第三章 非平稳时间序列建模

1、 20152015年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经济学奖 n瑞典当地时间12号下午1点（北京时间晚上7点），瑞典皇家科学院秘书长约兰-汉森宣布，2015年的诺贝尔经济学奖授予美国普林斯顿大学的安格斯-迪顿。n瑞典皇家科学院决定将经济学奖授予安格斯迪顿，以表彰他在消费、贫穷和福利方面的研究。n安格斯迪顿教授来自苏格兰，但许多年来他都在美国新泽西州的普林斯顿大学工作。20152015年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经济学奖 n获奖理由是：n1.他所设计的一套需求系统n2. 消费与收入之间的关系(包括宏观和微观数据的采集)n3. 针对发展中国家的生活标准和贫困水平的研究。20152015年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经

2、济学奖 安格斯迪顿 (Angus Deaton)普林斯顿大学教授、微观经济家 n颁奖词：n要设计促进福利和减少贫困的经济政策，我们必须先了解个人的消费选择。n比其他任何人，安格斯迪顿加强了这种认识。n通过连接详细的个人选择并将选择结果聚合，他的研究已经帮助改变了微观经济学，宏观经济学，发展经济学的领域。20152015年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经济学奖 安格斯迪顿 (Angus Deaton)普林斯顿大学教授、微观经济家 n迪顿的研究横跨了消费的许多不同领域，主要解答了消费者如何对不同物品分配开支、社会收入及其留存比例，以及如何最好地衡量和分析福利与贫困等问题。20152015年诺贝尔经济学奖年

3、诺贝尔经济学奖 n学习经历学习经历n安格斯-迪顿，1945年10月19日出生在苏格兰爱丁堡。 n曾就读于爱丁堡Fettes学院，是爱丁堡Fettes学院的基金会学者，并在剑桥大学获得他的学士、硕士和博士学位。20152015年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经济学奖 n学术生涯学术生涯n安格斯-迪顿毕业后留在剑桥大学工作，任应用经济学系教授、理查德斯通爵士和特里巴克菲茨威廉学院的研究员和研究主任。 n目前，他是普林斯顿大学德怀特D艾森豪威尔国际事务教授，伍德罗威尔森学院与经济系经济学与国际事务教授。n他还曾在布里斯托尔大学任教。20152015年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经济学奖 n主要主要经历经历n200

4、5-2006，世界银行研究审核委员会主席。n2006年10月，国际货币经济组织华盛顿访问学者。n2007年，全美经济学会主席。 n2009年12月，哈佛大学经济系顾问团主席。20152015年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经济学奖 n迪顿迪顿的主要著作的主要著作n经济学与消费者行为n了解消费n家庭调查分析：发展政策的微观经济方法n伟大的印度贫困辩论等20152015年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经济学奖 n安格斯迪顿主要研究领域在微观经济学方面。从他的主要著作中我们可以看出，这些年安格斯迪顿教授只研究了一件事：消费。n在斯德哥尔摩的发布会上，诺贝尔奖评委会主席托雷埃林森这样陈述安格斯-迪顿的成就：科学界常常

5、需要直面这样的问题：没有细节的信息，我们能够理解较大规模的现象吗？n在经济学领域，我们曾经希望这个答案是肯定的，但是今天，因为有安格斯迪顿教授和他的团队，我们不仅能够了解到这种方法有多么局限，而且还得到了更为细致的数据和技巧，能使我们做得更好。20152015年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经济学奖 n今年的诺贝尔经济学奖授予了微观经济学，并且锁定的具体领域为“消费、贫困和福利”。n中国现代国际关系研究院世界经济研究所所长陈凤英认为这是很接地气的一次颁奖，他说：“金融危机以后我们知道就是全球贫困化，实际上尤其发达国家的贫困化是明显加剧。比方说在美国，社会两极分化，贫困的人口越来越多，中产阶级趋于贫困化

6、，我认为这可能是一个背景。”20152015年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经济学奖 n陈凤英认为，安格斯-迪顿的研究具体解决了三个问题：n第一是消费与政策之间的关系。他明确讲到了政策的微妙变化，可能会影响到消费的选择。比方他说到消费税。n第二是收入与消费的关系，以前往往从宏观的总体收入研究，但他是个体的收入。n第三是福利与贫困的关系，他选择了45万户美国的家庭进行了研究，也就是它更接地气、更具体化。20152015年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经济学奖 n最近几年诺贝尔经济学奖获奖多数是宏观和理论研究。比如2014年，法国经济学家让梯若尔，他研究的领域是“市场力量与调控”。2013年，美国经济学家尤金法马

7、等三人通过研究“资产价格的实证分析”获奖。2012年，美国经济学家阿尔文罗思等人获奖，主要是表彰他们在“稳定匹配理论和市场设计实践”上所作的贡献。n今年，诺贝尔奖抛弃了艰深的理论，选择的是通过实证方法实证方法研究消费的经济学家。n这也许是在提醒人们，在目前全球市场振兴乏力的状态下，经济学的研究更应该贴近普通人的生活。20152015年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经济学奖 n一个平稳的时间序列可以用过去时点上的信息来建一个平稳的时间序列可以用过去时点上的信息来建立模型，拟合过去，预测未来。立模型，拟合过去，预测未来。n因为平稳序列的数字特征，如均值、方差和协方差因为平稳序列的数字特征，如均值、方差和协

