九年级数学下册第2章二次函数2.2二次函数的图象与性质第1课时课件湘教3

1、2.2二次函数的图象与性质 第1课时1.1.探索二次函数探索二次函数y=axy=ax2 2的图象的作法的图象的作法.(.(重点重点) )2.2.根据二次函数根据二次函数y=axy=ax2 2的图象理解的图象理解y=axy=ax2 2的性质的性质( (图象的形状、开图象的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、开口大小等口方向、对称轴、顶点坐标、开口大小等).().(重点重点) )3.3.能应用二次函数能应用二次函数y=axy=ax2 2的性质解决相关问题的性质解决相关问题.(.(难点难点) )观察函数观察函数y=xy=x2 2,y= x,y= x2 2,y=2x,y=2x2 2,y=-x,y=-x2

2、 2,y=- x,y=- x2 2和和y=-2xy=-2x2 2的图象的图象, ,找找出它们的异同点出它们的异同点: :1212(1)(1)函数函数y=axy=ax2 2(a0)(a0)的图象是一条抛物线的图象是一条抛物线, ,它关于它关于_轴对称轴对称, ,它它的顶点坐标是的顶点坐标是_._.(2)(2)由由y=xy=x2 2,y= x,y= x2 2,y=2x,y=2x2 2的图象的图象, ,可知可知: :当当a0a0时时, ,抛物线抛物线y=axy=ax2 2开开口口_,_,顶点是抛物线上位置顶点是抛物线上位置_的点的点,a,a越大越大, ,抛物线的开口抛物线的开口越越_._.(3)(3

3、)类似地类似地, ,由由y=-xy=-x2 2,y=- x,y=- x2 2和和y=-2xy=-2x2 2的图象的图象, ,可知可知: :当当a0a0a0时时, ,抛物线抛物线y = axy = ax2 2开口开口_; ;当当a0a0a0时时, ,顶点是抛物线上位置顶点是抛物线上位置_的点的点, ,当当x=0 x=0时时, ,函数值最小函数值最小; ;当当a0a0a0时时, ,左左_右右_, ,当当a0a0)(a0)的关系的关系. .(1)(1)抛物线抛物线y=axy=ax2 2与与y=-axy=-ax2 2关于关于_轴对称轴对称. .(2)(2)抛物线抛物线y=axy=ax2 2与与y=-a

4、xy=-ax2 2关于关于_成中心对称成中心对称. .x x原点原点(1)(1)二次函数二次函数y=2xy=2x2 2的图象与的图象与x x轴无交点轴无交点. .( )( )(2)(2)二次函数二次函数y=-3xy=-3x2 2的图象是左降右升的图象是左降右升. .( )( )(3)(3)二次函数二次函数y=5xy=5x2 2的最大值为的最大值为0.0.( )( )(4)(4)二次函数二次函数y=2xy=2x2 2与与y= xy= x2 2的图象关于的图象关于x x轴对称轴对称. .( )( )(5)(5)二次函数二次函数y=- xy=- x2 2的图象关于的图象关于y y轴对称轴对称. .(

5、 )( )1212知识点知识点 1 1 二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图象与性质的图象与性质【例例1 1】函数函数y=(m+2) y=(m+2) 是关于是关于x x的二次函数的二次函数, ,求求: :(1)(1)满足条件的满足条件的m m的值的值. .(2)m(2)m为何值时为何值时, ,抛物线有最低点抛物线有最低点? ?求出这个最低点求出这个最低点, ,这时当这时当x x为何为何值时值时,y,y随随x x的增大而增大的增大而增大? ?(3)m(3)m为何值时为何值时, ,抛物线的开口向下抛物线的开口向下? ?这时当这时当x x为何值时为何值时,y,y随随x x的增的增大而减小大而减

6、小? ?2mm 4x【解题探究解题探究】(1)(1)函数是二次函数的条件是自变量的最高次数是函数是二次函数的条件是自变量的最高次数是_，二次项，二次项的系数不为的系数不为_. .由此得到关于由此得到关于m m的方程组是的方程组是 解得解得m=m=_或或m=m=_. .(2)(2)若抛物线有最低点，则抛物线的开口若抛物线有最低点，则抛物线的开口_，所以二次项的，所以二次项的系数系数_零，由此确定符合条件的零，由此确定符合条件的m m值是值是_. .在对称轴的在对称轴的_侧，侧，即即x x_0 0时，时，y y随随x x的增大而增大的增大而增大. .2 20 02mm42,m20，2 2-3-3向

