单位根检验与结构突变的理论方法及应用

1、单位根检验与结构突变的理论、方法及应用南开大学经济学院数量经济学专业博士生导师中国数量经济学会常务理事 张晓峒1典型随机过程简述。在介绍单位根检验之前，先认识一下各种随机过程的表现形式。（1）白噪声过程（white noise，如图1）。属于平稳过程。yt = ut, ut IID(0, s2)图2是日元兑美元差分序列（收益序列），近似于白噪声序列。（2）随机游走过程（random walk，如图3）。属于非平稳过程。yt = yt-1 + ut, ut IID(0, s2)图4是深圳股票综合价格收盘指数序列，近似于随机游走过程。随机游走的差分过程是平稳过程（白噪声过程）。Dyt = ut。

2、图1 白噪声序列（s2=1） 图2 日元兑美元差分序列 图3随机游走序列（s2=1） 图4深圳股票综合指数 图5 随机趋势非平稳序列（m = 0.1） 图6 随机趋势非平稳序列（m = -0.1）“随机游走”一词首次出现于1905年自然（Nature）杂志第72卷Pearson K. 和 Rayleigh L.的一篇通信中。该信件的题目是“随机游走问题”。文中讨论寻找一个被放在野地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。（3）随机趋势非平稳过程（stochastic trend process）或差分平稳过程（difference- stationary process）、有漂移项的非平稳过程

3、（non-stationary process with drift）。见图5和6。属于非平稳过程。yt = m + yt-1 + ut , ut IID(0, s2)迭代变换，yt = m + (m + yt-2 + ut-1) + ut = = y0 + m t += m t +因为随机趋势过程是由一个确定性时间趋势mt和一个随机游走组合而成，所以随机趋势过程由确定性时间趋势所主导，表现出很强的趋势性。yt围绕着mt变化，但不会回到mt。趋势的方向完全由m的符号决定。m为正时，趋势向上（见图5）；m为负时，趋势向下（见图6）。对yt做一阶差分，Dyt = m + ut，为平稳过程。差分平稳

4、过程由此得名。E(Dyt) = m。当yt表示对数变量时，E(Dyt)表示平均增长率。随机趋势非平稳过程的差分过程是平稳过程。Dyt = m + ut 。 图7 退势平稳序列（m =0, a=0.1） 图8 确定性趋势非平稳序列（m =0.1, a=0.1）（4）趋势平稳过程（trend-stationary process）或退势平稳过程（见图7）。属于非平稳过程。 yt = m + a t + ut, ut IID(0, s2)因为该过程是由确定性趋势m + a t和平稳随机过程ut组成，所以称为趋势平稳过程。趋势平稳过程由确定性时间趋势t所主导。减去确定性时间趋势项at之后，过程变为平稳

5、过程，所以也称退势平稳过程。趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程。Dyt = a + ut - ut-1 。所以应该用退势的方法获得平稳过程。yt - a t = m + ut。（5）确定性趋势非平稳过程（non-stationary process with deterministic trend）（如图8）。属于非平稳过程。 yt = m + a t + yt-1+ ut, ut IID(0, s2)确定性趋势非平稳过程中含有随机趋势、确定性趋势并含有单位根成分。过程由确定性时间趋势所主导。减去确定性时间趋势项之后，过程仍是非平稳过程。这种过程的时间趋势性比随机趋势非平稳过程和退势平稳过程

6、更强烈、明显。 yt = m + a t + yt-1 + ut = m + a t + (m + a (t-1) + yt-2 + ut-1) + ut = = y0 + m t + a t 2 - a (1+2 + t) += y0 + m t + a t 2 -( 1+ t ) t += (m -) t +t 2 + (设定y0=0)含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程实际上是随机游走加上一个时间t的2次方过程。这种过程在经济问题中非常少见。 确定性趋势非平稳过程的差分过程是退势平稳过程，Dyt = m + a t + ut。确定性趋势非平稳过程的退势过程是非平稳过程，yt - a t

