数学物理方法知识点归纳

1、(ii)C-R 条件在该点成立。C-R 条件为当知道 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的 u(x,y)时, 如何求v(x,y)?通过C- R条件列微分方程第二章复变函数的积分2.2 解析函数的积分柯西定理：若函数f(z)在单连区域D内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点 A与B的那些曲线来讲，积分BJ f (z)dz的值均相等。 A柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D内解析，则它沿 D内任一围线的积分都等于零。二 f(z)dz = 0 C二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针 方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针

2、方 向)的积分。n+1连区域柯西定理：.f(z)dz=：. f(z)dz-j f(z)dz 卜 f(z)dz '-e- -ii' - i2n推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。2.3 柯西公式若f(z)在单连有界区域 D内解析，在闭区域 D的边界连续，则对于区域D的任何一个内f (z)f()( -z)n1第一章复述和复变函数1.5 连续若函数f(x)在Z0的领域内(包括Z0本身)已经单值确定，并且limf(z)=f(zo),z/0则称f(z)在Z0点连续。1.6 导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存

3、在的条件：:ufufvfv+(i)、在点不仅存在而且；xZ；x；:y连续。Mx,y)_£V(x,y)&y：v(x,y)二_：:u(x,y)J:x；:y1.7 解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。解析的必要条件：函数f(z)=u+iv在点z的u：:u：:vfv十十内(i)、:xZ;x;y(ii)C-R条件在该点成立。解析的充分条件：函数f(z)=u+iv在领域内(i)-：u：uvZ口十公、不仅存在而且连续。:xyFxFy(ii)C-R条件在该点成立。1.8 解析函数和调和函数的关系拉普拉斯方程的解都是调和函数:2-2二u二uT+-T=

4、0x.y点a,有f(a)nLg-LLzldz其中是境2二i：z-a界线。2.5 柯西导数公式第三章级数3.2 复变函数项级数Q0外尔斯特拉斯定理：如果级数zuk(z)在境k-0精选范本由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足CR条件。界上一致收敛，那么(i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z)(ii)由它们的m阶导数组成的级数oOUku【m)(z)在区域内也收敛，而且它们的和k旦等于F(m)(z)。3.3 哥级数阿贝尔(Abel)定理：如果哥级数Zck(z-a)k在点Z0处收敛，则在任一圆k卫|z-a|<

5、;二p|zo-a|,0Vp<1内，哥级数一致收敛，并且绝对收敛。达朗贝尔(D'Alembert)判别法：对于哥级数,计算下列极限lim|ck1亿一叫|二|Ck(z-a)|函数。环形区域内的解析函数可展成双边哥级数f(z)=-Ck(z-a)kk-.：Ck=-4.J()d-称为Laurant系数2：i(-a)3.8孤立奇点非孤立奇点：若函数f(z)在z=a点的无论多么小的领域内，总有除z=a以外的奇点，则z=a是f(z)的非孤立奇点。孤立奇点：若函数在z=a不可导(或无定义),而在去心'领域0<|z-a|<e解析，则z=a是f(z)的一个孤立奇点。(i)当极限值小

6、于1时，哥级数在点z处绝对收敛(ii)当极限值大于1时，哥级数在点z处发散(iii)当极限值等于1时，敛散性不能判断。柯西判别法:计算极限|imk|ck(z-a)k|当极限值小于1时，哥级数在点z处绝对收敛;而当极限值大于1时，哥级数在点z处发散；极限值等于1时，不能判断3.4解析函数与哥级数定理：哥级数的和是收敛圆内的解析函数。有限远奇点极限性质洛朗级数可去奇点limf(z)=有限值不含负嘉项极点limf(z)=00含有限个负哥项本性奇点limf(z)=无止值含无限个负哥项3.9奇点分类Taylor级数：二f(n)(a)nf(z)=、(a)(z-a)n=on!2ez=1z-.2!n1rz7n