7、上向上大于大于2 2右右(3)(3)二次项的系数满足什么条件时，抛物线的开口向下？由此二次项的系数满足什么条件时，抛物线的开口向下？由此确定符合条件的确定符合条件的m m值是多少？在对称轴的哪一侧，值是多少？在对称轴的哪一侧，y y随随x x的增大的增大而减小？而减小？提示：提示：二次项的系数小于零时，抛物线的开口向下，所以，符二次项的系数小于零时，抛物线的开口向下，所以，符合条件的合条件的m m的值为的值为-3-3，在对称轴的右侧，即，在对称轴的右侧，即x x0 0时，时，y y随随x x的增的增大而减小大而减小. .【总结提升总结提升】二次函数二次函数y=axy=ax2 2的的“两关系四对

8、等两关系四对等”1.a1.a0 0开口向上开口向上有最小值有最小值 x x0 0时，时，y y随随x x的增大而增大，的增大而增大，( (右升右升) ) x x0 0时，时，y y随随x x的增大而减小的增大而减小.(.(左降左降) )2.a2.a0 0开口向下开口向下有最大值有最大值 x x0 0时，时，y y随随x x的增大而减小，的增大而减小，( (右降右降) ) x x0 0时，时，y y随随x x的增大而增大的增大而增大.(.(左升左升) )知识点知识点 2 2 求二次函数求二次函数y=axy=ax2 2的解析式的解析式【例例2 2】(2013(2013山西中考山西中考) )如图是我

9、省某地一座抛物线形拱桥如图是我省某地一座抛物线形拱桥, ,桥拱在竖直平面内桥拱在竖直平面内, ,与水平桥面相交于与水平桥面相交于A,BA,B两点两点, ,桥拱最高点桥拱最高点C C到到ABAB的距离为的距离为9m,AB=36m,D,E9m,AB=36m,D,E为桥拱底部的两点为桥拱底部的两点, ,且且DEAB,DEAB,点点E E到到直线直线ABAB的距离为的距离为7m,7m,则则DEDE的长为的长为m.m.【思路点拨思路点拨】以以C C为坐标原点为坐标原点, ,取向右、向上分别为取向右、向上分别为x x轴、轴、y y轴正轴正方向方向, ,建立坐标系建立坐标系. .设出函数解析式设出函数解析式

10、, ,把点把点B B坐标代入坐标代入, ,确定解析确定解析式式, ,令令y=-16,y=-16,求出对应求出对应x x值值, ,求出求出DEDE的长的长. .【自主解答自主解答】以顶点以顶点C C为坐标原点，建立如图所示的坐标系，为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设抛物线解析式为设抛物线解析式为y=axy=ax2 2，由题意得由题意得B(18B(18，-9)-9)，把，把B(18B(18，-9)-9)代入代入y=axy=ax2 2, ,得得a a18182 2=-9=-9，a=a=所以抛物线解析式为所以抛物线解析式为y=y=当当y=-9-7=-16y=-9-7=-16时，时，-16= x=-1

11、6= x=24,DE=48 m.24,DE=48 m.答案：答案：48481.3621x ,3621x36，【总结提升总结提升】解二次函数解二次函数y=axy=ax2 2的应用题的三步骤的应用题的三步骤题组一题组一: :二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图象与性质的图象与性质1.1.下列函数中下列函数中, ,当当x0 x0时时, ,函数值函数值y y随随x x的增大而增大的有的增大而增大的有( () )y=3x,y=3x,y=-x+3,y=-x+3,y=- ,y=- ,y=-xy=-x2 2. .A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个【解析解析】选选C.C.当当

12、x0 x0,.a=10,抛物线的对称轴是抛物线的对称轴是y y轴轴, ,与与y y轴交于点轴交于点(0,0),(0,0),与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2的开口大小一样的开口大小一样,选项选项B,CB,C正确正确,D,D选项错误选项错误. .3.3.如图如图, ,四个二次函数的图象中四个二次函数的图象中, ,分别对应的关系式是分别对应的关系式是: :y=axy=ax2 2; ;y=bxy=bx2 2; ;y=cxy=cx2 2; ;y=dxy=dx2 2, ,则则a,b,c,da,b,c,d的大小关系是的大小关系是( () )A.abcdA.abcdB.abdcB.abdcC.bacdC

