概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)

1、WORD格式概率论与数理统计第一章概率论的根本概念 2样本空间、随机事件1事件间的关系AB那么称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件B 发生AB x xA或xB 称为事件A与事件B的和事件， 指当且仅当A ， B 中至少有一个发生时，事件A B发生AB x xA且xB 称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件AB 发生A B x xA且xB 称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A 发生、 B 不发生时，事件A B发生AB，那么称事件 A 与 B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件 B 不能同时发生，根本领件是两两互不相容的A BS且AB，那么称事件A 与

2、事件 B 互为逆事件，又称事件A 与事件 B 互为对立事件2运算规那么交换律ABBA A BBA结合律 (AB)CA( BC )(A B)CA(B C)分配律 A BC (AB)( AC )A (B C) (A B)(A C)徳摩根律 ABAAB ABB 3频率与概率定义在一样的条件下，进展了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数nA称为事件 A 发生的 频数，比值nAn称为事件 A 发生的 频率概率：设 E 是随机试验， S 是它的样本空间， 对于 E 的每一事件A 赋予一个实数， 记为 PA，称为事件的概率1概率P( A)满足以下条件： 1非负性 ：对于每一个事件A0P( A)1

3、 2标准性 ：对于必然事件SP(S)1专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式nn 3可列可加性 ：设A1, A2, An是两两互不相容的事件，有 P(Ak )P( Ak )n可k1k 1以取2概率的一些重要性质： i P( )0nn ii 假设A1, A2, An是两两互不相容的事件，那么有P(Ak )P( Ak ) n可以取k 1k 1 iii 设 A ， B 是两个事件假设AB ，那么 P(B A)P( B)P( A) ， P(B) P(A) iv 对于任意事件A，P( A)1 vP( A)1P( A)逆事件的概率 vi 对于任意事件A， B 有P( AB)P( A)P( B)

4、P( AB) 4 等可能概型古典概型等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性一样假设事件 A包 含 k个 基 本 事 件 ， 即 A ei ei ei ， 里12ki 1， i 2,， i k是1,2， n中某 k个不同的数，那么有kk A包 含 的 基 本 事 件 数P( A)P ei j j 1n S中 基 本 事 件 的 总 数 5条件概率 1定义： 设 A,B 是两个事件，且P( A)0，称P(B|A)P( AB)为事件 A 发生的条P( A)件下事件 B 发生的 条件概率 2条件概率符合概率定义中的三个条件1。非负性：对于某一事件B，有P(B | A)0

5、2。标准性：对于必然事件S，P(S | A)13 可列可加性：设B1,B2,是两两互不相容的事件，那么有P( BiA )P( Bi A )i 1i 1 3乘法定理设 P(A)0 ，那么有 P( AB)P( B)P( A | B) 称为乘法公式专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式n 4全概率公式： P(A)P( Bi ) P( A | Bi )i 1贝叶斯公式：P(Bk | A)P( Bk )P( A | Bk )nP(Bi ) P( A | Bi )i1 6独立性定义设 A ，B 是两事件，如果满足等式P( AB ) P( A)P( B) ，那么称事件A,B相互独立定理一设 A

6、， B 是两事件，且P( A)0，假设 A， B 相互独立，那么P(B | A)P B 定理二假设事件 A 和 B 相互独立，那么以下各对事件也相互独立：A 与B，A与B，A与B第二章随机变量及其分布 1 随机变量定义设随机试验的样本空间为Se.XX(e) 是定义在样本空间S 上的实值单值函数，称 XX(e) 为随机变量 2 离散性随机变量及其分布律1离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量P( Xxk )pk满足如下两个条件1 pk0，2Pk=1k 12三种重要的离散型随机变量 1分布设随机变量 X只能取 0与 1 两个值，它的分布

7、律是P( X k )k1-k， k0,1 0p1) ，那么称X服从以p为参数的分布或p1 - p两点分布。 2伯努利实验、二项分布设实验 E 只有两个可能结果： A 与A，那么称 E 为伯努利实验 .设P(A)p0 p 1) ，此时 P(A )1- p .将 E 独立重复的进展n 次，那么称这一串重复的独立实验为n 重伯努利实验。P(Xk )npk q n-k， k0,1,2， n 满足条件1pk0，2Pk=1注意kk 1专业资料整理WORD格式3专业资料整理WORD格式到n kqn-k 是二项式npk的那一项，我们称随机变量X 服从参数p pq的展开式中出现k为 n， p 的二项分布。 3泊

8、松分布设随机变量 X所有可能取的值为 0,1,2，而取各个值的概率为k e-0,1,2 , 其中0 是常数，那么称X服从参数为的泊松分布记为P( X k ), kk!X 3 随机变量的分布函数定义设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数F( x )P*,-x称为 X 的分布函数分 布 函 数 F ( x)P( Xx) ， 具 有 以 下 性 质(1)F ( x)是一个不减函数 2 0 F ( x) 1，且 F ()0,F( )13F ( x0)F ( x),即 F ( x)是右连续的 4 连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：如果对于随机变量X 的分布函数 F x，存在非负可积函数f (