7、!无穷远点极限性质洛朗级数可去奇点limf(z)=有限值不含正嘉项极点limf(z)=00含有限个正哥项本性奇点limf(z)=无正值含无限个正募项第四章留数2n 1z(2n 1)!35sinz=z一一一一(-1)3!5!4.1柯西公式的另一种形式一阶极点留数：若g(z)在单连区域D内解析,a在D内，在D内作一环绕点a的围线C。令f(z)=g(z)/(z-a)则有:242ncosz=1.2!4!(2n)!,f(z)dz=2二iResf(a)C23n11n(1z)”.(-1)nnh.Resf(a)=ljm(z-a)f(z)一阶极点留数白一种算法：定理：双边哥级数的和是环形区域内的解析3.5解析函

8、数与双边哥级数,(z)(a)如果f(z)=-一那么Resf(a)=(z)(a)C(k)=D(k)=m阶极点的留数公式1dm'm.Resf(a)=R(z-a)f(z)|(m-1)!dz4.2 用级数分析来分析留数定理一，二kf(z)-Ck(z-a)k-.：贝U有Resf(a)=c多连区域的柯西定理：如果在围线C的内部包含n个孤立奇点，利用多连区域的柯西定n理就有f(z)dz=2小Resf(aJCk44.3 无限远点的留数r一、1一、.Resf(二)=-f(z)dz=-cj2：i定理1:如果当z-8时，若zf(z)-0,则Resf(°°)=0n定理2：%Resf(ak)

9、-Resf(二)=0k14.4 留数定理计算型积分2二第一种类型：RR(cosQsin中)d中型积分令z=eid=dz/izcos=：(zz1)sin=1(z-z/)2Jl°R(cos,sin)d：=：及f(z)dz二在单位圆内各个奇点的留数之和Q0第二种类型：f(x)dx型积分注意，需要满足条件limzf(z)=0z：oOf(x)dx=2二i在上半平面的奇点留数之-=O和(界限上的乘以0.5)O0第三种类型：/f(x)eimxdx型积分注意需要符合条件limf(z)=0z,ff(x)eimxdx=2扪f(z)eimz在上半平面的奇点留数之和4.7围线积分方法泊松积分：feJx2co

10、sbxdx=l|eJ!2/菲涅尔积分：二2,二.2,1二°cosxdx=0sinxdx=-一第六章积分变换6.1 傅里叶级数三角函数系的正交性2兀周期-展开定理：f(x)=C0-'E(CmcosmxDmsinmx)m=1C0=2Uf()dCm=f()cosmd1二Dm=f()sinmd任意周期2l-展开定理：£nnf(x)=C0%(CmcosmxDmsinmx)m=1llC0=:lfK泗Cm=1；f()cos-mp-dDm=；f()sin-mpd6.2 傅立叶积分f(x)=qC(k)coskxD(k)sinkxdk.f()coskdjiq1 二f()sinkdC(k

11、)是偶函数，D(k)是奇函数傅里叶公式A1_令(k)=21C(k)iD(k)_oO“则f(x)=f(k)edkJ-=O(k)=：f()eikd2 二二二f(k)=Ff(x)1f(x)=F(k)6.3 傅立叶变换线性定理FCifiC2f2=GFfiC2FU2导数定理Ff(x)=ikFf(x)导数的象函数：dth p(p) - (0)dtdypn，(p)-pn(0)一 pg 一dt积分的象函数t一(。)J0*(t)dt w (.n-1 7 、-(0),nn!tn-Tp象函数的位移定理:eat (t)；1 (p-a)由此可得ate cos t -p-a/22(p-a)Fdfa=(ik)nFf(x)d

12、x积分定理x1F.xf()dFf(x)x0ik延迟定理Ff(x")=e"f(x)atesin-tat,echt一0(p-a)22p-a/、22(p-a)-'1相似定理Ff(ax)(与aa卷积定理F二fi()f2(x-)d=2二fi(k)f2(k)eatsh，t,22-(用来求逆变换)(p-a)-延迟函数的象函数(t)H-(p)(t-)H(t-卜e-,(p)(p)=L (t)(t)=L-i,(p)*(t)- "(P)线性性质：a i(t) b 2(t)=a i(p) b 2( p)(-t)n (tr-积分公式:d 唾(p)dpn0：'(p)dp=0：