7、 = m + yt-1+ ut。只有既差分又退势才能得到平稳过程，Dyt - a t = m + ut。图9 对数的中国国民收入序列 图10 中国人口序列图9是对数的中国国民收入序列，近似于随机趋势非平稳序列和退势平稳序列。图10是中国人口序列，近似于确定性趋势非平稳序列。对于单位根过程（差分平稳），每个随机冲击都具有长记忆性，方差趋于无穷大，其均值概念变得毫无意义；对于退势平稳过程，随机冲击只具有有限记忆能力，其影响会很快消失，由其引起的对趋势的偏离只是暂时的。对退势平稳序列，只要正确估计出其确定性趋势，即可实现长期趋势与平稳波动部分的分离。大量的实证研究显示，不变价格的宏观经济序列为退势平

8、稳过程的可能性远大于名义价格的宏观经济序列。中国的GDP、固定资产投资和居民消费等序列均为退势平稳序列。这意味着，改革开放以来，中国的经济增长虽然因为受到各种冲击因素的影响而出现不同程度的偏离趋势的上下波动，但这种偏离是暂时的，从较长时期来看，经济增长总体上沿着确定的均衡增长路径平稳运行。而随机趋势过程虽然也有长期引力线，但其数据生成过程含有单位根，随机冲击对它具有持续的长期影响。只有通过差分才能使其平稳，属于差分平稳过程。例：给出对数的中国GDP序列如下。无论采取线性退势，还是2次退势，所得序列都是平稳序列。 线性趋势 2次趋势 ADF= -3.05 < ADF(0.05) = -1.

9、95 ADF= -4.36 < ADF(0.05) = -1.952单位根检验步骤。单位根检验做得不好常常会把退势平稳过程误判为随机趋势非平稳过程（隐性趋势）和确定性趋势非平稳（显性趋势）过程。检验时间序列中是否含有单位根时常会碰到如下几种问题：（1）当被检验过程（d.g.p.）的形式未知时，应该考虑到其中是否含有随机的或确定性的时间趋势成分。（2）被检验过程（d.g.p.）的形式通常要比AR(1) 形式复杂，可能是高阶自回归过程或含有移动平均成分。（3）当被检验随机过程接近含有单位根但实为平稳过程（特征根小于1，但接近1）时，在有限样本、特别是小样本条件下的单位根检验结果容易接受原假设

10、，误判为单位根过程，即检验功效降低。（4）应该注意的是当被检验过程中含有未发现的突变点时，常导致单位根检验易于接受零假设（非平稳过程）。（5）对于季节随机过程除了检验零频率单位根外，还要检验季节单位根（不讲）。 检验单位根通常有3种方法。（1）DF（ADF）检验法（Dickey-Fuller,1979）、（2）CRDW（cointegration regression DW）检验法（Sargan-Bhargava,1983）、（3）PP（或Z）检验法（Phillips,1987）。最常用的是DF（和ADF）检验法。DF检验式的一种形式是 yt = b yt-1 + ut , ut IID(0,

11、 s2) (1.a)H0：b =1，H1：b <1。检验统计量DF =或 D yt = r yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (1.b)其中r = b -1。H0：r = 0，H1：r < 0。检验统计量DF =。其中和分别表示b 和r 的OLS估计量。检验式(1.b)更常用。尽管DF计算公式与t统计量相同，但在H0：r = 0成立（yt非平稳）条件下，DF不服从t分布，而服从DF分布。以b = 1的（1）式为数据生成系统（d.g.p.），DF分布百分位数用蒙特卡罗模拟的方法得到（见表1第1部分）。检验用临界值从中查取（摘自Fuller（1976）。用（1）式检验

12、单位根等价于先验认定被检验过程yt是一个零均值、无趋势项的AR(1)过程。因为只有当一个含有单位根的随机过程中不含有确定性变量，那么该过程的均值完全由初始值决定，所以y0 = 0。可见，只有在一个过程的均值为零时，使用（1）式检验单位根才是正确的。换句话说，如果被检验的过程的均值非零，就应该首先减去这个均值，然后再用（1）式检验单位根。但实际中，被检验过程的均值一般是不知道的。所以，当不知被检验过程的均值是否为零，或不知其初始值y0是否为零时，应该用下式检验单位根。 yt = m + b yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (2.a)H0：b =1，H1：b <1。检验统

