴对称>y=

2、的图象;y=f（x）的图象关于原点对y=f（x）的图象；y=ax（a>0,且aw1）的图象一于直线、一x）Ct称,y=ogax（a>0,且a*1）的图象.此知识点常用来解决两函数的对称问题.（3）伸缩变换y= f(x)的图象一纵坐标不变1.、各点横坐标变为原来的-(a>0)倍 a>y= f(ax)的图象.y= f(x)的图象横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A > 0)格y=Af(x)的图象.(4)翻转变换x轴下方部分翻折到上方y=f(x)的图象一一x轴及上方部分不变一>y=3的图象;"、的m缶y轴右侧部分翻折到左侧s1、钻向缶V=f(x)的图象

3、Fy轴左侧部分去掉，右侧不变>'=蛔的图象.重要结论：若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(ax),即f(x)=f(2ax),则f(x)的图象关于直线x=a对称.一一一，a+b.右f(x)酒足f(a+x)=f(bx),则f(x)的图象关于直线x=-2一对称.函数y=g)与y=f(2ax)的图象关于直线x=a对称.函数y=£仅)与丫=2bf(2ax)的图象关于点(a,b)对称.诊断自测1.思考辨析(在括号内打或"X”)(1)函数y=f(1x)的图象，可由v=f(x)的图象向左平移1个单位得到.()(2)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=

4、f(x)的图象关于y轴对称.()(3)当xC(0,+oo)时，函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同.()(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()解析(1)y=f(x)的图象向左平移1个单位得到y=f(1x),故(1)错.(2)两种说法有本质不同，前者为函数自身关于y轴对称，后者是两个函数关于y轴对称，故错.令f(x)=x,当x(0,+oo)时，y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=-x,两函数图象不同，故(3)错.答案(1)X(2)X(3)X(4)，2.(教材改编)设M=x|0&x&2,N=y|0&

5、amp;y02,给出如图四个图形:其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有(K序号).解析中，因为在集合M中，当1<x02时，在N中无元素与之对应，所以不是函数；符合函数的定义，所以是函数；中，x=2对应的元素v=3?N,所以不是函数；中，当x=1时，在N中有两个元素与之对应，所以不是函数.因此只有是从集合M到集合N的函数.答案3.(2019泰州一检)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线v=ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为.解析依题意，与曲线y=ex关于y轴对称的曲线是y=e-x,于是f(x)相当于y=e-x向左平移1个单位的结果，；f(x)=e-(x+1)=e

6、-x-1.答案f(x)=ex14.(2018浙江卷改编)函数y=2x|sin2x的图象可能是(填序号).a：解析设f(x)=2x|sin2x,其定义域关于坐标原点对称，又f(x)=2x|sin(2x)=f(x),所以y=f(x)是奇函数，故排除；令f(x)=0,所以sin2x=0,所以k2x=kTtkCZ）,所以x=5（keZ）,故排除.5.若函数y=f(x)在xC2,2的图象如图所示，则当xC2,2时，f(x)+f(x）=解析由于y=f(x)的图象关于原点对称，f(x)+f(x)=f(x)f(x)=0.答案0I考点聚焦突破雪胃甯|瞿里|夏雪奥噩舞鞭笑进竦霆婕例求送考点一作函数的图象【例11作

7、出下列函数的图象：1|x|小、“(i)y=2);(2)y=|iog2(x+i)|；2x12（3）y=：r；（4）y=x2-2|xi-i.x1一,1x,一，-1x-，、一一1x解先作出v=以的图象，保留V=以图象中x0的部分，再作出v=21的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得v=的图象，如图实线部分.I(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象，如图.(3)：y=2+7，故函数图象可由y=1图象向右平移1个单位，再向上平移2x1x个单位即得，如图.-Ix2x1,x>0,2c/c且函数为偶函数，

8、先用描点法作出0,+00)上的图,x2+2x-1,x<0,象，再根据对称性作出(00,0)上的图象，得图象如图.规律方法画函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练11分别画出下列函数的图象:(1)y=|lgx|；(2)y=sinx|.(1)y=|lg x|=ilgx,x>1,l1gx,0<x<1.函数y=|1gx|的图象，

9、如图.2(2)当x0时，丫=$小冈与y=sinx的图象完全相同，又y=sin冈为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图.考点二函数图象的辨识(填序_,、一exex_，.【例2】(1)(2018全国II卷改编)函数f(x)=-的图象大致为x(2)如图，长方形ABCD的边AB=2,BC=1,。是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动，记/BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(K序号).e' e x解析(1)当x<0时，因为ex-e- x<0,所以此时f(x) =7 <0,故排除;x又f(1)=e-1>2,故排除