9、x) ，使对于任意函数 x 有F(x)xf t dt,那么称 x为连续性随机变量，其中函数f(x) 称为 X-的概率密度函数，简称概率密度1 概率密度f ( x)具有以下性质，满足1f ( x)0, (2)f ( x)dx 1；-3 P(x1Xx2 )x2f ( x)dx ；4假设f ( x)在点x处连续，那么有F，(x) f (x)x12,三种重要的连续型随机变量(1) 均匀分布1， a xb假设连续性随机变量X 具有概率密度f ( x)b - a，那么成 X 在区间 (a,b)上服从0，其他均匀分布 .记为X Ua，b(2) 指数分布假设连续性随机变量X 的概率密度为1 e- x， x.0

10、其中0 为常数，那么称Xf (x)0，其他服从参数为的指数分布。 3正态分布专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式( x21假设连续型随机变量 X的概率密度为e22 ，x，f ( x)-2其中，0)为常数，那么称 X 服从参数为，的正态分布或高斯分布，记为XN，2特别，当0，1时称随机变量X 服从标准正态分布 5 随机变量的函数的分布定理设随机变量 X 具有概率密度f x(x ，x, 又设函数g( x)处处可导且恒有) -g, ( x) 0 ， 那么Y= g( X )是连续型随机变量，其概率密度为fY ( y)f X h( y) h, ( y) ,y0 ， 其他第三章多维随机变量

11、1 二维随机变量定义设 E 是一个随机试验， 它的样本空间是Se.XX(e) 和 YY(e) 是定义在S上的随机变量，称XX(e) 为随机变量，由它们构成的一个向量X ，Y叫做二维随机变量设 X ， Y 是 二 维 随 机 变 量 ， 对 于 任 意 实 数x ， y ， 二 元 函 数F x，y P(Xx)(Yy) 记成PXx，Yy 称为二维随机变量X ， Y的分布函数如果二维随机变量X ，Y全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，那么称X ，Y 是离散型的随机变量。我们称 P( Xxi， Yy j )pij， i， j1,2，为二维离散型随机变量X， Y 的分布律。对于二维随机变量 X ，

12、Y 的分布函数F x，y，如果存在非负可积函数f x，y，使对于任意 x，y 有，yx ，Fyfx-u vdudv 那么称X ，Y 是连续性的随机变量，-函数 f x， y称为随机变量X ， Y 的概率密度，或称为随机变量X 和 Y 的联合概率密度。 2 边缘分布二维随机变量 X ，Y 作为一个整体， 具有分布函数F x， y.而X和Y都是随机变量， 各自也有分布函数， 将他们分别记为F x),y，依次称为二维随机变量， XFYX Y专业资料整理WORD格式5专业资料整理WORD格式关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数。pipij PX x i ， i1,2，p jpij PY y i ，j1

13、,2，j1i 1分别称 pipj为 X ，Y 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律。( )( , ( )( , 分别称f ( x)，f X xf x y dyf Y yf x y dxXfY (y) 为X，Y关于X和关于Y的边缘概率密度。 3 条件分布定义设 X ， Y 是二维离散型随机变量，对于固定的j ，假设PYy j 0,那么称 P X xi YP Xxi ,Yyj pij,i1,2,为在 Yy jyj y jp j条件下PY随机变量 X 的条件分布律， 同样PYy jXX i P Xxi ,Yy j pij, j1,2,P X xi pi为在 Xxi条件下随机变量X 的条件分布律。设二维

14、离散型随机变量 X ，Y 的概率密度为f ( x, y) ，X，Y关于Y的边缘概f ( x, y)率密度为f Y ( y) ，假设对于固定的y，fY( y) 0，那么称为在 Y=y 的条件下X 的条件fY ( y)f ( x, y)概率密度，记为f X Y (x y) =f Y ( y) 4 相互独立的随机变量定义 设及( x)，FY ( y)分别是二维离散型随机变量X ，Y 的分布函F x， y FX数及边缘分布函数.假设对于所有 x,y 有P X x, Y y P X xPYy ，即F x, y FX ( x)FY (y) ，那么称随机变量X 和 Y 是相互独立的。对于二维正态随机变量X

15、，Y ，X 和 Y 相互独立的充要条件是参数0 5 两个随机变量的函数的分布1，Z=X+Y 的分布设 (X,Y) 是二维连续型随机变量，它具有概率密度f ( x, y) .那么Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为f X Yz)f(z y y dy或f X Yzfxz xdx(, ( )( ,专业资料整理WORD格式6专业资料整理WORD格式又假设 X 和 Y 相互独立，设X ，Y 关于 X ，Y 的边缘密度分别为f X ( x), f Y ( y) 那么f( z)f( zy fy)dy 和 f( z)f( x f (zx)dx 这两个公式称为XYXYXYXYf X , fY的卷积公式有限