8、方差等都是不随时间而变化的。时间序列在各时点上的等都是不随时间而变化的。时间序列在各时点上的随机性服从固定的概率分布。随机性服从固定的概率分布。nAR(p)、MA(q) 和和ARMA(p,q) 三个模型只适用于刻画三个模型只适用于刻画平稳序列的自相关性。平稳序列的自相关性。第三章第三章 非平稳时间序列模型非平稳时间序列模型 n对非平稳时间序列而言，序列的某些数字特征随着对非平稳时间序列而言，序列的某些数字特征随着时间变化而变化。时间变化而变化。n非平稳时间序列在各个时间点上的随机规律是不同非平稳时间序列在各个时间点上的随机规律是不同的，因此难以通过序列过去的信息去掌握序列整体的，因此难以通过序

9、列过去的信息去掌握序列整体上的随机性。上的随机性。n实践中遇到的经济和金融数据大多是非平稳的时间实践中遇到的经济和金融数据大多是非平稳的时间序列。序列。第三章第三章 非平稳时间序列模型非平稳时间序列模型n伪回归问题伪回归问题n传统的经济计量模型是根据传统的经济计量模型是根据某种经济理论某种经济理论和和某些假某些假设条件设条件建立回归模型，描述各个经济变量之间相互建立回归模型，描述各个经济变量之间相互依存、互为因果的关系。依存、互为因果的关系。n其前提条件是数据平稳，否则会产生伪回归现象。其前提条件是数据平稳，否则会产生伪回归现象。n伪回归现象由伪回归现象由Granger和和Newlod于于19

10、74年发现。年发现。 第三章第三章 非平稳时间序列模型非平稳时间序列模型3.1. 3.1. 伪回归伪回归 n伪回归现象伪回归现象n假设假设Y 与与X 不相关。不相关。n建立二元线性回归模型并对系数B进行检验：n Yt=BXt+ut n零假设H0：B=0n如果拒绝零假设，那么从统计角度就不能拒绝Y与X之间存在线性关系。n此时，尽管统计量是显著的，但是此时，尽管统计量是显著的，但是Y与与X之间实际上并不存之间实际上并不存在线性关系，这种现象称为在线性关系，这种现象称为伪回归伪回归。3.1.3.1.伪回归伪回归n研究发现，如果时间序列是非平稳的，就会出现伪研究发现，如果时间序列是非平稳的，就会出现伪

11、回归。回归。n因为非平稳时间序列具有趋势性，因为非平稳时间序列具有趋势性，回归模型错误地回归模型错误地把非平稳时间序列趋势作为它们之间相关的证据。把非平稳时间序列趋势作为它们之间相关的证据。 3.1.3.1.伪回归伪回归n伪回归也可能有很好的拟合优度和显著性水平伪回归也可能有很好的拟合优度和显著性水平，当，当DW的检验值比较小，就应该怀疑是伪回归。的检验值比较小，就应该怀疑是伪回归。n伪回归模型的残差序列是非平稳的，说明此回归关伪回归模型的残差序列是非平稳的，说明此回归关系不能真实反映解释变量和被解释变量之间存在的系不能真实反映解释变量和被解释变量之间存在的均衡关系，而仅是一种数字上巧合而已。

12、均衡关系，而仅是一种数字上巧合而已。 3.1.3.1.伪回归伪回归 n伪回归的危害是得不到正确的经济关系。伪回归的危害是得不到正确的经济关系。n伪回归的出现说明模型的设定出现问题，有可能需伪回归的出现说明模型的设定出现问题，有可能需要增加解释变量或减少解释变量，或是把原方程进要增加解释变量或减少解释变量，或是把原方程进行差分，以使残差序列达到平稳。行差分，以使残差序列达到平稳。3.1.3.1.伪回归伪回归 n研究非平稳序列的一个简单可行的方法：研究非平稳序列的一个简单可行的方法：n先把非平稳时间序列通过某种变换化成一个平稳序先把非平稳时间序列通过某种变换化成一个平稳序列，然后再建立列，然后再建

13、立ARMA模模型。型。3.2.3.2.平稳性的单位根检验平稳性的单位根检验n平稳性检验是非平稳序列建模的前提。平稳性检验是非平稳序列建模的前提。n随着计量经济学的发展随着计量经济学的发展, 单位根检验理论不断得到完善和拓展单位根检验理论不断得到完善和拓展, 近近30 年来出现了多种检验单位根的方法年来出现了多种检验单位根的方法, 如如DF 和和ADF 检验法、检验法、PP 检验法、检验法、KPSS 检验法、检验法、DF OGLS 检验法、检验法、ERS 检验法、检验法、NP 检验法以及霍尔工具变量法等。检验法以及霍尔工具变量法等。 3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法n

14、单位根检验方法单位根检验方法nDF检验检验nADF检验检验nPP检验检验nKPSS检验检验nERS检验检验nNP检验检验3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法), 0(i.i.d.0y2t01，ttatyynDF检验：检验：nDF检验时检验时Dickey和和Fuller (1976) 提出的单位根检验提出的单位根检验方法方法n数据生成过程数据生成过程n原假设：序列服从一个随机游走或有一个单位根原假设：序列服从一个随机游走或有一个单位根1:1,:1000aaHH3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法ttatyy1ttbbtyy1ttccctytry1n