10、，选.e当xL0,41时,f（x）=tanx+4+tan2x,图象不会是直线段，从而排除,.当xeE,34勺,f（4!'=f的=1+V5，fgj=2业.2成<1+弧,f0f4t尸f年，从而排除.答案（2）规律方法（1）抓住函数的性质，定性分析从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从周期性，判断图象的循环往复；从函数的奇偶性，判断图象的对称性.（2）抓住函数的特征，定量计算从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【训练2】（1）函数y=2x2e|x|在2,2的图象大致为（填序号）.函数y=言仅的部分图

11、象大致为阳序号）.1-TTIT X解析(1)f(x)=2x2e|x|,xC2,2是偶函数,又f(2)=8e2C(0,1),排除;设g(x)=2x2ex,x>0,贝Ug'x)=4xex.又g'(0)0,g'(2)0,；g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，.a)=2乂2e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除,故填.*sin2x令f(x)=,止义域为x|xw2kTi；kCZ,又f(x)=f(x),.f(x)在止1cosx义域内为奇函数，图象关于原点对称，不正确；又f(1)=>0,f(九,0,1 cos1不正确，只有满足.答案(2)考点三函数图象的应用

12、角度1研究函数的性质【例31已知函数f(x)=xx|2x,则下列结论正确的是(填序号).f(x)是偶函数，递增区间是(0,+00)；f(x)是偶函数，递减区间是(8,1);f(x)是奇函数，递减区间是(一1,1);f(x)是奇函数，递增区间是(8,0).(2018全国田卷改编)下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是(K序号).丫;ln(1x);n=ln(2x);y=ln(1+x);y=ln(2+x).x22x,x>0,解析(1)将函数f(x)=xx|2x去掉绝对值是f(x)=f-x2-2x,x<0,画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图

13、象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(一1,1)上单调递减.x= 1的对称法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数f(x)=lnx的图象上，所以y=ln(2x).故填.法二由题意知对称轴上的点(1,0)在函数y=lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入各函数表达式逐一检验，排除，填.答案(2)角度2解不等式f2x+1,x>0,【例32】(1)(2019南通一模)已知函数f(x)=<0,x=0,则不等式f(x22)、2x-1,x<0,+f(x)<0的解集为.(2)已知函数y=f(x)的图象

14、是圆x2+y2=2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(-x)-2x的解集是解析(1)作出函数f(x)的图象如图所示，所以f(x)是定义域为R的奇函数也是增函数，不等式f(x22)+f(x)<0?f(x22)<f(x),即X22<x,解得一2<x<1,所以原不等式的解集为(一2,1).(2)由图象可知函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>x.在同一直角坐标系中分别画出y=f(x1y=x的图象，由图象可知不等式的解集为(一1,0)U(1,2.尸T答案(1)(2,1)(2)(1,0)U(1,曲角度3求参数的取值或范围,一，一x3,x&

15、lt;a,【例33(1)已知函数f(x)=j2x>a若存在实数b,使函数g(x)=f(x)b有两个零点，则a的取值范围是.x|+2,x<1,(2)已知函数f(x)=i2设aeR,若关于x的不等式f(x)>aa在RIx+x，x>1.2上恒成立，则a的取值范围是(填序号).2,2;2乖，2;2,273;2J3,2m.解析(1)当a<0时，若x(a,+00),则f(x)=x2,当bC(0,a2)时，函数g(x)=f(x)b有两个零点，分别是x=yb,x2=yb.当0&a01时，f(x)的图象如图所示.图易知函数y=f(x)b最多有一个零点.当a>1时，f(

16、x)的图象如图所示.当bC(a；a3时，函数g(x)=f(x)b有两个零点，分别是xi=3b,X2=正.综上，aC(8,0)U(1,+oo).=23时，函数x.一，、,(2)潴足题意时f(x)的图象包不在函数y=2+a的图象下万.当a图象如图所示，排除;当a=26时，函数图象如图所示，排除，故选图答案(1)(8,0)U(1,+OO)规律方法(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.(2)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图

17、象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.【训练3】(1)设函数y=f(x)的图象与y=2*a的图象关于直线y=x对称，且f(2)+f(4)=1,则a=.1x|,x<m,已知函数f(x)=<2a其中m>°，右存在头数b,使得关于xx2-2mx+4m,x>m,的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是.ex,x<0,(2018全国I卷改编)已知函数f(x)='g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在Jnx,x>0,2个零点，则a的取值范围是.解析(1)设(x,y)是函数v=f(x)图象上任意一点，它关于直线v=x的对称点为(一y,-

18、x),由y=f(x)的图象与v=2x+a的图象关于直线y=x对称，可知(一y,乂)在丫=2x+a的图象上，即一x=2-y+a,解得y=log2(x)+a,所以f(2)+f(4)=log22+alog24+a=1,解得a=2.2(2)如图，当x<m时，f(x)=X|;当x>m时，f(x)=x2mx+4m,在(m,+0°)为增函数，若存在实数b,使方程f(x)=b有三个不同的根，则m2-2mim+4m<|m|.m>0,m23m>0,解得m>3.(3)函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点，即关于x的方程f(x)=xa有2个不同的实根，即函数f(x)

