圆与方程练习题1

1、圆与方程知识点1、圆的标准方程：圆心C(a,b),半径为r2、圆的一般方程：3圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其参数方程为（为参数）。表示圆，圆心C（）半径为表示点（）不表示任何图形3、点与圆的关系的判断方法：（1）圆方程为标准式点在圆外 点在圆上点在圆内（2）圆方程为一般式点在圆外 点在圆上点在圆内4、直线：与圆的位置关系判断方法（1）求出圆的半径，圆心到直线的距离为直线与圆相离直线与圆无交点直线与圆相切直线与圆有一交点直线与圆相交直线与圆有两交点（2）将直线方程代入圆的方程消元变成一元二次方程，求出判别式直线与圆相离直线与圆无交

2、点直线与圆相切直线与圆有一交点直线与圆相交直线与圆有两交点5、 圆与圆的位置关系判断方法 求出圆心距，两圆的半径圆与圆相离有4条公切线圆与圆外切有3条公切线圆与圆相交有2条公切线圆与圆内切有1条公切线圆与圆内含有0条公切线6、过点求圆的切线方程（1）点在圆上圆的方程为，切线方程圆的方程为，切线方程圆的方程为，切线方程（2）点在圆外，设直线方程为即由圆心到直线的距离求出（过圆外一点作圆的切线有2条）7、圆与圆相交，则公共弦的直线方程为公共弦长，半径，圆心到弦的距离（弦心距）满足关系式：8、圆与圆相交，过两圆交点的圆系方程可设为或9、圆与圆点M在圆上，点N在圆上，则有（相交，相切），（相离）（内含

3、）11、空间直角坐标系（1）点M对应着唯一确定的有序实数组，、分别是P、Q、R在、轴上的坐标（2）有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点12、点与点的中点坐标为距离圆的标准方程（1）已知圆的参数方程是 (02）若圆上一点M的坐标为(4,-4)，则M所对应的参数的值为 .分析：将点M的坐标代入参数方程分别求得sin,cos的值，由此求的值.解：将点M（4，-4）代入得又02,=.答案：(2)已知圆的参数方程为,则它的普通方程为 .分析：由参数方程解得cos、sin的表达式，由cos2+sin2=1求出x与y的关系式，即可求得.解：由得由cos2+sin2=1得(x+5)2+(y-3)2=9答案

4、：(x+5)2+(y-3)2=92.已知点M是圆x2+y2-4x=0上的一个动点，点N（2，6）为定点，当点M在圆上运动时，求线段MN的中点P的轨迹方程，并说明轨迹的图形.分析：先将圆x2+y2-4x=0化为(x-2)2+y2=4利用圆的参数方程求解.解法一：将已知圆的方程化为：（x-2）2+y2=4,则其参数方程为故可设点M（2+2cos,2sin)又点N（2，6）.MN的中点P为点P的轨迹方程为： 它表示圆心在（2，3），半径为1的圆.3.若实数x、y满足x2+y2-2x+4y=0，求x-y的最大值.分析一：将圆化为参数方程来解.解法一：将圆x2+y2-2x+4y=0变为(x-1)2+(y

5、+2)2=5,圆的参数方程为代入x-y得x-y=（1+cos）-(-2+sin)=3+（cos-sin)=3+cos(+)3+x-y的最大值为3+.分析二：令x-y=u代入圆方程来解.解析二：令u=x-y，则y=x-u代入圆方程得2x2+2(1-u)x+u2-4u=0由=4(1-u)2-8(u2-4u)0即u2-6u-103-u3+即3-x-y3+x-y的最大值为3+.4.已知对于圆x2+(y-1)2=1上任意一点P（x,y)，不等式x+y+m0恒成立，求实数m的取值范围.分析：将圆的参数方程代入x+y+m0，转化为求m的最值问题来解.解：由x2+(y-1)2=1得其参数方程为：代入x+y+m

6、0得cos+1+sin+m0m-cos-sin-1m-sin()-1恒成立，转化为求-sin(+)-1的最大值，-sin（+）-1的最大值为-1.m-1.5.已知圆x2+y2=1,定点A(1,0),B、C是圆上两个动点，保持A、B、C在圆上逆时针排列，且BOC=（O为坐标原点），求ABC重心G的轨迹方程.分析：利用三角形重心坐标公式：来解.解：令B（cos,sin）,则C(cos(+),sin(+),设重心坐标为G（x,y）则化为普通方程得：(x-)2+y2=.1直线被曲线所截得的弦长等于 2圆：的外有一点，由点向圆引切线的长_ 2 对于任意实数，直线与圆的位置关系是_4动圆的圆心的轨迹方程是

7、 .为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为_.三、解答题求过点向圆所引的切线方程。求直线被圆所截得的弦长。已知实数满足，求的取值范围。已知两圆，求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长。1. ，2. 3.相切或相交 ；另法：直线恒过，而在圆上4. 圆心为，令 5. 三、解答题1.解：显然为所求切线之一；另设而或为所求。2.解：圆心为，则圆心到直线的距离为，半径为 得弦长的一半为，即弦长为。3.解：令则可看作圆上的动点到点的连线的斜率 而相切时的斜率为，。4.解：（1）；得：为公共弦所在直线的方程；（2）弦长的一半为，公共弦长为。17（本小题满分12分）已知的顶点A为（3，1），AB

8、边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求BC边所在直线的方程18（本小题满分12分）设圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；圆心到直线的距离为，求该圆的方程19（本小题满分12分）设M是圆上的动点，O是原点，N是射线OM上的点，若，求点N的轨迹方程。20（本小题满分12分）已知过A（0，1）和且与x轴相切的圆只有一个，求的值及圆的方程21（本小题满分12分）（2006年辽宁卷）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径;(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值。22（本小题满分

9、14分）已知定点A（0，1），B（0，-1），C（1，0）动点P满足：.（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；（2）当时，求的最大、最小值17设，由AB中点在上，可得：，y1 = 5，所以设A点关于的对称点为，则有.故18设圆心为，半径为r，由条件：，由条件：，从而有：由条件：，解方程组可得：或，所以故所求圆的方程是或19设，由可得：，由.故，因为点M在已知圆上所以有，化简可得：为所求20设所求圆的方程为因为点A、B在此圆上，所以， ， 又知该圆与x轴（直线）相切，所以由， 由、消去E、F可得：， 由题意方程有唯一解，当时，；当时由可解得，这时综上可知，所求的值为0或1，当时圆的

10、方程为；当时，圆的方程为21.(I)证明1: 整理得: 设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则即整理得:故线段是圆的直径证明2: 整理得: .(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即去分母得: 点满足上方程,展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径证明3: 整理得: (1)以线段AB为直径的圆的方程为展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则又因所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则当y=p时,d有最小值,由题设得.解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则又因 所以圆心的轨迹方程为设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为将(2)代入(3)得