13、Tdt6.4 拉普拉斯变幻(p)0(t)etdt注意当t<0时，*(t)=0卷积定理L；i()2)d=L；(t)L;(t)象函数的导数第八章数学物理方程的导出_2,.、一2,.、uu(x,t)2&u(x,t)2a2笈cX弦的横振动方程u=弦的横向位移a2=FT/P5丁二张力P=单位长度弦的质量弦的纵振动方程u二弦的纵向位移a2=E/p£=杨氏模量P=单位长度弦的质量色叱=a2v2u（r：t）扩散方程u=离子浓度，a2=D口=扩散系数热传导方程u=温度,a2=k/pck=导热系数，p=质里管度c=比热容.u(r,t)_片2-ct2-2.au(r,t)波动方程u=E或B的任

14、一分重a2=1/%No玩=真空电容率N0=真空导磁系数E电场强度B磁场强度拉普拉斯方程2u(r：t)=0稳恒状态扩散方程u=粒子浓度稳恒状态传导方程u=温度静电场方程u=静电势线性算符与解的叠加初始条件扩散方程热传导方程u（：t）|t4=e（已知函数）波动方程u（r：t）=*（已知函数）型2k=中（已知函数）a一边界条件口三+0切号=已知函数二川一第九章本征函数法弦振动方程的A类边值问题定解问题2,一_2,一uu(x,t)_2du(x,t)2.2a_2ctexu|t=0=*(x),ut|i=¥(x)u(0,t)=u(l,t)=0分离变量u(x,t)=X(x)T(t)解本证方程JXx)

15、+X(x)=0、X(0)=X(l)=0本征值九=>un=()2nn本征函数X(x)=Xn(x)=sinx解非本征方程T*t)+a2KnT(t)=0的通解为_n通_naT(t)=1(t)=CnCoSt+DnSinnt定解问题的解oOu(xt)=£Tn(t)Xn(x)=n=1n_na_mannZ(Cncos-pt+Dnsin-j-t)sin-j-x由初始条件和傅里叶级数确定系数.3nnu(x,0)=巾(x)=£Cnsinxnd：lDf/x-ydn7rasin-nxut1tz0(x)乙DnsinxnTllCn=2(午)sin_n%l0lDn=d)sin小ng0l热传导方程第

16、二类边值问题定解问题_，、-2，、cu(x,t)2du(x,t)二二alaexUx3=0,Ux|x产0u(x,0)=e(x)分离变量u(x,t)=X(x)T(t)解本'X"(x)+AX(x)=0证方程X(0)=X'(l)=0本征值九二鼠=(半)2本征函数X(x)=Xn(x)=cosnx解非本征T"(t)+a2九nT(t)=0的通解为方程苧tT(t)=*t)=Cel定解问题的解u(x,t)=&+>“千mCCnecosxn生l由初始条件和u,、c：cnn(x,t)=C0+£Cncosxn=1l傅里叶级c0TM数确定系数2i-nnCn岭)8

17、$不耻X"(x)十九X(x)=0本征值和本征函数系齐次边界条件本征值本征函数系X(0)=X(l)=0lT；)2nnsinxlX(0)=X(l)=0K=(牛)2nncos-xlX(0)=X'(l)=0(nfsin-2-xl第一类边界条件齐次化的一般方法非齐次边界条件u(0,t)=»(t)u(l,t)=%(t)齐次化方法u(x,t)=v(x,t)+N1(t)+x匕(t)H(t)非齐次方程按本征函数系展开的解法定解问题_2,一_2,一vv(x,t)2dv(x,t)2-二a2+f(x,t)ctexv|x=0=0,v|x=|：=0v|t=00,vt|t=00本征函数nnX(x

