北师大版数学八年级上册 27 二次根式的运算 教案

1、适用学科初中数学适用年级初二适用区域北师版区域课时时长（分钟）2课时知识点二次根式的定义和性质最简二次根式及化简同类二次根式二次根式的计算教学目标1.认识二次根式和最简二次根式的概念.2.探索二次根式的性质 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式4.通过对公式的反向运用，达到化简的目的学会一种特殊的思考方法5.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识6.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性教学重点利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式，并进行计算教学难点利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式，并进行计算【教学建议】 在利用勾股定理解决实际问题的过

2、程中，体验数学学习的实用性, 将实际问题抽象成数学问题,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想【知识导图】教学过程一、导入同学甲说：，与 不是“一家人”为什么呢？学习了本节课内容后，相信大家一定找到满意的答案二、知识讲解考点1 生活中的立体图形【教学建议】考点1 二次根式问题1 ：，（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征? 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.一般地，式子叫做二次根式.a叫做被开方数强调条件： 问题2：二次根式怎样进行运算呢? 答：这是我们本节课要解决的新问题意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础考点2 二次根式的性质（一）内容：通过探究得出

3、，具体过程如下：（1），； 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？意图：最终归纳出（a0，b0），（a0， b0）说明：公式中字母a0，b0（或b0）这一条件是公式的一部分，不应忽略（2）用计算器计算：反过来（a0，b0），（a0， b0）仍成立.考点3最简二次根式 例1 化简（1）；（2）；（3）.观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论.被开方数中都不含分母，也不含能开得尽

4、的因数。一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。 化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。例2.化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）答案：（1）；（2）； （3）；（4）；（5）问题： （1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断是最简二次根式的？ （2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因

5、数，开方后写到了根号外面从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简考点4 同类二次根式将二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式.二次根式的加减（1）化成最简二次根式 （2）找出同类二次根式 （3）合并同类二次根式将系数相加仍作系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简 判断 合并 注意：（1）化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分。（2）整式加法运算中的交换律、结合律、去括号、添括号法则在二次根式运算中仍然适用。（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式。考

6、点 5 二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大简化。注意：在进行二次根式的计算时，能用乘法公式的要尽量适用三 、例题精析类型一 二次根式1要使根式有意义，则字母x的取值范围是_【解析】【总结与反思】二次根式的定义类型二 二次根式的性质1.能使等式成立的x的取值范围是（ ）Ax2 Bx0 Cx2 Dx2【解析】C由题意可得，解得x2.【总结与反思】二次根式的性质.2.下列

7、计算正确的是( )A. B. C. D. 【解析】A【解析】A. ，正确； B不是同类二次根式不能合并，错误；C，错误； D，错误故选A【总结与反思】 二次根式的性质类型三 最简二次根式下列根式中属最简二次根式的是（ ）A B C. D. 【解析】AA、是最简二次根式，符合题意；B、，故不是最简二次根式，故此选项错误；C、，故不是最简二次根式，故此选项错误；D、，故不是最简二次根式，故此选项错误； 故选A【总结与反思】最简二次根式的定义类型四 同类二次根式在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A和 B和 C和 D和【解析】B A、，和不是同类二次根式；B、，和是同类二次根式；C、，和不是同

8、类二次根式；D、和不是同类二次根式，故选：B【总结与反思】同类二次根式的判定类型五 二次根式的混合运算计算（+）（-）的结果为 【解析】-1根据平方差公式：（a+b）（ab）=a2b2,(+)(-)=()²-()²=-1【总结与反思】混合运算顺序及整式乘法公式.四 、课堂运用基础当x_时，式子有意义 若有意义，则a能取得的最小整数值是_若有意义，则_下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )(A)(B)(C)(D)5下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )(A)(B)(C)(D)6.计算下列各式（1） (2) 答案与解析1.【答案】【解析】二次根式的定义及代数式有意义的条

9、件.2.【答案】0【解析】二次根式的定义3.【答案】1【解析】二次根式的定义4.【答案】D【解析】简二次根式的定义5.【答案】D【解析】同类二次根式的判定6 【答案】（1）24;（2）【解析】（1）原式=（2）原式=巩固巩固1要使根式有意义，则字母x的取值范围是_2在下列各组根式中，是同类二次根式的是( )(A)和(B)和(C)和(D)和3下列各组式子中，不是同类二次根式的是( )(A)与(B)与(C)与(D)与4下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )(A)(B)(C)(D)5.计算下列句式. (1) (2) 答案与解析1.【答案】且x2 【解析】二次根式的定义及代数式有意义的条件.2.【

10、答案】B【解析】同类二次根式的判定.3.【答案】C【解析】同类二次根式的判定4.【答案】D【解析】同类二次根式的判定5.【答案】（1）6;(2) 【解析】(1)原式=(2)原式=拔高1.x为实数，下列式子一定有意义的是( )(A)(B)(C)(D)2计算的结果是( )(A)3(B)(C)(D)3在二次根式中同类二次根式的个数为( )(A)4(B)3(C)2(D)14.计算下列各式 (1) (2)答案与解析1.【答案】D【解析】代数式有意义的条件.2.【答案】B【解析】二次根式的运算3.【答案】C【解析】同类二次根式的判定.4.【答案】（1）;（2）【解析】（1）原式=（2）原式=五 、课堂小结

11、本节讲了4个重要内容：1.二次根式的定义2.二次根式的性质3.最简二次根式 4.同类二次根式六 、课后作业基础1使式子有意义的实数x的取值范围是( )(A)x1(B)x1且x2(C)x2(D)x1且x22.化简的结果是( )(A)(B)(C)(D)3.若最简二次根式与是同类二次根式，则b的值是( )(A)0(B)1(C)1(D)4.计算的值是 答案与解析1.【答案】A【解析】代数式有意义的条件.2.【答案】C【解析】化简二次根式.3.【答案】C【解析】同类二次根式的判定.4. 【答案】【解析】原式=故答案为：巩固1. 化简下列各式：(1) (2)；2.若a0，则化简后为( )(A)(B) (C) (D)3.若ab0，则化简的结果是_答案与解析1.【答案】(1) (2)【解析】（1）原式= （2）原式=2.【答案】B【解析】3.【答案】【解析】的被开方数a2b0，而a20，所以b0又因为ab0，所以a、b异号，所以a0，所以拔高1.若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数a= 2.当1时，化简：3.