华罗庚金杯数学邀请赛决赛初二组练习题(含答案)

1、第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 (初中二年级组) 总分第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中二年级组·练习用）一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）2019 2 2 1009 2 2018+ + + =1.计算1+ 2 + 2018.2. 一块正三角形草坪边长为 12 米，三个顶点处都安有喷水装置，每个喷水装置都可以从三角形的一边到另一边旋转 60º来回喷水假定三个喷水装置的射程相等，要使草坪上所有区域都可以被喷水覆盖，那么被重复喷水的最小面积是 平方米3. 从 -2，- 3，- 4，- 5 这四个数中，任取两个数 p,q( p ¹

2、q) ，构成函数 y = px + 2 和y = -x + q ，如果这两个函数图象的交点在直线 x = 2 的左侧，那么这样的有序数对( p,q) 共有 个4. 设 p 为质数，如果二次方程 x2 - 2px + p2 - 5p -1= 0的两个根都是整数，那么p 可能取的值有 个.5. 如果1295 (6n -1) （其中n 是整数，且 1986n2018 ），那么满足条件的n 的个数是 .6. 如图所示，在正六边形 ABCDEF 内放有一个正方形MNPQ ，正方形的顶点分别在正六边形的 4 条边上，且 MN /BC 若正方形 MNPQ 的面积为 12 -6 3 平方厘米，则正六边形 AB

3、CDEF 的面积是 平方厘米7. 将 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 这 11 个数排成一行，使得任意 5个相邻的数的和都是 5 的倍数那么这样的排列方法有 种8. 四张卡片，每张写着一个自然数，任取 2 张，或者 3 张，或者 4 张，把卡片上的数求和，可以得到 11 个不同的和，那么 4 张卡片上所有数的和最小为 第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组)二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 有 A ，B 两队野外徒步旅行，A 队在 B 队的西偏北 45 度处，两队相距 8 2千 米如果 A 队向东继续行走， B 队同

4、时沿西偏南 45 度路线行走，且 A队与 B 队的速度比是 2 ，求 A， B 两队最近时的距离10. 如果实数 x, y,z 同时满足关系式 x( y 2 + z) = z(z + xy) ， y(z2 + x) = x(x + yz) ，z(x2 + y) = y( y + zx) ，那么，实数 x, y,z 是否一定都相等？请给出证明11. 如图，在四边形 ABCD 中，ÐABC = ÐBCD =120° ，AB = BC 对角线 AC ， BD 相交于点 E 若 AE = 3CE ，求证： AB = 2CD 12. 从 76 个连续自然数 1，2，76 中

5、任取 39 个数，其中必有 2 个数的差是p ，求 p 的值三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）13. 如图，在五边形 ABCDE 中， AB = AE =1 ， ÐCAD = 45° ， E DÐE = ÐEAB = ÐB = 90° ，求点 A到直线 CD 的距离 CA B14. 如图，一个由 81 个小方格组成的 9´9 网格先将其中的任意 n 个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果某个方格至少与 2 个黑格都恰好有 1 个公共顶点，那么就将这个方格染黑现在要按照这个方法将整个棋

6、盘都染成黑色，那么 n的最小值是多少？说明你的结论第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中二年级组)第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题·练习用参考答案（初中二年级组）一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 2018 +1 24 -36 3 5 2 8 3 322304 14二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）16 10 59. 【答案】 A ， B 两队最近时的距离是千米【解答】如图，以 B 队初始位置为原点，正东、正北方向为 x 轴和 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系， B

7、(0,0) ， A(-8,8)不妨y设 B 队的速度为 1，那么 A队的速度为 2 ，经过时间tAA1x后，B 队所在位置是2 2B (- t,- t) ，A队所在位置是12 2B1BA1(-8 + 2t,8) ，于是此时两队的距离 d 满足2 2 2 2 2 28 2d = (-8 + 2t + t) + (8 + t) = 5t -16 2t +128，当t = 时，d 取到最2 2 5小值512 16 10= 千米5 510. 【答案】 x, y,z 一定都相等【证明】将原关系式变形，得 xy(y - z) = z(z - x) ， yz(z - x) = x(x - y) ，zx(x

8、- y) = y(y - z) （1）当(x-y()yz-()zx)-0=时，不妨设 x = y ，由得 y = 0 或者 y = z 若 y = z ，则 x = y = z ；若 y = 0 ，有 x = 0 ，代入，得 z = 0 或者 z = x = 0 ，即 x = y =z = 0 （2）当 (x - y)(y - z)(z - x) ¹ 0 时，将相乘得 xyz(xyz -1) = 0，即 xyz = 0 或xyz = 如果 xyz = 0 ，不妨设 y = 0 ，由（1）知z=0或者 z = x ，矛盾！如果 xyz =1，1- 1 -第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请