13、计量DF =或 D yt = m +r yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (2b)其中r = b -1。H0：r = 0，H1：r < 0。检验统计量DF =。其中和分别表示b 和r 的OLS估计量。DF检验临界值应从表1第2部分查找。条件是数据由b =1的（1）式生成，而DF检验式是（2）式。注意，估计（2）式得到的 和DF的分布都不受y0取值的影响。这一点太重要了。否则必须先知道y0的值和DF分布才能进行单位根检验。 表1 DF分布百分位数表DF检验式 T a 0.01 0.025 0.05 0.10 0.90 0.95 0.975 0.99 25- 2.66- 2

14、.26- 1.95- 1.600.921.331.702.16 50- 2.62- 2.25- 1.95- 1.610.911.311.662.08 (a) 100- 2.60- 2.24- 1.95- 1.610.901.291.642.03检验式 (1) 250- 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.291.632.01 500- 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.281.622.00 ¥- 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.281.622.00 25- 3.75- 3.33- 3.00- 2.63- 0.370.0

15、00.340.72 50- 3.58- 3.22- 2.93- 2.60- 0.40- 0.030.290.66 (b) 100- 3.51- 3.17- 2.89- 2.58- 0.42- 0.050.260.63检验式 (2) 250- 3.46- 3.14- 2.88- 2.57- 0.42- 0.060.240.62 500- 3.44- 3.13- 2.87- 2.57- 0.43- 0.070.240.61 ¥- 3.43- 3.12- 2.86- 2.57- 0.44- 0.070.230.60 25- 4.38- 3.95- 3.60- 3.24- 1.14- 0.8

16、0- 0.50- 0.15 50- 4.15- 3.80- 3.50- 3.18- 1.19- 0.87- 0.58- 0.24 (c) 100- 4.04- 3.73- 3.45- 3.15- 1.22- 0.90- 0.62- 0.28检验式 (3) 250- 3.99- 3.69- 3.43- 3.13- 1.23- 0.92- 0.64- 0.31 500- 3.98- 3.68- 3.42- 3.13- 1.24- 0.93- 0.65- 0.32 ¥- 3.96- 3.66- 3.41- 3.12- 1.25- 0.94- 0.66- 0.33 t(¥) N(0

17、,1)- 2.33- 1.96- 1.65- 1.281.281.651.962.33 注：1. 适用于DF检验式(1), (2) 和 (3)。T：样本容量，a：检验水平。 2. d.g.p.是yt = yt-1 + ut , ut IID(0, s2)。 3. 摘自Fuller (1976) 第373页。 DF检验式（2）中t()的分布见图11。t()不再服从t分布。可见对m的显著性检验也应该用蒙特卡罗模拟结果计算。T = 50条件下，临界值t()0.05 = -2.57，临界值t()0.95 = 2.51。 图11 t()统计量分布的蒙特卡罗模拟（T =50，模拟1万次） 当真实的随机过程

18、如（2）式时，就不能用（2）式检验单位根了。因为当 r = 0时，yt是一个随机趋势非平稳过程。根据m的符号（正或负）分别呈向上或向下的固定趋势变化。当r < 0时，yt是一个以m / (-r )为均值的平稳过程，不含有趋势分量。所以这种条件下，用（2）式检验单位根就没有办法包括零假设和备择假设所有可能结果即不能包括退势平稳过程，yt = m +at + ut (3)所以有必要在检验式中加入确定性时间趋势项at，即用下式检验单位根。 yt = m +at + b yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (4a)H0：b =1，H1：b <1。检验统计量DF =或 D y

19、t = m +at +r yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (4b)其中r = b -1。H0：r = 0，H1：r < 0。检验统计量DF =。其中和分别表示b 和r 的OLS估计量。原假设： a = 0，r = 0；原假设之一：a = 0，r ¹ 0（平稳过程）；原假设之一：a ¹ 0，r ¹ 0（退势平稳过程）；DF检验临界值应从表1第3部分查找。条件是数据由b =1的（1）式生成，而DF检验式是（4）式。DF检验式（4）中t(), t()统计量分布的蒙特卡罗模拟结果见图12。t(), t()的分布近似相同，但服从的不是t分布，所以不

