数理方法期中测验及答案

1、07801-808数学物理方法期中测验试题填空题(每题5分，共20分)1现有一长度为的均匀细弦，弦的x=0端固定，x=l端受迫作简谐振动Asin®t(只在x=L处)，弦的初始位移和初始速度都是零，那么弦的位移函数u(x,t)所满足的定解问题是()。2Utt=aUxx(0：二x：l,t0),dux=0=0,ux=L=Asinot(t>0),Uy=0,uty=0(0<x<l).【2】有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中,一边的温度保持零度，另一边保持常温，那么此Z矩形板的稳定温度分布所满足的定解问题是()0UxxUyy0(0x：二a,0y：二b),Juxx

2、3=0,km0丫乃),Jy£二0，Uy士=U0(0x<b).3 常用三类齐次边界条件的统一表达式是(au+P)=f(M,t),当(P=0)就是第一类边界条件；当(a=0)时，就是第二类边界条件。4 积分x3j0(x)dx=()。解利用递推公式&xmJm(x)=xmJm.(x)和分部积分法，得dx分)(1)求解升怖)dx而太x2隔秘翻x(每题10分，共20=x2dxJ1(x)=x3J1(x)-2x2J1(x)dxX(x)X(x)0,|x宜Ji(X)点x2J2(x0+C.22(2)r2R(i)rR尸(£9)R(=r)0,R(a)=0,R(0)：|解（1）因为我们已

3、经知道，本征值九20。设九=0,方程（1）中方程的通解是X（x）=AxB.由边界条件得A=B=0,即X（x）=0,为平凡解，故也不可能有九=0设九0,此时（1）中方程的通解是X（x）=Acos、xBsin、x.B=0,Acosl=0.由于A#0(否则X(x)三0),故cosJTl=0,所以有一(2门+1/(2n+1xn=；Xn=Acosn=1,2;n|L2ln2l(2)3阶Bessel方程的通解是P131R(r)=CJ3(Qr)+DY3(Qr),由R(0)知D=0,R（a）=0,得13（62）=0由此得到本征值为nn=1,2,其中xn3）是函数J3（x加勺第n个零点。相应的本征函数是x3R3

4、r =CnJ3 ,ar , (n=1,2,1试在球坐标系（几句中）下将Laplace方程-u =r2 -r r 二 rr2 Jsinlcu >1 cUu其J r2sin2e 西分离变量，即得到各个单变量函数所满足的常微分方程。(20分)解设u(r,日=R(r)。(的，代入方程中，得0,:，d2dRR：，d.dmR。d2：，1r2sin122r2drdrr2sinrddir2sin%d22r将变量和变量不分离。为此，用晨ng遍乘上式，并适当移项,可得sin2'dr2dRsindsindmRdrdrC-)dudu其中是分离常数。由此可得两个微分方程(1)1A2处，色Mi唯一之二。.R

5、dr.drGsin二dd?sin1对上面第二个方程，再将变量r,e分离而亚一L osind , d sin21A r2dR R dr dr=M 1),其中l(l+1)是第二次分离变量引入的常数，它可以用一个实数表示，为了以后讨论方便，令九=l(l+1)可以证明任意一个实数都可表为l(l+1),其中为另一任意实数或复数。由此再得两个常微分方程d / 2dR) r (i 十i)R =。， dr I dr J将式中的导数求出，得到r2 R( i)2 r R( i) l( l 1) R(=r,)0以及1 d . . dm2八sin 1 l(l 1)=。=0. sin di d 3 ' | si

6、n f对方程(3a)作变换x = cosB以后，可以改写成d J 2、d。)上 上八 m2 "L n -,(1-x ) + (l +1)-2旧=0,dx I dx J 11 -x将其中的导数求出就有(2a)(2b)(3a)(3b)2(1-x2)OH(x) 2x9'(x)+ |l(l +1) O(x) =0(3c)1 -x至此球坐标系下的Laplace方程分离变量的结果是得到三个常微 分方程(1)、(2)和(3).四(本题20分)均匀薄板占据的区域为带状区域(0MxMa,0Ey<y),边界上的温度分布为口必=口=0xu|ye=A(1-), lim u =0。试用分离变量法

7、求解板的 a 丫一' -稳定温度即求解定解问题:-2- 2二 u 二 u = 0.2. 2：x二 yu|x=0= u|x= = 0U|y=0= A(1 -)， alim u = 0.y 二解令u(x,y)=X(x)Y(y),代入原方程得X”(x)X(x)=0Y''(y)-Y(y)=0由x=0和x=2边界上的条件，有X(0)=X(a)=0X”(x)+，X(x)=0解本征值问题()(),得本征值和本征函数为X(0)-X(a)-022,n二,n二x2- ,Xn(x)=Cnsinaa解关于Y(y)的方程得n2左Yn(y)=AneWBne一二从而有盟口n二xUn(x,y)=(An

8、eaBnea)sin,n=1,2,a6n-：xu(x,y)=(AneaBnea)sin一nia由y=0和丫=bi界上的条件，有n二xx工(AnBn)sinnx=A(1-x)nTaanx、(AneBne)sin二0nia由此得An=0,(n=1,2,3,)“Bn sinn 4x=A(1 一) a2 a x汪 Bn =A(1 - )sina an 二x2Adx ,(n =1,2,3;)/ 2Au(x,y)=二1 二e a sinnm n五(本题20分)半径为a高为h的圆柱体，上底的电势分布为f(P)=P2,下底和侧面的电势保持为零，求圆柱体内(无源)的电势分布。即求解定解问题无源的(p27p46)

9、与小无关,对称性.2 二 u、u = -yPcP：2u、.20,a,0zh:zzT=0, uZ5 =：'，：=0，解分离变量，即令u=u(P,z)=R(P)Z(z)代入方程得Z''z-kZz=0,P2r'(P)+PR('p)+(kP2-0)R(P)=0.其中-k2是分离常数，方程(1)和(2)解依次是Z。z=AzB0k=0,Zz=AekzBe上k0;Ro7=C0DOn：k=0,RP)：CJ0k：DY0kP-k0.由边界条件C0=D0=D=0,及Joka=0.可见对应k=0问题没有非零解。由（4）得本征值为Xn0knn=1,2,a相应的本征函数为Xp）、R

10、n:9J。土：n=1,2,a将本征值代入到（3）的第二个式子得到丈z.<zZnz=AneaBnea.由边界条件uzm=0,得A+&=0,即氏=-An,于是心堂z0ea-eaXcZnZ=22e=anSh叱Z.2a组合、叠加，得问题的一般解为X°X0u：,z八CnSh迎ZJ°辽：.,a.a(5)(6)(8)(9)由边界条件uzdh=P2代入，得右边的级数是右边函数的Fourier-Bessel级数，由展开式的系数公式，并考虑此时的边界条件，有Cnx0工P d 7a一3一一2a4xn0Xn0XndXn0、o.0一/Jo一:d一?,shX')ha2J12(xn0)(Xhla)laIla'ax