9、赛决赛试题参考答案(初中二年级组)不妨设 xyz ，显然 x > 0 假设 x > y ，考虑式，有 x(x - y) > 0 ，又1yz 0 = > ，xz - x < ，所以 yz(z - x) < 0 矛盾！所以 x = y = z 0证毕！11. 【证明】作 BM AC于M.因为 ABC 中， AB = BC ，ÐABC=120° ，所以 AM = CM,ÐCAB = ÐACB = 30° 因此 AB = 2BM 由于ÐACB = 30° ，所以ÐACD = 90

10、6;又由 AE = 3CE 和 AM = CM 得： AM + ME = 3CE ， 即CM + ME = 3CE 即 (ME + CE) + ME = 3CE 所以 2ME = 2CE ，故 ME = CE 在 Rt BME 与 Rt DCE 中，因为 ME = CE ，ÐBEM = ÐDEC ，所以 Rt BME Rt DCE 因此 BM = CD 由于 AB = 2BM （已证）， 所以 AB = 2CD 12. 【答案】 p 的值为 1，2，19，38【解答 1】 p 的值是 1，2，19，38做抽屉，每个抽屉内有差为 p 的两个数，或仅有一个数：当 p39 时,

11、有两类抽屉，第一类，每个抽屉有 2 个非零自然数，差是 p ：76,76 - p，75, 75 - p，p + 2,2，p +1,1，个数是76 - p ；第二类，每个抽屉仅有 1 个不大于 p 的非零自然数，但与 p 的和大于 76：77 - p，78 - p，p个数是76 - 2´(76 - p) = 2p - 76 此时，抽屉总数是 p 个 从每个抽屉各取一个数，因为 p39 ，这些数中不存在差是 p 的两个数当 p38时，做抽屉：1, p +1,2, p + 2,3, p + 3 ,4, p + 4p,2 p ,2p +1,3p +1,2p + 2,3p + 2,2p + 3

12、,3p + 3 ,3p,4p ,- 2 -第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中二年级组)ì æé ù ö æé ù ö ü ì æé ù ö æé ù ö üï ´ç - ÷ + ´ç - ÷ + + ï ï ´ç - ÷ + ´ç - &

13、#247; + + ï76 76 76 76í2p ê ú 1 1, 2p ê ú 1 p 1ý,í2p ê ú 1 2, 2p ê ú 1 p 2ý,ï èë2pû ø èë2pû ø ï ï èë2pû ø èë2pû ø ïî þ î

14、 þï ´ - ´ ï76 76í ê ú ê úý2p p,2pï ë2pû ë2pûï 若é ù76 76=ê úë û2p 2p，则抽屉到此为止，共有 38 个抽屉，从中任取 39 个，必有2 个取自同一个有两个数的抽屉，差是 p 所以， p =1, 2,19, 38 若é ù76 76¹ê úë &#

15、251;2p 2p，则还有抽屉：ì é ù ü ì é ù üï ´ + ï ï ´ + ï76 76í2p ê ú 1ý,í2p ê ú 2ý, 76，ï ë2pû ï ï ë2pû ïî þ î þé ù76个数是76 - 2p 

16、34; ú ë2pû得到抽屉的个数是：é ù é ù é ù æ ì üö ì ü76 76 76 76 76 76p´ ê ú + - p´ ê ú = - pê ú = - p´ç - í ý÷ = + p´ í ý76 2 76 76 38ë pû ë

17、pû ë pû è p î pþø î pþ2 2 2 2 2 2ì ü é ù76 76 76= -其中，í ý ê úî2pþ 2p ë2pû，此时，pì ü76´ í ý1，抽屉的个数39 从其中 39 î2pþ个抽屉各取 1 个数，不存在两个数的差是 p 所以， p 的值是 1, 2, 19, 38【解答 2】记76 = kp + r ，0 £ r < p ，把 1 到 76 按照下面排成 p 行，1 2LrLp1+ p 2 + pLLL Lr + 2pLL L2 Lp1+ (k-1)2r p + (k -1) p L+ (k -1) p L kp1+ kp 2 + kpLr + kpk 为偶数时，记 k = 2l （注,当 k 为偶数时，由于 76 是偶数， r 也是偶数），则前 r 行可以取l +1个数，后 p - r 行可以取l 个数，这lp + = + = - + = + 个数任意两个数的差不