20、能用通常的t分布临界值做显著性检验。T =100条件下，临界值t()0.05 = -2.80，临界值t()0.95 =2.87；临界值t()0.05 = -2.89，临界值t()0.95 =2.66。 图12 t(), t()统计量分布的蒙特卡罗模拟（T =100，模拟1万次）图13 （1）、（2）、（4）式中DF分布的蒙特卡罗模拟（T =50，模拟1万次）与正态分布曲线数据由b =1的（1）式生成，而DF检验式是（1）、（2）、（4）的DF分布的蒙特卡罗模拟结果见图13。从图13和表1都可以看出检验式中随着m和at项的加入，相应的DF分布或临界值逐渐向左移，即临界值相应变小。可见在不正确地使

21、用了缺少m和at项的检验式将导致以过大的概率拒绝零假设。检验式中加入的确定性成分越多，这种情形越严重。注意：（4）式中的r 和DF的分布不受y0和m值的影响。若实际过程是（4）式（同时存在随机趋势和确定性趋势）。这时应该用带有t2趋势项的检验式检验单位根。但实际中可以排除这种情形。因为经济序列在取对数的情况下不可能含有t2的增长趋势。注意：也可以对（4）式进行联合检验，H0：a =r =0。但所用的F统计量不再服从F分布。而服从如表2的分布。对于检验式（4），若r =0不能被拒绝，但F检验的零假设a =r =0被拒绝，这意味着a ¹0，则yt是一个确定趋势加单位根过程。这时随机单位根

22、过程完全被确定性趋势t所主导，对应于r的DF统计量渐近服从标准正态分布。这时应该查t分布或标准正态分布临界值表。表2 对（4）式进行联合检验H0：a =r =0的F分布表T1-a0.010.0250.050.100.900.950.9750.99250.760.901.081.335.917.248.6510.61500.760.931.111.375.616.737.819.311000.760.941.121.385.476.497.448.732500.760.941.131.395.396.347.258.435000.760.941.131.395.366.307.208.340.7

23、70.941.131.395.346.257.168.27s.e.0.0040.0040.0030.0040.0150.0200.0320.058摘自：Dickey-Fuller（1981）对于（2）式也可能发生类似情形。当r =0被接受，F检验的零假设m =r =0被拒绝，这意味着m ¹0，于是非平稳单位根过程被随机趋势主导。对应于r的DF统计量渐近服从t分布。对（2）式进行联合检验，H0：m =r =0。但所用的F统计量不再服从F分布。实际分布见表3。表3 对（2）式进行联合检验H0：m =r =0的F分布表T1-a0.010.0250.050.100.900.950.9750.

24、99250.290.380.490.654.125.186.307.88500.290.390.500.663.944.865.807.061000.290.390.500.673.864.715.576.702500.300.390.510.673.814.635.456.525000.300.390.510.673.794.615.416.470.300.400.510.673.784.595.386.43s.e.0.0020.0020.0020.0020.010.020.030.05摘自：Dickey-Fuller（1981）注意：当上述两种F检验的结论是拒绝零假设H0：m =r =0（

25、对应（2）式），a =r =0（对应（4）式）时，分别为m ¹0，r =0；a ¹0，r =0。被检验的真实过程和检验式具有了相同的形式（非平稳过程且含有确定性成分）。此时称检验为准确检验（exact test），而利用DF统计量临界值的检验称作近似检验（similar test，含义是可以用t统计量检验）。使用准确检验时有两点需要注意：（1）只有当待检验d.g.p.中有非零漂移项（或趋势项），而相应DF（ADF）检验式中也含有漂移项（或趋势项）时，DF（ADF）统计量才渐近服从t分布。比如d.g.p.中不含有趋势项，而相应DF（ADF）检验式中含有趋势项，这意味着应该使用

