圆锥曲线与方程解题归纳分析附真题练习与答案

1、圆锥曲线与方程解题归纳分析（附同步高考真题练习与答案）1. 点到直线的距离2.弦长公式：线上两点间的距离： 或3.焦点三角形面积公式：（其中）4.焦半径公式：（1），可简记为“左加右减，上加下减”。（2）（3）最值问题（1）定义转化例1.已知点F是双曲线1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_解析:图所示，根据双曲线定义|PF|PF|4，即|PF|4|PF|.又|PA|PF|AF|5，将|PF|4|PF|代入，得|PA|PF|45，即|PA|PF|9，等号当且仅当A，P，F三点共线，即P为图中的点P0时成立，故|PF|PA|的最小值为9.故填9

2、.（2）切线法（3）参数法例2.在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆y21上的一个动点，则Sxy的最大值为_解析因为椭圆y21的参数方程为(为参数)故可设动点P的坐标为(cos ，sin )，其中02.因此Sxycos sin 22sin，所以，当时，S取最大值2.（4）基本不等式法例3.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值解：题设得椭圆的方程为y21.直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2

3、)x24，故x2x1.根据点到直线的距离公式和式，得点E，F到AB的距离分别为h1，h2，又|AB|，所以四边形AEBF的面积为S|AB|(h1h2)··22，当2k1，即k时，取等号所以四边形AEBF面积的最大值为2.圆锥曲线范围问题（1）曲线几何性质例4已知双曲线1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是_解析根据双曲线定义|PF1|PF2|2a，设|PF2|r，则|PF1|4r，故3r2a，即r，|PF2|.根据双曲线的几何性质，|PF2|ca，即ca，即，即e.又e1，故双曲线的离心

4、率e的取值范围是.故填.（2）判别式例5在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得向量与共线？如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由解(1)由已知条件，知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程，得(kx)21，整理得x22kx10.由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，得8k244k220，解得k或k，即k的取值范围为.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)由方程，知x1x2.又y1y2k(x1x2)2.由A(，0)，

5、B(0,1)，得(，1)所以与共线等价于x1x2(y1y2)，将代入，解得k.由(1)知k或k，故不存在符合题意的常数k.圆锥曲线定值定点问题特殊到一般例6.已知双曲线C：x21，过圆O：x2y22上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于A，B两点，证明：AOB的大小为定值证明当切线的斜率不存在时，切线方程为x±.当x时，代入双曲线方程，得y±，即A(，)，B(，)，此时AOB90°，同理，当x时，AOB90°.当切线的斜率存在时，设切线方程为ykxb，则，即b22(1k2)由直线方程和双曲线方程消掉y，得(2k2)x22kbx(b22)0，由直线l与双曲

6、线交于A，B两点故2k20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x2，x1x2，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2，故x1x2y1y2，由于b22(1k2)，故x1x2y1y20，即·0，AOB90°.综上可知，若l交双曲线于A，B两点，则AOB的大小为定值90°常用方法1、点差法（中点弦问题）设、，为椭圆的弦中点则有，；两式相减得=例7.已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D

7、的轨迹方程.解：（1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)则有两式作差有 (1)F(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得直线BC的方程为2)由ABAC得 （2）设直线BC方程为，得， 代入（2）式得，解得或直线过定点（0，设D（x,y），则，即所以所求点D的轨迹方程是。2设而不求法例8.如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。 解法一：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称 依

8、题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得 ， 设双曲线的方程为，则离心率由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ， 由式得 ， 将式代入式，整理得 ，故 由题设得，解得 所以双曲线的离心率的取值范围为 分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式, 用的横坐标表示，回避的计算, 达到设而不求的解题策略 解法二：建系同解法一，又，代入整理，由题设得，解得 所以双曲线的离心率的取值范围为 3求根公式法例9.设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.简解1：当直线垂直于x轴时，可求得;当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程

9、，消去得解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，综上 .简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 （*）则令，则，在（*）中，由判别式可得 ，从而有 ，所以 ，解得 .结合得. 综上，.同步高考真题练习1设P是曲线y24x上的一个动点，则点P到点A(1,1)的距离与点P到x1直线的距离之和的最小值为()A. B. C. D.2已知A，B，C三点在曲线y上，其横坐标依次为1，m,4(1<m<4)，当ABC的面积最大时，m等于()A3 B.C. D.3.椭圆的切线 与两坐标轴分别交于A,B两点 ， 求三角形OAB的最

10、小面积 。4.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。5椭圆b2x2a2y2a2b2(ab0)的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点，当PFO的面积最大时，求直线l的方程6椭圆b2x2a2y2a2b2(ab0)和圆x2y22有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆离心率e的范围为()A.e B0eC.e D.e7.椭圆（a>b>0）的二个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且。 求离心

11、率e的取值范围.8.设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.9.在平面直角坐标系中，已知双曲线：（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值10.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以

12、为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标练习答案1.解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离；于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小；显然，连AF交曲线于P点故最小值为，即为.2.解析：由题意知A(1,1)，B(m，)，C(4,2)直线AC所在的方程为x3y20，点B到该直线的距离为d.SABC|AC|·d××|m32|()2|.m(1,4)，当时，SABC有最大值，此时m.故选B.3.解：设切点为 ， 则切线

13、方程为 .令y=0, 得切线与x轴交点；令x=0,得切线与y轴交点B(0,)= 4.解：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),由中点标公式得x=x0=2x1，y0=2y，由点P在椭圆上,得, 线段PA中点M的轨迹方程是.(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此ABC的面积SABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(,),则,又点A到直线BC的距离d=,ABC的面积SABC=于是SABC=由1,得SABC,其中,当k=

14、时,等号成立.SABC的最大值是. 解：求直线方程，由于F(c,0)为已知，仅需求斜率k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则y0，由于SPFO|OF|·|y0|y0|只需保证|y0|最大即可，由(b2a2k2)y22b2ckyb4k20，|y0|得：SPFO，此时a2|k|k±，故直线方程为：y±(xc)6.解析：此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)与(0，b)一个在圆外、一个在圆内即：e.7.解：设点M的坐标为(x，y)，则，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 又由点M在椭圆上，得y2=b2，代入，得x2-c2，即。0，

15、0，即01，01，解得1。又01，1.8.解：（）易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或9.解：(1)双曲线C1：y21，左顶点A，渐近线方程：y±x.过点A与渐近线yx平行的直线方程为y，即yx1.解方程组得所以所求三角形的面积为S|OA|y|.(2)设直线PQ的方程是yxb，因直线PQ与已知圆相切，故1，即b22.由得x22bxb210.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则又y1y2(x1b)(x2b)，所以·x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220.故OPOQ.(3)当直线ON