15、DFDF检验考察以下三种情况检验考察以下三种情况: :n简单随机游走简单随机游走n带漂移项的随机游走带漂移项的随机游走n带漂移项和确定性趋势的随机游走带漂移项和确定性趋势的随机游走n分别以分别以 为零假设为零假设0,0,0cba3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法TttTtttyTyTT12121110) 1(nDFDF检验的检验的T T统计量：统计量：n当当T统计量值大于统计量值大于3个临界值时，接受原假设，即序个临界值时，接受原假设，即序列有单位根。列有单位根。n见见Eviews操作操作 3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法nADF检验：检验

16、：nADF检验是检验是Dickey和和Fuller提出的改进提出的改进DF检验方法检验方法,又称为又称为增广增广DF检验检验n将序列将序列 yt 看成看成AR(p)的形式的形式(DF检验是检验是AR(1)形式形式)，并令残差序列并令残差序列 ut 服从平稳分布，通过对数据差分去服从平稳分布，通过对数据差分去除存在的自相关性保证除存在的自相关性保证 ut 是白噪声。是白噪声。3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法nADF检验的模型：检验的模型：),0(i.i.d.，0y，),0(i.i.d.，0y，),0(i.i.d.，0y，2t01112t01112t0111titpii

17、tbccttitpiitbbttitpiitatyytryyyyyyy3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法）（1, 11:0cbaHnADF检验的原假设：序列存在一个单位根检验的原假设：序列存在一个单位根n备选假设：序列不存在单位根，且可能包含常数项备选假设：序列不存在单位根，且可能包含常数项和时间趋势项和时间趋势项3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法nADF检验的检验的T统计量：统计量：n当统计量当统计量TADF值大于值大于3个临界值时，接受原假设，个临界值时，接受原假设，即序列有单位根即序列有单位根n见见Eviews操作操作1101) 1(p

18、ADFTT3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法), 0(i.i.d.0y2t01，tttyynPP检验：检验：nPhillips和和Perron(1988) 提出一种非参数检验方法提出一种非参数检验方法n检验一阶回归方程检验一阶回归方程AR(1)的平稳性的平稳性n接受原假设意味着有单位根，反之不存在单位根接受原假设意味着有单位根，反之不存在单位根1:0:10HH3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法nPP统计量：统计量：n当当PP统计量值大于统计量值大于3个临界值时，接受原假设，即个临界值时，接受原假设，即序列有单位根。序列有单位根。n见见Evie

19、ws操作操作2)(025 . 00sTttpp3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法), 0(i.i.d.0y2t0，tttxynKPSS检验：检验：nKwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin(1992) nKPSS检验是从待检序列中剔除截距项和趋势项的序检验是从待检序列中剔除截距项和趋势项的序列列 ut 构造统计量构造统计量LM。n令令n其中其中 xt 是外生变量向量序列，包含被检验序列是外生变量向量序列，包含被检验序列 yt 的的截距项，或截距项和趋势项截距项，或截距项和趋势项3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法ttt

20、xynKPSS检验检验n利用最小二乘法回归得残差序列估计利用最小二乘法回归得残差序列估计n通过检验该残差是否存在单位根来判断原序列是否通过检验该残差是否存在单位根来判断原序列是否有单位根有单位根nLM统计量为统计量为tiitutSfTtSLM1022)()/()(，零频率条件下的残差谱3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法nKPSS检验检验n原假设：序列是（趋势）平稳的原假设：序列是（趋势）平稳的n备择假设：序列是非平稳的备择假设：序列是非平稳的n当当LM统计量值大于临界值时，拒绝原假设，即序统计量值大于临界值时，拒绝原假设，即序列有单位根列有单位根n见见Eviews操作

21、操作3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法11)|(1tayytyaydttttnERS检验：检验：nElliot-Rothenberg-Stock (1996)nERS检验是在被检验序列的拟差分序列回归基础上检验是在被检验序列的拟差分序列回归基础上构造统计量来进行检验的。构造统计量来进行检验的。n拟差分拟差分n回归方程回归方程tttaaxdayd)()|()|(3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法0/ ) 1 ()(faSSRaSSRPTnERS检验统计量：检验统计量：n原假设：序列有一个单位根原假设：序列有一个单位根n当统计量当统计量 PT 值

22、大于值大于3个临界值时，接受原假设，即个临界值时，接受原假设，即序列有单位根。序列有单位根。n见见Eviews操作操作) 1 () 1 ()()(22ttSSRaaSSR，3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法dTddtdMPMSBMZMZ， adtynNP检验：检验：nNg和和Perron (2001)检验检验nNP检验是基于被检验序列检验是基于被检验序列yt 的广义最小二乘退势序的广义最小二乘退势序列列 构造统计量检验序列的平稳性。构造统计量检验序列的平稳性。n四个统计量四个统计量:n见见Eviews操作操作)(axyyttdt3.2.3.2.平稳性的单位根检验平稳性

23、的单位根检验n注意：注意：n最常用的单位根检验方法最常用的单位根检验方法ADF 检验及检验及PP 检验。检验。n在现实经济环境下在现实经济环境下, 由于受有限样本的影响由于受有限样本的影响, 不同的不同的检验方法存在着不同程度的检验水平畸变和检验功检验方法存在着不同程度的检验水平畸变和检验功效损失。效损失。n在大样本下在大样本下, ADF、PP 检验借助极限分布具有较好的检验借助极限分布具有较好的功效功效, 但是在小样本中但是在小样本中, 检验的功效明显下降。检验的功效明显下降。3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法n注意注意:nThe ADF (Dickey and F