26、DF分布的临界值。因为一般不敢保证对DF（ADF）检验式的设定完全与d.g.p.形式吻合，所以在实际中使用DF分布的临界值更安全些。（2）Banerjee等认为，尽管当DF（ADF）检验式中含有漂移项或（和）趋势项，样本容量T时，使用t分布临界值要好些，但在有限样本条件下，还是使用DF分布的临界值做单位根检验更好些。（3）当在检验式中不适当地多加一些确定项（如漂移项m，趋势项t等），尽管真实的过程是平稳的，DF检验仍将以更大的概率接受原假设（非平稳），导致DF检验功效降低。（4）因为对于检验式（1）、（2）、（4），DF检验临界值越来越向左移，说明检验式中增加确定项，使临界值变得越来越小（绝对

27、值变得越来越大）。尽管d.g.p.是平稳的，但检验结果却很难拒绝原假设（非平稳）。（5）尽管增加多余参数会降低检出平稳序列的功效，当被检验过程的真实形式未知时，仍建议用（4）式（尽量多含确定性项）检验单位根。因为如果检验式中确定项（漂移项或趋势项）不足，将不能把原假设和备择假设的所有情形都包括在假设中。给出单位根检验顺序如下。首先从（4）式开始。若检验结果为拒绝原假设，序列具有平稳性，检验结束。若不能拒绝原假设，则逐步剔除趋势项和漂移项（即增加约束条件）直至拒绝原假设为止。若一直不能拒绝原假设，说明原序列是一个非平稳过程。具体检验步骤见表4。表4 被检验过程（d.g.p.）未知条件下的单位根检

28、验步骤DF单位根检验式统计量说明1Dyt = m +at +r yt-1 + utH0：r =0DF若拒绝H0，yt为平稳过程。检验止。若接受H0，进入下一步，做F检验。2Dyt = m +at +r yt-1 + utH0：a =r =0F若拒绝H0，意味着a ¹0，yt含时间趋势。继续做3a式检验。若接受H0，进一步做3 b式检验。3aDyt = m +at +r yt-1 + utH0：r =0t若拒绝H0，yt为退势平稳过程。检验止。若接受H0，yt为趋势非平稳过程。检验止。3bDyt = m +r yt-1 + utH0：r =0DF若拒绝H0，yt为均值为m的平稳过程。检

29、验止。若接受H0：r =0，进入下一步检验。4Dyt = m +r yt-1 + utH0：m =r =0F若拒绝H0，意味着m ¹0，yt为随机趋势非平稳过程。继续做5a式检验。若接受H0：m =r =0，进一步做5 b式检验。5aDyt = m +r yt-1 + utH0：r =0t若拒绝H0，yt为平稳过程。检验止。若接受H0，yt为随机趋势非平稳过程。检验止。5bDyt = r yt-1 + utH0：r =0DF若拒绝H0，yt为平稳过程。检验止。若接受H0，yt为随机游走过程。检验止。DF检验流程图如图13。(1) 检验式yt为平稳过程。检验止。 若拒绝H0 若接受H0

30、yt为退势平稳过程。检验止。式(3a) 检验式进入(2) 检验式。 做F检验 (2) 检验式 若拒绝H0 若拒绝H0 若接受H0yt为趋势非平稳过程。检验止。式 若接受H0进入(3b) 检验式 yt为平稳过程。检验止。 若拒绝H0若接受H0进入(4) 检验式。 yt为平稳过程。检验止。 (5a) 检验式 若拒绝H0 若拒绝H0 若接受H0 若接受H0yt为随机趋势非平稳过程。检验止。 进入(5b) 检验式 若拒绝H0yt为平稳过程。检验止。 若接受H0 随机游走过程。检验止。 图13 单位根检验流程图3ADF检验如果被检验的真实过程是一个AR(p) 过程，而检验式是AR(1)形式，那么由于对y

31、t形式的设定错误，检验式对应的误差项必然表现为自相关。因为假定检验式误差项是非自相关的，所以当误差项具有相关性时，回归参数的检验统计量不再服从DF分布。假定yt是AR(p) 过程，yt = f1 yt-1 + f2 yt-2 + + f p yt-p + u t 检验式应写为yt = b yt-1 + + ut Dyt = r yt-1 + + ut (5)其中r = b -1 = ()-1，fj* = -, j = 1, 2, , p 1。如果r = 0成立，则yt含有单位根。称此检验为ADF（增项或扩展的DF）检验。称此统计量为ADF统计量。检验用临界值从附表6的第1部分中查找。注意，只有