13、.bacdD.badcD.badc【解析解析】选选A.A.由图象可知由图象可知a0,b0,c0,d0,b0,c0,db0,dcb0,dc0.4.(20134.(2013丽水中考丽水中考) )若二次函数若二次函数y=axy=ax2 2的图象经过点的图象经过点P(-2,4),P(-2,4),则该图象必经过点则该图象必经过点( () )A.(2,4)A.(2,4)B.(-2,-4)B.(-2,-4)C.(-4,2)C.(-4,2)D.(4,-2)D.(4,-2)【解析解析】选选A.A.二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图象的对称轴为直线的图象的对称轴为直线x=0,x=0,即图即图象上的点关于象

14、上的点关于y y轴对称轴对称, ,又点又点P(-2,4)P(-2,4)与点与点(2,4)(2,4)关于关于y y轴对称轴对称, ,所所以点以点(2,4)(2,4)必在函数图象上必在函数图象上. .5.5.已知点已知点(m,y(m,y1 1),(m+3,y),(m+3,y2 2) )都在抛物线都在抛物线y=xy=x2 2上上, ,且且m-3,m ”“”“ ”或或“= =”).).【解析解析】m-3,mm+30,m-3,mm+30,当当x0 x0时时,y,y随随x x的增大而减小的增大而减小, ,又又mm+30,ymm+3yy2 2. .答案答案: : 题组二题组二: :求二次函数求二次函数y=a

15、xy=ax2 2的解析式的解析式1.1.已知点已知点(a,8)(a,8)在二次函数在二次函数y=axy=ax2 2的图象上的图象上, ,则则a a的值是的值是( () )A.2 B.-2 C.A.2 B.-2 C.2 D.2 D.【解析解析】选选A.A.把点把点(a,8)(a,8)代入二次函数解析式得代入二次函数解析式得8=a8=a3 3, ,所以所以a=2.a=2.22.2.二次函数二次函数y=axy=ax2 2与与y=2xy=2x2 2的图象的图象, ,开口大小、形状都相同开口大小、形状都相同, ,开口开口方向相反方向相反, ,则则a=a=. .【解析解析】由题意得由题意得|a|=2,|a

16、|=2,因为二次函数因为二次函数y=axy=ax2 2的图象开口向下的图象开口向下, ,所以所以a=-2.a=-2.答案答案: :-2-23.3.汽车刹车距离汽车刹车距离s(m)s(m)与速度与速度v(km/h)v(km/h)之间的函数关系式是之间的函数关系式是s= vs= v2 2，在一辆车速为，在一辆车速为100 km/h100 km/h的汽车前方的汽车前方80 m80 m处发现停放处发现停放一辆故障车，此时刹车一辆故障车，此时刹车_有危险有危险( (选填选填“会会”或或“不会不会”).).【解析解析】把把v=100v=100代入函数关系式得代入函数关系式得s=100s=1008080，所

17、以此时刹车，所以此时刹车会有危险会有危险. .答案：答案：会会11004.4.如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O O，矩形，矩形ABCDABCD的顶的顶点点A A，D D在抛物线上，且在抛物线上，且ADAD平行于平行于x x轴，交轴，交y y轴于点轴于点F F，ABAB的中点的中点E E在在x x轴上，轴上，B B点的坐标为点的坐标为(2(2，1)1)，点，点P(aP(a，b)b)在抛物线上运在抛物线上运动动( (点点P P异于点异于点O)O)(1)(1)求此抛物线的解析式求此抛物线的解析式. .(2)(2)过点过点P P作作CBCB所在直线的垂线，所在

18、直线的垂线，垂足为点垂足为点R R，求证：，求证：PFPFPR.PR.【解析解析】(1)(1)由题意可得由题意可得: :点点A A的坐标为的坐标为(2,-1),(2,-1),抛物线的顶点为坐标原点抛物线的顶点为坐标原点O,O,可设抛物线的解析式为可设抛物线的解析式为:y=ax:y=ax2 2, ,将点将点A(2,-1)A(2,-1)代入可得代入可得:4a=-1,:4a=-1,解得解得a=- ,a=- ,抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=- xy=- x2 2. .1414(2)(2)如图如图, ,过点过点P P作作PGyPGy轴轴, ,垂足为垂足为G.G.连结连结PF.PF.由题意可知由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1),:F(0,-1),G(0,b),R(a,1),GF=|b-(-1)|=|b+1|,PG=|a|,PR=1-b,GF=|b-(-1)|=|b+1|,PG=|a|,PR=1-b,点点P(aP(a，b)b)为抛物线为抛物线y=- xy=- x2 2上的动点，上的动点，b=b= a a2 2，变形得：，变形得：a a2 2= =4b4b，在在RtRtPGFPGF中，由勾股定理可得：中，由勾股定理可得：PFPFPR.PR.1414