24、uller, 1979) and PP (Phillips and Perron, 1988) tests are the most commonly used methods to test for unit roots.n However, it has been reported that both of these methods have weaknesses, the DF-GLS (DickeyFuller GLS), KPSS (Kwiatkowski et al., 1992) and Ng and NPZa (Ng and Perron, 2001) unit root t

25、ests are better. 3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法nADF检验应注意的几个问题检验应注意的几个问题:n应为回归确定合理的滞后阶数，通常用应为回归确定合理的滞后阶数，通常用AIC准则准则;n可选择常数和线性时间趋势可选择常数和线性时间趋势, 选择方法选择方法:n若数据图在一个偏离若数据图在一个偏离0的位置随机变动，则意味着被检验序的位置随机变动，则意味着被检验序列均值非零，应添加截距项列均值非零，应添加截距项;n若数据图波动趋势随时间变化若数据图波动趋势随时间变化, 意味着被检验序列具有时间意味着被检验序列具有时间趋势，应添加时间趋势项。趋势，应添加时

26、间趋势项。3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法n使用数据图来直观判断在使用数据图来直观判断在ADF检验是否包含常数项检验是否包含常数项和时间趋势项是常用、有效和易行的方法。和时间趋势项是常用、有效和易行的方法。n对某些生成过程较为复杂的时间序列，需要对常数对某些生成过程较为复杂的时间序列，需要对常数项、时间趋势项及单位根项前面的系数进行反复的项、时间趋势项及单位根项前面的系数进行反复的检验，以确定被检验时间序列的具体的数据生成过检验，以确定被检验时间序列的具体的数据生成过程。程。3.2.3.2.平稳性检验的单位根方法平稳性检验的单位根方法n研究题研究题n六种单位根检验方

27、法的比较、各自的优缺点，遇到六种单位根检验方法的比较、各自的优缺点，遇到不同检验结果时，如何抉择。不同检验结果时，如何抉择。n两组数据两组数据-CH3-利率利率3.2.3.2.单位根检验单位根检验n单位根检验的进一步讨论单位根检验的进一步讨论n相关材料相关材料-时间序列时间序列- -高阶高阶-普通单根检验比较普通单根检验比较n房 林，邹卫星，多种单位根检验法的比较研究，数量经济技术经济研究，2007 年第1 期3.3.3.3.单整单整n非平稳序列的差分平稳化非平稳序列的差分平稳化n非平稳序列非平稳序列可可通过差分运算将其平稳化通过差分运算将其平稳化n考虑随机游走考虑随机游走 ，n则其差分序列则

28、其差分序列 是平稳序列。是平稳序列。 tttuyy1 ttttuyyy146例例 某地温度序列是非平稳的某地温度序列是非平稳的-15-10-5051015255075100125150175200Y3.3.3.3.单整单整47一阶差分后便是平稳序列一阶差分后便是平稳序列-8-4048255075100125150175200D(Y)3.3.3.3.单整单整3.3.3.3.单整单整n差分平稳化差分平稳化-单整单整n如果序列如果序列 yt 通过通过 d 次差分成为一个平稳序列，而其次差分成为一个平稳序列，而其 d1 次差分不是平稳的，那么称序列次差分不是平稳的，那么称序列 yt 为为 d 阶单整阶

29、单整(integration)序列，记为序列，记为 yt I(d)。n单整阶数单整阶数是使序列平稳而进行差分的最小次数。是使序列平稳而进行差分的最小次数。n特别地，如果序列特别地，如果序列 yt 本身是平稳的，则称其为零阶本身是平稳的，则称其为零阶单整序列，记为单整序列，记为 yt I(0)。 3.3.3.3.单整单整n随机游走过程有一个单位根，所以是随机游走过程有一个单位根，所以是I(1)。n表示存量的数据，如以不变价格资产总值、储蓄余表示存量的数据，如以不变价格资产总值、储蓄余额等存量数据常表现为额等存量数据常表现为2阶单整阶单整I(2)；n以不变价格表示的消费额、收入等流量数据常表现以不

30、变价格表示的消费额、收入等流量数据常表现为为1阶单整阶单整I(1)；n利率收益率等变化率数据则常表现为利率收益率等变化率数据则常表现为0阶单整阶单整I(0)。 3.3.3.3.单整单整n练习：练习：检验我国检验我国1978-2010年年GDP数据的单整阶数数据的单整阶数 3.4.ARIMA模型模型nARIMA模型模型-ARMA模型的推广模型的推广n自回归求和滑动平均模型的英文为：自回归求和滑动平均模型的英文为：nAutoregressive Intergrated Moving Average Modeln简记为简记为“ARIMA模型模型” 3.4. ARIMA模型模型nARMA(p,q)模型

31、的算子表示模型的算子表示qtqttptpttaaaxxx1111qtqttptpttaaaxxx1111ppBBBB2211)(qqBBBB2211)(ttaBxB)()(3.4.ARIMA模型模型nARIMA模型定义：模型定义：n设yt 是d 阶单整序列，即 yt I(d)，则n为平稳序列，假定其适合的ARMA(p,q) 模型为 n n称该模型为 ARIMA(p,d,q)模型n其中 tdtdyBy)1 ( ttdaByB)()(ppBBBB2211)(qqBBBB2211)(543.4.ARIMA模型模型n“自回归求和滑动平均模型自回归求和滑动平均模型”的解释的解释551, 0, 00, 0