32、在样本容量充分大的前提下，才可以用表1的第1部分中的临界值。因为在小样本条件下ADF分布与DF分布不一样。与上面的讨论相仿，在ADF检验式（5）中也可以加入漂移项m 和时间趋势项t。检验用临界值从表1的2、3部分中查找。同理这些临界值也是在样本容量充分大的前提下才可用。对于下式 Dyt = r yt-1 +m + ut (6)原假设认为yt是一个非平稳过程，备择假设认为yt是一个均值非零的平稳过程。对于下式 Dyt = r yt-1 +m +a t + ut (7)原假设认为yt是一个非平稳过程，备择假设认为yt是一个确定性趋势平稳过程。ADF检验式（5）、（6）、（7）也可以扩展到d.g.p

33、.带有移动平均成分的情形。只要检验式中的附加项Dyt-j充分多，就能够对ARMA(p,q)形式的yt做很好的近似，从而保证ut为白噪声。因为实际中yt的具体形式未知，所以差分滞后项Dyt-j个数的选择非常重要。滞后项个数太少，会导致当原假设为真时，拒绝原假设的概率变大。当滞后项个数太多时，又会导致检验功效降低（当备择假设为真时，检出的概率变低）。有人主张通过附加项是否具有显著性以及调整的可决系数确定ADF检验式中差分滞后项的个数。如果是线性检验式，这种判别方法与赤池准则是等价的。也有人认为用调整的可决系数判别滞后项数不尽如人意。各种形式（ARMA、AR、MA）的yt的蒙特卡罗试验结果显示这种判

34、别方法存在一些问题。所以Schwert建议用下式确定最佳滞后期数k。k = int12(T/100)1/4其中int表示整数（比一般想象的要多）。 例1：日本人口序列的单位根检验图14 日本人口序列Dyt = -0.0250 yt-1 -0.2098Dyt-1 +0.0092 +0.00025 t + ut(-2.6)* (2.3) (3.6) (3.1)R2=0.23, DW=2.0, ADF(0.05) = -3.45, t=1, (1878年), T=119因为时间趋势项的t值是3.1，有显著性（有确定性时间趋势），ADF=-2.6，无显著性，所以，日本人口序列为趋势非平稳过程。例2：深

35、圳综合成指收盘价序列如图15。检验是何种过程。图15 深圳综合成指收盘价序列首先按（4）式估计，Dyt = -0.0004 yt-1 +0.4100 -0.0030 t + ut(-0.1)* (0.7) (-1.0) R2=0.006, DW=2.0, ADF(0.05) = -3.42, T=660因为时间趋势项的t值是-1.0，无显著性（无确定性时间趋势），DF=-0.1，接受H0，进一步按（2）式估计，Dyt = -0.0050 yt-1 +2.8541 + ut(-1.8)* (1.9) R2=0.005, DW=2.0, ADF(0.05) = -2.87, T=660因为DF=-

36、1.8，接受H0，漂移项的t值是1.9，无显著性（无随机时间趋势），进一步按（1）式估计，Dyt = -0.0002 yt-1 + ut(0.4)* R2=0.00-6, DW=2.0, ADF(0.05) = -1.94, T=660因为DF = 0.4 > -1.94，接受H0。深圳综合成指收盘价序列是单位根过程（非平稳）。3多重单位根的检验方法 若yt含有多重单位根，当对yt做单位根检验，结论必然是接受H0，说明yt是非平稳序列（起码为一阶非平稳序列）。接下来应该继续检验 D yt 的平稳性。检验式是 D 2 yt = r D yt-1 + ut (8)H0：r=0。若仍不能拒绝原

