圆锥曲线的综合问题答案

1、圆锥曲线的综合问题【考纲要求】1 考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入 和设而不求的思想2 高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向 量等在解决问题中的综合运用【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题【基础梳理】1直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线的方程AxByC0(A、B不同时 为0)代入圆锥曲线C的方程F(

2、x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或 变量y)的一元方程 即,消去y后得(1)当时，设方程的判别式为，则0直线与圆锥曲线C 相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C无公共点(2) 当，时，即得一个一次方程，则直线与圆锥曲线C相交，且只有一个交点， 此时，若C为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线， 则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行2圆锥曲线的弦长(1)定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做 圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长(2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k(

3、k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|=|y1y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|x1x2p，为弦AB所在直线的倾斜角)3、一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式是否为正数4、一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能

4、忘”双基自测1 直线ykxk1与椭圆1的位置关系为() A相交 B相切 C相离 D不确定解：ykxk1k(x1)1过定点(1,1)，点在椭圆内部，故线与椭圆相交答案A2“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点 答案A3已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A3 B2 C2 D4解析：根据题意设椭圆方程为1(b0)，则将xy4代入椭圆方程，得4(b21)y28b2yb412b20，椭圆与直线xy40有且仅

5、有一个交点，(8b2)244(b21)(b412b2)0，即(b24)(b23)0，b23，长轴长为22. 答案C4已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为() A.1 B.1 C.1 D.1解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知c3，a2b29，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：，两式作差得：，又AB的斜率是1，所以将4b25a2代入a2b29得a24，b25，所以双曲线的标准方程是1. 答案B5ykx2与y28x有且仅有一个公共点，则k的取值为_解析:由得ky28y160，若k0，

6、则y2；若k0，则0，即6464k0，解得k1.故k0或k1.答案0或1【考向探究导析】考向一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】(2011合肥模拟)设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. B2,2 C1,1 D4,4审题视点 设直线l的方程，将其与抛物线方程联立，利用0解得解析由题意得Q(2,0)设l的方程为yk(x2)，代入y28x得k2x24(k22)x4k20，当k0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k0时，16(k22)216k40，即k21，1k1，且k0，综上1k1.答案C 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研

7、究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解【训练1】 若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆 1的交点个数是()A至多为1 B2 C1 D0解：由题意知：2，即2，点P(m，n)在椭圆1的内部，故所求 交点个数是2个答案B考向二弦长及中点弦问题【例2】若直线l与椭圆C：y21交于A、B两点，坐标原点O到直线的距离为， 求AOB面积的最大值审题视点 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可解设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)当ABx轴时，|AB

8、|；(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm.由已知，得，即m2(k21)把ykxm代入椭圆方程，整理，得(3k21)x26kmx3m230.x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)3.当k0时，上式334，当9k2，即k时等号成立此时|AB|2；当k0时，|AB|，综上所述|AB|max2.当|AB|最大时，AOB面积取最大值Smax|AB|max. 当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|x1x2| |y1y2|，而|x1x2|，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两

9、根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解【训练2】 椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若 AB2，OC的斜率为，求椭圆的方程法一：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程作差a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而1，koc，代入上式可得ba，再由|AB|x2x1|x2x1|2，其中x1、x2是方程(ab)x22bxb10的两根，故244，将ba代入得a，b.椭圆的方程是1.法二由得(ab)x22bxb10，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|.|AB|2，1. ，设C(x，y)，则x，y1x，OC的斜率为，.代入

10、，得a，b.椭圆方程为y21.考向三 圆锥曲线中的定点定值问题常见的类型(1) 直线恒过定点问题；(2)动圆恒过定点问题；(3)探求定值问题；(4)证明定值问题例3、(2011山东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21.如图所示，斜率为k(k0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x3于点D(3，m)(1)求m2k2的最小值； (2)若|OG|2|OD|OE|，求证：直线过定点(1)解：设直线的方程为ykxt(k0)，由题意，t0.由方程组得(3k21)x26ktx3t230.由题意0，所以3k21t2.设A(x1，y1)，B(x2