32、, 00, 0, 0)(0, 0, 0)(0, 0, 0),(),(dqpdqpdqpqMAdqppARdqpqdpARMAqdpARIMA随机游走白噪声3.4.ARIMA模型模型nARIMAARIMA模型与模型与ARMAARMA模型的关系：模型的关系：3.4.ARIMA模型模型 nARIMA(p,d,q)模型的建模：模型的建模：n估计估计ARIMA(p,d,q)模型与估计模型与估计ARMA(p,q)的具体步的具体步骤相同，只是估计之前要先确定原序列的差分阶数骤相同，只是估计之前要先确定原序列的差分阶数d，对对xt 进行进行d 阶差分。阶差分。nARIMA(p,d,q) 模型区别于模型区别于A

33、RMA(p,q)之处就在于前之处就在于前者的自回归部分的特征多项式含有者的自回归部分的特征多项式含有d 个单位根。个单位根。n因此，建模之前应先对序列的平稳性进行检验，特因此，建模之前应先对序列的平稳性进行检验，特别是要检验其所含有的单位根的个数，即单整阶数。别是要检验其所含有的单位根的个数，即单整阶数。 3.4.ARIMA模型模型 nARIMA(p,d,q)模型建模的模型建模的 Eviews操作操作n对差分平稳化后的序列输入对差分平稳化后的序列输入ARMA模型参数模型参数n直接输入直接输入ARMA模型参数模型参数n如如GDPnd(gdp,2) ar(1) ar(2) ma(1)-容易推广容易

34、推广3.4ARIMA模型模型 n本次练习：本次练习：n选取我国选取我国直到直到2014的的GDP数据，检验其单整阶数并数据，检验其单整阶数并对建立对建立ARIMA模型。模型。3.4.ARIMA模型模型n进一步研究进一步研究- nARFIMA模型：模型：设 yt 是d 阶单整序列，即 yt I(d)，这里-0.5 d 0.5，则称模型n n为分数分数差分自回归模型差分自回归模型，即 ARFIMA(p,d,q)模型，。 ttdaLyL)()(3.4.ARIMA模型模型nARFIMA模型是由Granger和Joyeux在1980年提出的nGranger CWJ, Joyeux R. An intro

35、duction to long memory time series models and fractional differencing. Journal of Time Series Analysis, 1980,1(6):15-39. 3.4.ARIMA模型模型nARFIMA(p,d,q)模型中的d是-0.5到0.5之间的实数，nd 用来衡量时间序列的长记忆性，p和q是用来衡量序列的短记忆性。 32)2)(1(!31)1(!211)1(）1（BddBddbBkdBkkdd)1()1()1()!(!kdkdkdkdkd3.4.ARIMA模型模型nARFIMA(p,d,q)模型中的d是可以通

36、过Hurst指数求得， d = H-0.5nH是Hurst指数，可以用R/S分析方法来估计n-见第七章介绍 3.4.ARIMA模型模型nARFIMA模型的相关研究论文模型的相关研究论文n应用ARFIMA模型对金融时间序列长期记忆性的研究n石油价格的ARFIMA模型预测研究n基于分数阶差分的ARFIMA模型及预测效果研究n基于ARFIMA模型的黄金价格预测 643.3. .季节模型季节模型n季节性时间序列季节性时间序列n公司股票的每股每季的赢利公司股票的每股每季的赢利n电风扇的销售量电风扇的销售量n小麦的价格小麦的价格n医院住院患者的人数（周一高峰，周末低峰）医院住院患者的人数（周一高峰，周末低

37、峰）n车站的旅客流量车站的旅客流量n这样的时间序列都呈现出一定的循环或周期性。这样的时间序列都呈现出一定的循环或周期性。称为称为季节性时间序列季节性时间序列。6520030040050060070080087888990919293949596Y甲地某商品约销售量序列3.5.3.5.季节模型季节模型n季节时间序列季节时间序列3.5.3.5.季节模型季节模型 n季节时间序列季节时间序列2600027000280002900030000310003200033000340007374757677787980818283Y加拿大月人口出生数据加拿大月人口出生数据3.5.3.5.季节模型季节模型 n季

38、节时间序列季节时间序列n如果一个时间序列经过如果一个时间序列经过s 时间间隔后呈现出相似性，时间间隔后呈现出相似性，那么称该序列那么称该序列具有以具有以s为周期的周期性为周期的周期性。n具有周期性的序列称为具有周期性的序列称为季节时间序列季节时间序列。其中。其中s为为周期周期长度长度，一个周期内所包含的时间点称为，一个周期内所包含的时间点称为周期点周期点。3.5.3.5.季节模型季节模型 n例如：例如：n对于月份资料，基本时间间隔为对于月份资料，基本时间间隔为1个月，周期个月，周期 S 为为12，同一个周期内有，同一个周期内有12个周期点；个周期点；n对于季度资料，基本时间间隔为对于季度资料，