19、的图象与直线y=xa有2个交点.作出直线y=xa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，一a<1,解得a>-1.答案(1)2(3,(3)-1,+oo)出层限时训相畴盼层训练/提升能力一、必做题1 .直线x=a和函数y=x2+x1的图象公共点的个数为.解析根据函数的定义，对于定义域内的每一个x,都有唯一确定的y与之对应，故x=a和y=x2+x1的图象只有1个公共点.答案12 .如图，函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,一2),(3,1),则J(3)尸.11)解析由题意，f=1,；f1兀1=f(1)=2.f答案23 .(2019扬州一检)把函

20、数y=(x2)2+2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是.解析把函数y=f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x+1,于是得y=(x+1)22+2=(x1)2+2,再向上平移1个单位，即得到y=(x1)2+2+1=(x1)2+3.答案y=(x1)2+34 .(2019宿迁摸底考试)已知函数f(x)与g(x)的图象关于原点对称，且它们的图象拼成如图所示的“琰折线段ABOCD,不含A(0,1),B(1,1),O(0,0),C(1,-1),D(0,1)五个点，则满足题意的函数f(x)的一个解析式为.解析 由图可知线段OC与线段OB关于原点对称，线段CD与线段

21、BA也关于原点对称，因为f(x)与g(x)的图象关于原点对称，所以f(x)的图象可以为CD和OB 或 OC 和 AB,且 OC 的方程为 y = x(1<x<0), OB 的方程为 y= x(0<x<1),所以f(x) =-1, 1<x<0,x, 1<x<0, 或 f(x) = i1, 0<x<1.答案 f(x)=-1, 1<x<0, 又 0<x<1 或 Ux)x, 1<x<0,J, 0<x<1.(填序号).I5.已知函数f(x) = e11n x|,则函数y= f(x+1)的大致图象为

22、解析当x>1时，f(x)=e1nx=x,其图象为一条射线；当0<x<1时，f(x)=e-1nx1一=1.函数y=f(x+1)的图象为函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到的.x答案6.(2019南师附中调研)使log2(x)<x+1成立的x的取值范围是解析(T,0).在同一坐标系内作出y=log2(x),y=x+1的图象，知满足条件的x(-1,0)x2+x,x<1,7.(2019常州监测)已知函数f(x)=j1若对任意的xR,者B有loggx,x>1,f(x)&|k1成立，则实数k的取值范围为解析对任意xCR,都有f(x)W|k1|成立,即

23、f(x)max<|k-1|.因为f(x)的草图如图所示,x2+x,x<1,观察f(x)=<1log§x,x>1一一一，,1.i,1的图象可知，当x=2时，函数f(x)max=4，一1.一3.5所以|k1芦彳，解得k,或k14答案J00,35，+°°)8 .已知当x0,1时，函数v=(mx1)2的图象与y=E+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是.2解析y=(mx1)2=m2%jm),相当于y=x2向右平移1个单位，再将函数值放大m2倍得到的；y=m+m相当于y=x向上平移m个单位.若0<m&1,两函数的图象如图1所

24、示,可知两函数在xC0, 1上有且只有1个交点，包成立;/1若m>1,两函数的大致图象如图2所示，为使两函数在x0,1上有且只有1个交点，需要(m1)2>1+m,得m>3.综上，mC(0,1U3,+却.答案(0,1U3,+oo)a2ab,a<b,9 .对于实数a和b,定义运算“*："a*b=/b2_aba>b设f(x)=(2x1)*(x-1),且关于x的方程f(x)=m(mCR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2,x3,则xx2x3的取值范围是.2x2x,x<0,解析由题意得f(x)=j20f(x)的图象如图.1= f(x)= m恰有二个互不相等的

25、根，0<m<4.设f(X)= m恰有三个互不相等的实根 X1, X2, X3,1.不妨设 X1<X2<X3,易知 X2>0,且 X2 + X3=2X/= 1 ,X2X3<4，令 y=2X2 x= 4(x< 0),得 x=，,1- 34<X1<0，1-/3-16-<X1X2X3<0.10.已知函数f(x)= «3-x2, x -1, 2, ：x3, x (2, 5.在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象;(2)写出f(x)的单调递增区间；(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.解(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知,函数f(x)的单调递增区间为1,0,2,5.由图象知当x=2时，f(x)min=f(2)=1,当x=0时，f(x)max=f(0)=3.一，211.已知f(x)=x-4x+3|.作出函数f(x)的图象；(2)求函数f(x)的单调区间，并指