11、，y2)，由根与系数的关系得x1x2，所以y1y2.由于E为线段AB的中点，因此xE，yE，此时kOE.所以OE所在直线方程为yx，又由题设知D(3，m)，令x3，得m，即mk1，所以m2k22mk2，当且仅当mk1时上式等号成立，此时由0得0t2，因此当mk1且0t2时，m2k2取最小值2.(2)证明由(1)知OD所在直线的方程为yx，将其代入椭圆C的方程，并由k0，解得G.又E，D，由距离公式及t0得|OG|222，|OD| ，|OE| ，由|OG|2|OD|OE|得tk，因此直线l的方程为yk(x1)，所以直线l恒过定点(1,0)【训练3】椭圆有两顶点A(1,0)、B(1,0)，过其焦点

12、F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1) 当|CD|时，求直线的方程(2) 当点P异于A、B两点时，求证：OO为定值审题视点 (1)设出直线方程与椭圆方程联立利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q点坐标及其与P点坐标的关系，从而证得为定值证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化(1) 解:因椭圆焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)， 由已知得b1，c1，所以a，椭圆方程为x21.直线垂直于x轴时与题意不符设直线l的方程为ykx1，将其代入椭圆方程化简得(k22)x22kx10. 设C(x1，y1)

13、，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|CD|，由已知得，解得k，所以直线l的方程为yx1或yx1.(2)证明直线l与x轴垂直时与题意不符设直线l的方程为ykx1(k0且k1)，所以P点坐标为，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由(1)知x1x2，x1x2，直线AC的方程为y(x1)，直线BD的方程为y(x1)，将两直线方程联立，消去y得，因为1x1，x21，所以与异号22.又y1y2k2x1x2k(x1x2)1，与y1y2异号，与同号，解得xk.因此Q点坐标为(k，y0)OO1.故OO为定值训练4(2012年高考福建卷)如图，椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e

14、.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解析(1)因为|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8.又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以4a8，a2.又因为e，即，所以c1，所以b.故椭圆E的方程是1.(2)由消去y得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24

15、(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230.(*)所以P(，)由得Q(4，4km)假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上设M(x1，0)，则对满足(*)式的m，k恒成立因为=(x1，)，=(4x1，4km)，由，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130.(* *)由于(* *)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.故存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.【训练5】已知抛物线y24x，圆F：(x1)2y21，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则|AB|CD|的值正确的是()A等于1B最小值是1

16、C等于4 D最大值是4解析：设直线l：xty1，代入抛物线方程，得y24ty40.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，由抛物线定义AFx11，DFx21，故|AB|x1，|CD|x2，故|AB|CD|x1x2，而y1y24，代入上式，得|AB|CD|1.故选A.考向四 最值与范围问题1求参数范围的方法：据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围2求最值问题的方法(1)几何法：题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决；(2)代数法：题目中给出的条件和结论几何特征不明显则可以建立目标函数，再求这个函数 的最值，求最值的常见方法是判别式法、基本不等式法，单调性法等例4、已知椭圆

17、y21的左焦点为F，O为坐标原点(1)求过点O、F，并且与直线l：x2相切的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点， 线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标 的取值范围审题视点 (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB的点斜式方程，由已知得线段AB的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解解(1)，F(1,0)，圆过点O，F，圆心M在直线x上设M，则圆半径r，由|OM|r，得 ，解得t，所求圆的方程为(2)设直线AB方程为yk(x1)(k0)，代入y21，得(12k2)x24k2x2k220.直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，方程有两个不等

18、实根如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，AB的垂直平分线NG的方程为yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0，k0，xG0，点G横坐标的取值范围为【训练6】已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B、C两点当 直线l的斜率是时，4.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l斜率是时,l方程为y(x4)，即x2y4.由得2y2(8p)y80，又4，y24y1,由及p0得：y11，y24，p2，得抛物线G方程为x24y.(2)设:yk(x4)，BC中点为(x0，y0)，由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k.线段BC中垂线为y2k24k(x2k)，线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b2k24k22(k1)2，对于方程，由16k264k0得k0或k4.b(2，)训练7已知抛物线y22px(p0)上存在关于直线xy1对