16、个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布2，ZY的分布、 ZXY的分布X设 (X,Y) 是二维连续型随机变量，它具有概率密度f ( x, y) ，那么 ZY，ZXYX仍为连续性随机变量其概率密度分别为fY Xzx fx xz dx( )( , )f XY ( z)1 f ( x, z )dx 又假设X和Y相互独立，设X，Y关于X，Y的边缘密度分别*为f X( x), f Y ( y)那么可化为 fz)fxfY (xz dxY X (X ( )1zf XY ( z)xf X (x) fY (x ) dx3 MmaxX ，Y 及 Nmin X ,Y的分布设 X ， Y 是两个相互独立的随

17、机变量，它们的分布函数分别为FX ( x), FY ( y) 由于MmaxX ，Y 不大于z等价于X和Y都不大于z故有 PMzPXz,Yz 又由于X 和 Y 相互独立，得到MmaxX，Y的分布函数为Fmax z)F Xz FYz( )( )Nmin X ,Y 的分布函数为 Fmin ( z)11FX ( z) 1 FY ( z)第四章随机变量的数字特征 1数学期望定义设离散型随机变量X 的分布律为P Xxk pk，k=1,2，假设级数xk pk绝对k1收敛， 那么称级数xk pk的和为随机变量X 的数学期望， 记为E( X )，即E(X )xk pkk 1i设连续型随机变量X 的概率密度为f

18、(x) ，假设积分xf ( x) dx 绝对收敛，那么称积分专业资料整理WORD格式7专业资料整理WORD格式xf ( x)dx 的值为随机变量X 的数学期望，记为E( X )，即E(X )xf ( x)dx定理设 Y 是随机变量 X的函数 Y= g( X ) (g 是连续函数 ) i 如果 X 是离散型随机变量 ，它的分布律为P Xx k pk，k=1,2，假设g( xkpkk 1绝对收敛那么有 E( Y )E(g ( X )g( xkpkk 1 ii 如果 X 是连续型随机变量 ，它的分概率密度为f (x) ，假设g( x) f (x)dx 绝对收敛那么有 E(Y ) E( g( X )g

19、( x) f ( x)dx数学期望的几个重要性质1设 C 是常数，那么有E(C)C2设 X 是随机变量， C 是常数，那么有E(CX )CE(X )3设 X,Y是两个随机变量，那么有E ( XY )E(X )E(Y) ；4设 X， Y 是相互独立的随机变量，那么有E(XY )E(X )E(Y)2方差定义设 X 是一个随机变量，假设EXE( X ) 2 存在，那么称 E XE(X) 2 为X的方差，记为 D x即 D x=2EXE(X) ，在应用上还引入量D( x)，记为( x)，称为标准差或均方差。D(X) E(X E(X)2E(X 2) (EX)2方差的几个重要性质1设 C 是常数，那么有D

20、 (C)0,2设 X 是随机变量， C 是常数，那么有D (CX )C2D(X) ， D(X C) D(X)3设 X,Y 是两个随机变量，那么有D ( XY)D(X)D(Y)2E(X - E(X)(Y- E(Y) 特别，假设 X,Y 相互独立，那么有D(X Y)D(X)D(Y)4D( X ) 0 的充要条件是X以概率 1 取常数E(X)，即P X E( X ) 1切比雪夫不等式 ：设随机变量X 具有数学期望E( X )2 ，那么对于任意正数，不等式专业资料整理WORD格式8专业资料整理WORD格式2PX-2成立 3 协方差及相关系数定义量EXE( X ) Y E(Y ) 称为随机变量X 与 Y

21、 的协方差为Cov ( X ,Y )，即Cov ( X , Y) E( XE( X )(Y E(Y ) E( XY )E ( X )E(Y)专业资料整理WORD格式而XYCov (X ， Y 称为随机变量X 和 Y 的相关系数D(X)D(Y)专业资料整理WORD格式对于任意两个随机变量X 和Y，D ( XY)(X)( )2(,Y)DD YCovX_协方差具有下述性质1 Cov ( X ,Y )Cov(Y , X ), Cov( aX , bY)abCov ( X ,Y )专业资料整理WORD格式2 Cov( X1X 2,Y)Cov( X 1 ,Y )Cov( X 2 ,Y )定理1XY12XY

22、1的充要条件是，存在常数a,b 使P Y abx1当XY0时，称 X 和Y 不相关附：几种常用的概率分布表分布参数分布律或概率密度数学期望两点分0p1P Xk) pk (1p)1k , k0,1 ，p布二项式n1P( X k )Cnk p k (1p) nk , k0,1,n ，np分布0p1泊松分0P( Xk e, k0,1,2,布k)k!方差p(1p)np(1p)专业资料整理WORD格式几何分P( X k)(1p) k 1 p, k 1,2,10 p 1p布均匀分f ( x)1, a x babb aa b，2布0，其他1 pp2(ba)122专业资料整理WORD格式9专业资料整理WORD格