培优材料之三数列基本性质

1、数列基本性质1等差数列的判定方法:（1）定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列 （2）等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列2等差数列的前n项和: （1） （2）3等差数列的性质:（1）等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有（2）对于等差数列，若，则也就是：4等比数列的判定方法：（1）定义法：对于数列，若，则数列是等比数列 （2）等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列5等比数列的前n项和：（1） （2） （3）当时，6等比数列的性质：（1）等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有（2）对于等比数列

2、，若，则也就是：例题例1 已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和分析：由于b和c中的项都和a中的项有关，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a (根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，数列b是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3

3、3;2(2)因为所以又 故数列是首项为 公差是的等差数列，。(3)当n2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2说明：本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和解决本题的关键在于由条件得出递推公式例2设数列an前n的项和为 Sn，且其中m为常数， （1）求证：an是等比数列； （2）若数列an的公比满足q=f(m)且为等差数列，并求解：（1）由，得两式相减，得 是等比数列 （2）由得所以是以1为首项为公差的等差数列，所以点评：为了求数列的通项，用取倒数的技巧，得出数列

4、的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题练习1已知数列的前n项和满足，求，并判断是否为等差数列提示：不是等差数列。2。在数列an中，an=lg,证明该数列是等差数列。（证略）例3（1）等差数列中，若，求的值；（2）等比数列中，各项都是正数，且，求（1）解略。（2）解：设等比数列首项为，公比为q，则另法：， 将两式相加得 又因为数列中，各项均为正数，所以7例4 在等比数列an的前n项中，a1最小，且a1+an=66，a2 an-1=128，前n项和Sn=126, 求n和公比q解：an为等比数列 a1·an=a2·an-1 由a1·an=128 ， a1+an=66

5、且 a1最小， 得a1=2 ，an=64，解得 解得n=6, n=6,q=2练习1在等差数列中，=_（100）2等比数列an中，a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6是 （ ） A.240 B.±240 C.480 D.±4803在等比数列an中,已知a2a8=9，则a3a5a7等于 .4已知等差数列an的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，求=_5已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是 （ ）A. B. C. 或 D. （A）6. 设a,b,c成等比数列，x为a,b的等差中项，y为b,c的等差中项，求证.（略）7已知等差数列的公差大于0，且、是方程的两根，数列的前项和为，且 。（1）求数列、的通项公式； 8已知数列an的通项公式是，记 （1）写出数列bn的前