39、基本时间间隔为3个月，周期个月，周期 S 为为4，同一个周期内有同一个周期内有4个周期点；个周期点；n对于周资料，基本时间间隔为对于周资料，基本时间间隔为7天，周期天，周期 S 为为52，同一个周期内有同一个周期内有52个周期点。个周期点。 69周起点周起点123 S周周期期1x1X2x3xs2xs+1xs+2xs+3x2s3x2s+1x2s+2x2s+3x3s3.5.3.5.季节模型季节模型n假定假定xt 是一个周期为是一个周期为s的季节时间序列，可以将其按的季节时间序列，可以将其按照下列方式排成一个照下列方式排成一个2维表格：维表格：3.5.3.5.季节模型季节模型n随机季节模型是对季节时

40、间序列的季节分量拟合模随机季节模型是对季节时间序列的季节分量拟合模型，即对季节性随机序列中不同周期的同一周期点型，即对季节性随机序列中不同周期的同一周期点的数值的数值 之间的相关关系进行拟合。之间的相关关系进行拟合。n如周期为如周期为12个月的月份资料，就是研究不同年度的个月的月份资料，就是研究不同年度的同一个月份的观察值之间的记忆性。同一个月份的观察值之间的记忆性。 ,2ststtxxx71,2ststtxxxn由表看出，对以由表看出，对以 s 周期为的季节时间序列，各相应周期周期为的季节时间序列，各相应周期点的数值点的数值 应当表现出非常相近或呈现出某一趋势的特征，进行所谓应当表现出非常相

41、近或呈现出某一趋势的特征，进行所谓的的“季节差分季节差分”就可以就可以消除周期性的影响消除周期性的影响。周起点周起点123 S周周期期1x1X2x3xs2xs+1xs+2xs+3x2s3x2s+1x2s+2x2s+3x3s3.5.3.5.季节模型季节模型 n季节差分季节差分n设设xt 为一个周期为为一个周期为s的季节时间序列，记的季节时间序列，记n称为称为xt 的的季节差分季节差分。 称为称为季节差分算子季节差分算子。n类似高阶差分，可定义高阶季节差分：类似高阶差分，可定义高阶季节差分：stttsxxx)1 (ssB)(1tDsstDsxx3.5.3.5.季节模型季节模型 n季节模型：季节模型

42、：n设设xt为一个周期为为一个周期为s 的季节时间序列，若其的季节时间序列，若其D 阶季节阶季节差分序列是平稳序列，假定其适合的差分序列是平稳序列，假定其适合的 ARMA(p,q) 模模型为型为n称为称为季节性季节性ARMA模型模型。n其中其中n tstDsseBVxBU)()(qsqsssBvBvBvBV2211)(pspsssBuBuBuBU2211)(3.5.3.5.季节模型季节模型 n注意：注意：n在季节模型的在季节模型的ARMAARMA形式中，形式中，et 是原序列消除了周期是原序列消除了周期点之间相关部分（即季节分量）之后的剩余序列，点之间相关部分（即季节分量）之后的剩余序列， 不

43、一定是独立的。不一定是独立的。n因为仅消除不同周期的同一周期点上的相关部分，因为仅消除不同周期的同一周期点上的相关部分，作为系统响应，除不同周期的同一周期点之间具有作为系统响应，除不同周期的同一周期点之间具有一定相关关系外，同一周期的不同周期点之间也可一定相关关系外，同一周期的不同周期点之间也可能具有一定的相关关系。能具有一定的相关关系。3.5.3.5.季节模型季节模型 n例如，对于客运资料来说，既含有例如，对于客运资料来说，既含有S=12S=12的周期（月的周期（月度数据），在月度内又含有度数据），在月度内又含有S=4S=4的周期（周数据），的周期（周数据），还含有还含有S=7S=7的周期（

44、日数据）。的周期（日数据）。n不同年份的同月资料可能存在一定的依存关系，同不同年份的同月资料可能存在一定的依存关系，同年各月的资料也可能有一定的相关关系。年各月的资料也可能有一定的相关关系。3.5.3.5.季节模型季节模型 注意：注意：n在在季节模型仅仅描述了不同周期的同一周期点上的季节模型仅仅描述了不同周期的同一周期点上的相关关系，因此，随机季节模型是一个不完备的模相关关系，因此，随机季节模型是一个不完备的模型。型。n为了改进随机模型的缺陷，我们引进为了改进随机模型的缺陷，我们引进“乘积季节模乘积季节模型型”。3.5.3.5.季节模型季节模型n乘积季节模型乘积季节模型n假定假定et 适合适合

45、ARIMA(n,d,m)模型模型n利用随机季节模型利用随机季节模型 n称为称为乘积季节模型乘积季节模型 。 tstDsdsaBBVxBUB)()()()(ttdaBeB)()(tstDsseBVxBU)()(3.5.3.5.季节模型季节模型 n注意：注意：n之所以称为之所以称为乘积季节模型乘积季节模型，是因为从模型的结构形，是因为从模型的结构形式上看，它是随机季节模型与式上看，它是随机季节模型与ARIMAARIMA模型的结合式。模型的结合式。 n 表示同一周期内不同周期点的相关关系；表示同一周期内不同周期点的相关关系；n 描述不同周期的同一周期点上的相关关系，描述不同周期的同一周期点上的相关关