18、)=Xn(x)=sinx非齐nnxf(x,t)=£fn(t)sin次项按本nVl征函数展2'nn匕fn(t)=lf0f(£,t)sin-d开定解°°nr问题._lnLv(x,t)-ZTn(t)xinx试解nilTn(t)的确”na2Tn(t)+()Tn(t)-fn(t)-0定lTn|=0,丁；|口=0l:na(t-T)Tn(t)-(fn()sin-zdina0l第十章勒让德多项式微分方程的哥级数解法二阶齐次线性常微分方程,2yP(z)®q(z)y(z)=0dzdz将试解y(z)=ECk(z-z0)k代入方程，求k=0系数的递推公式，从而

19、求出方程的解连带勒让德方程,2,22dydym(1.x)2-2x-.-1(11)21y=0dxdx1-x勒让德方程(1 -x2dy-2x y 1(1 1)y=0 dx勒让德方程的通解y(x) =C0yo(x) Gy(x)y0 (x) =11(11)2.(1-2)1(11)(13)xx2!4!-(-优(l-2k2)(l-2k4)l(l1)(13)(l2k-1)x2k/(2k)!./、(1 -1)(1 2) 2y1(x) =xx3(1 -3)(1 -1)(1 2)(1 4) 5x 一5!(-1)k(1-2k1)(1-2k3).(12)(14).(12k)x2k1/(2k1)!.系数递推关系Cn2=

20、(nT)(n1%(n2)(n1)勒让德多项式对yo(x)或y1(x)乘以适当常数，使得x1的最高项系数为C1=抑2时的多项式称为勒2(1!)让德多项式，此时相应的C1-2n为C”(H1一2n)!n!2(1-n)!(1-2n)!勒让德级数表达式km/八k(21-2k)!12P(x)=“(-1)1xkfk!2(1-k)!(1-2k)!km=J(高斯函数)PC)*-1)1围线积分表达式P1(z)=，4为dt2g啜电伐-z产7E积分表达式一1 n一一一 1 yP1 (cosQ) =一 cos9 +isin cos。 d中H L0性质FV-x) = (-1)1P1(x)(0)=0P2n(0)= (-1)

21、(2,2 n!n!Pl (1)=1 P1(-1) = (-1)1 | P(cos 日)|M1勒让德方程的本征方程导数表达式刘维尔方程；k(x)乎q(x)y1w(x)y=0dxdx勒让德方程d2dy(1-x)J+1(1+1)y=0dxdx权函数：w(x)=1本征函数：Pi(x)1止交性：P1(x)Pk(x)dx=0,1丰k模：N1fP1(x)2dx广义傅立叶级数展开21+1Jf(x)£flP(x),fl-ff(x)P(x)dx1=02COg(H)=f(cosH)v=Eg1P(cos”1=021+15rrrrgl-2.0g(e)P(cose)sined9母函数od工rlP|(cos6),

22、r<11ji-0V1-2rcose+产工p(cos”r'i=orWiZrP(x),r<1111_o#-2rx"2.£Lp(x),r>1130r递推公式一(n+1)Pn+(x)-(2n+1)xPn(x)+nPn(x)=oPn(X)=Pn+(X)-2xPn,(x)+*(x)Pn+(x)=xP1r(x)+(n+1)Pn(x)2u(r,e* =V2u(r,9) =0u(r,Q>)=R(r)0(8)(甲)R(r)G(9)6（中）非本征函数本征函数本征函数141 +)r ,r1,m=0P (cos9)OQu(r,8)=£ (aj1 +bi W)Pi(cosH) i =0r第一章贝塞尔函数贝塞尔函数v阶贝塞尔函数 v阶贝塞尔方程的特解/ 八 k.Jv(x) -E( )k=0 k!(v +k +1) 2k 吊一J-v(x) E( )k=0k!(-v+k*1) 2谢I女系P