46、系，n二者结合起来便同时刻画了两个因素的作用。二者结合起来便同时刻画了两个因素的作用。n乘积季节模型的阶数表示为：乘积季节模型的阶数表示为：tDssxBU)(tdxB )(tstDsdsaBBVxBUB)()()()(sqDpmdn),() ,(3.5.3.5.季节模型季节模型 n乘积季节模型与乘积季节模型与ARIMA模型的关系模型的关系n乘积季节模型实质上就是乘积季节模型实质上就是ARIMA模型模型3.5.3.5.季节模型季节模型 n季节时序模型的建模季节时序模型的建模n估计季节时序模型与估计估计季节时序模型与估计ARMA(p,q)的步骤类似，的步骤类似，关键是如下两点：关键是如下两点：n检

47、验序列的周期性以及周期长度检验序列的周期性以及周期长度sn最简单方法是根据数据图来判定，也可根据相关函最简单方法是根据数据图来判定，也可根据相关函数图来确定。数图来确定。n拟合适当的季节模型拟合适当的季节模型n主要利用相关函数提供的信息来选择暂定模型，再主要利用相关函数提供的信息来选择暂定模型，再进行适应性检验，即拟合模型的剩余序列是一个白进行适应性检验，即拟合模型的剩余序列是一个白噪声序列。噪声序列。3.5.3.5.季节模型季节模型 n季节序列的因素：季节序列的因素：nTrend=长期趋势要素长期趋势要素: 代表序列长期的趋势特性。代表序列长期的趋势特性。 nCycle=循环要素循环要素:

48、是以数年为周期的一种周期性。是以数年为周期的一种周期性。 nSF=季节要素季节要素: 是每年重复出现的循环变动，以是每年重复出现的循环变动，以12个月度或个月度或4个个季度为周期的周期性影响，由温度、降雨、每年中的假期和季度为周期的周期性影响，由温度、降雨、每年中的假期和政策等因素引起。政策等因素引起。 nIR=不规则要素不规则要素: 又称又称随机因子随机因子、残余变动残余变动或或噪声噪声，其变动无，其变动无规则可循，这类因素是由偶然发生的事件引起的，如罢工、规则可循，这类因素是由偶然发生的事件引起的，如罢工、意外事故、地震、水灾、恶劣气候、战争、法令更改和预测意外事故、地震、水灾、恶劣气候、

49、战争、法令更改和预测误差等。误差等。3.5.3.5.季节模型季节模型 n问题：如何识别季节数据中的四个要素？问题：如何识别季节数据中的四个要素？n-季节调整季节调整833.5.3.5.季节模型季节模型n季节调整季节调整n有些应用中，季节性是次要的，可以把它从数据中有些应用中，季节性是次要的，可以把它从数据中消除，得到经季节性调整的时间序列，然后再来做消除，得到经季节性调整的时间序列，然后再来做推断。推断。n美国政府公布的多数经济数据是经季节调整，如国美国政府公布的多数经济数据是经季节调整，如国民总产值的增值率、失业率等。民总产值的增值率、失业率等。843.5.3.5.季节模型季节模型n季节调整

50、概念季节调整概念n经济统计中的月度和季度数据或大或小都含有季节经济统计中的月度和季度数据或大或小都含有季节变动因素，以月份或季度作为时间观测单位的经济变动因素，以月份或季度作为时间观测单位的经济时间序列通常具有一年一度的周期性变化。时间序列通常具有一年一度的周期性变化。n这种周期变化是由于季节因素的影响造成的，在经这种周期变化是由于季节因素的影响造成的，在经济分析中称为济分析中称为季节性波动季节性波动。853.5.3.5.季节模型季节模型n经济时间序列的季节性波动是非常显著的，它往往经济时间序列的季节性波动是非常显著的，它往往遮盖或混淆经济发展中其他客观变化规律，以致给遮盖或混淆经济发展中其他

51、客观变化规律，以致给经济增长速度和宏观经济形势的分析造成困难和麻经济增长速度和宏观经济形势的分析造成困难和麻烦。烦。n在进行经济增长分析时，必须去掉季节波动的影响，在进行经济增长分析时，必须去掉季节波动的影响，将季节要素从原序列中剔除，这就是所谓的将季节要素从原序列中剔除，这就是所谓的“季节季节调整调整” (Seasonal Adjustment)863.5.3.5.季节模型季节模型n季节调整的原理季节调整的原理n方法方法-移动算术平均移动算术平均n效果效果-周期（及其整数倍）与移动平均项数相等周期（及其整数倍）与移动平均项数相等的周期性变动基本得到消除；的周期性变动基本得到消除；n互相独立的

52、不规则变动得到平滑。互相独立的不规则变动得到平滑。873.5.3.5.季节模型季节模型n时间序列数据时间序列数据 y = y1, y2, , yT ，T 为样本长度，为样本长度，在时点在时点 t 上的上的2k+1项移动平均值项移动平均值 MAt 的一般表示为的一般表示为nk为正整数。为正整数。n注意：注意：移动平均后的序列移动平均后的序列 MAtMAt 的始端和末端各欠的始端和末端各欠缺缺k k 项值，需要用插值或其它方法补齐。项值，需要用插值或其它方法补齐。 kTkktykMAkkiitt,.,2, 1,121883.5.3.5.季节模型季节模型n例如，常用的三项移动平均例如，常用的三项移动

53、平均 n两端补欠项：两端补欠项：1131iittyMA211231yyMA1231TTTyyMA1, 2Tt3.5.3.5.季节模型季节模型n对月度数据，最简单的方法是对月度数据进行对月度数据，最简单的方法是对月度数据进行1212个个月移动平均。月移动平均。3.5.3.5.季节模型季节模型n移动平均的中心化移动平均的中心化（12X2 12X2 移动平均）移动平均）-取连续取连续的两个移动平均值的平均值作为该月的值：的两个移动平均值的平均值作为该月的值：MAyyy65121212.() /MAyyy7 5231312.() /MAyyyyyy71212231312122913.5.3.5.季节模

54、型季节模型n中心化移动平均的一般公式为中心化移动平均的一般公式为MAyytt it iii12112112655611212126655yyytt iti6,8,7Tt923.5.3.5.季节模型季节模型n注意：注意：n采用采用1212个月中心化移动平均后，序列的两端各有个月中心化移动平均后，序列的两端各有6 6个欠项值（对季度数据采用个欠项值（对季度数据采用3 3个月中心化移动平均个月中心化移动平均后序列欠后序列欠2 2项），需用插值或其它数值计算方法将项），需用插值或其它数值计算方法将其补齐。其补齐。 933.5.3.5.季节模型季节模型n当季节因素比较稳定时，可用相邻两个周期的相应当季节

55、因素比较稳定时，可用相邻两个周期的相应周期点上的数值的平均数来代替，如周期点上的数值的平均数来代替，如n利用利用“中心化移动平均法中心化移动平均法”可以消除序列的季节因可以消除序列的季节因素，分离出序列的趋势项。素，分离出序列的趋势项。2,2122425131nnnMAMMAMAMMA943.5.3.5.季节模型季节模型n1212个月中心化移动平均是二次移动平均，也可以看个月中心化移动平均是二次移动平均，也可以看作是一次移动平均作是一次移动平均n也叫做也叫做加权平均加权平均，其中每一期的权数不相等。，其中每一期的权数不相等。55662121121ititttyyyMA3.5.3.5.季节模型季

56、节模型n几种常用的加权移动平均方法：几种常用的加权移动平均方法：n3X3项移动平均：项移动平均：是对是对3项移动平均值再进行移动项移动平均值再进行移动平均。平均。3/3212yyyMA3/5434yyyMA3/4323yyyMA3/432)2(3MAMAMAMA9/23254321yyyyy963.5.3.5.季节模型季节模型n3 3项移动平均一般公式项移动平均一般公式9/2322112ttttttyyyyyMA973.5.3.5.季节模型季节模型n5X55X5项移动平均项移动平均nHendersonHenderson加权移动平均加权移动平均HTtHyhMAitHHiHt1,)12(983.5

57、.3.5.季节模型季节模型n季节调整方法的发展季节调整方法的发展 n19541954年美国商务部国势普查局在美国全国经济研究年美国商务部国势普查局在美国全国经济研究局战前研究的移动平均比法的基础上，开发了关于局战前研究的移动平均比法的基础上，开发了关于季节调整的最初的电子计算机程序，开始大规模地季节调整的最初的电子计算机程序，开始大规模地对经济时间序列进行季节调整。对经济时间序列进行季节调整。n此后，季节调整方法不断改进，每次改进都以此后，季节调整方法不断改进，每次改进都以X X再再加上序号表示。加上序号表示。993.5.3.5.季节模型季节模型n19601960年，国势普查局发表了年，国势普

58、查局发表了X-3X-3方法，其中特异项方法，其中特异项的代替方法和季节要素的计算方法略有不同。的代替方法和季节要素的计算方法略有不同。n19611961年，国势普查局又发表了年，国势普查局又发表了X-10X-10方法，考虑到了方法，考虑到了根据不规则变动和季节变动的相对大小来选择计算根据不规则变动和季节变动的相对大小来选择计算季节要素的移动平均项数。季节要素的移动平均项数。n19651965年年1010月发表了月发表了X-11X-11方法，这一方法历经几次演方法，这一方法历经几次演变，已成为一种相当精细、典型的季节调整方法。变，已成为一种相当精细、典型的季节调整方法。1003.5.3.5.季节

59、模型季节模型nX-11X-11方法是基于移动平均法的季节调整方法。它的方法是基于移动平均法的季节调整方法。它的特征在于除了能适应各种经济指标的性质，根据各特征在于除了能适应各种经济指标的性质，根据各种季节调整的目的，选择计算方式外，在不作选择种季节调整的目的，选择计算方式外，在不作选择的情况下，也能根据事先编入的统计基准，按数据的情况下，也能根据事先编入的统计基准，按数据的特征自动选择计算方式。的特征自动选择计算方式。n在计算过程中可根据数据中的随机因素大小，采用在计算过程中可根据数据中的随机因素大小，采用不同长度的移动平均，随机因素越大，移动平均长不同长度的移动平均，随机因素越大，移动平均长

60、度越大。度越大。1013.5.3.5.季节模型季节模型nX-11X-11方法是通过几次迭代来进行分解的，每一次对方法是通过几次迭代来进行分解的，每一次对组成因子的估算都进一步精化。组成因子的估算都进一步精化。nX-11X-11方法受到很高的评价，已为欧美、日本等国的方法受到很高的评价，已为欧美、日本等国的官方和民间企业、国际机构官方和民间企业、国际机构(IMF)(IMF)等采用，成为目等采用，成为目前普遍使用的季节调整方法。前普遍使用的季节调整方法。102n美国商务部国势普查局的美国商务部国势普查局的X12X12季节调整程序是在季节调整程序是在X11X11方法的基础上发展而来的，包括方法的基础