37、假设，则应该继续对D2yt序列做单位根检验。直至结论为平稳序列为止。从而获知 yt 为几阶单整序列。例如对D2yt序列的单位根检验结论是D2yt I(0)，则yt I(2)。 Dickey and Pantula（1987）对此提出异议。他们认为当yt I(2)时，备择选择是yt I(1)，而单位根检验的备择假设是yt I(0)。出现了不一致。这时需要检验的是D yt 是否为平稳序列。所以正确的检验程序应该是首先对yt取足够次数的差分，从而保证被检验序列为平稳序列。然后每次用减少一次差分次数的序列依次进行单位根检验。直至接受原假设为止。从而判断出yt的单整阶数。当yt I(2)时，D2yt I

38、(0)。首先应该做如下检验， D 2 yt = r D yt-1 + ut (9)如果结论是接受原假设，则yt I(2)有两个单位根。如果结论是拒绝原假设，则Dyt I(0)，yt I(1)。这种检验顺序才合理。实际中，经济时间序列的单整阶数不会超过2。所以对序列进行单位根检验的顺序应该是D2 yt，D yt，yt。Dickey and Pantula基于蒙特卡罗模拟的结论显示，当序列yt含有多重单位根时，从yt开始检验单位根，则拒绝原假设的能力有所下降。4单位根检验水平与功效在单位根检验中正确设定检验式的形式是非常重要的，另外差分滞后项数的多少也会对检验结果产生影响。有些因素会对单位根检验的

39、功效和样本容量的不同产生影响，特别是小样本情形下的单位根检验。为得出满意的检验结果，单位根检验的样本容量不宜太小，统计量的检验功效要高（即当原假设不成立时，结论应是推翻原假设）。但是在有限样本条件下，退势平稳过程可以用单位根过程近似（自协方差结构很相似），同样，在小样本条件下，任何一个单位根过程也可以用退势平稳过程近似。也就说单位根过程的有限样本特征更接近于（平稳）白噪声过程，而不是非平稳的随机游走（同时退势平稳过程的有限样本特征更像一个随机游走）。这意味着当以高功效拒绝备择假设（平稳过程）的同时，对近似平稳过程进行单位根检验时同样会以高概率不正确地拒绝单位根原假设。这种结论来自于特殊的退势平

40、稳过程和近似于退势平稳过程实为差分平稳过程的有限样本统计量的分布。Blough认为在样本容量和检验功效方面不可兼得。当d.g.p.是一个近似平稳过程（小样本容量特性）时，单位根检验必定以高概率错误地拒绝非平稳原假设，同时以低功效拒绝任何序列平稳的备择假设。有限样本条件下的非平稳和平稳过程单位根检验结果的这种类似性源自于ADF统计量渐近分布临界值。当考虑增项ADF检验统计量的分布时，用的却是理想状态下DF检验统计量的渐近分布临界值这也是产生上述问题的一个原因。Harris(1992b)建议用自举的方法处理单位根的ADF检验。5结构突变与单位根检验Perron指出，如果被检验过程是一个退势平稳过程

41、，并且在考虑的期间内存在趋势结构突变。如果不考虑这种趋势突变，当用ADF统计量检验单位根时，将会把一个带趋势突变的退势平稳过程误判为随机趋势非平稳过程。即进行单位根检验时不考虑结构突变，会导致检验功效降低（实为退势平稳过程，检验结果却认为是单位根过程）。同样，当进行单位根检验时，不考虑漂移项存在突变，或不考虑趋势项、漂移项同时存在突变，也会导致单位根检验功效降低。结构突变的两种形式。 例3：有T=100的均值突变平稳过程yt如图16。ADF检验式估计结果是图16 平稳加均值突变过程Dyt = -0.0119 yt-1 -0.3656 Dyt-1 + ut(-0.5)* (-3.8) R2=0.

42、14, DW=2.07, ADF(0.05) = -1.94,T=100由于ADF检验式没有考虑均值突变，检验结果yt是单位根过程。用虚拟变量（D=0，（1-50）；D=1，（51-100）区别突变前后两个时期，得ADF检验式如下：Dyt = -0.9499 yt-1 + 0.0126 Dyt-1 + 0.2714 + 7.3115 D + ut(-5.9)* (-0.1) (1.5) (5.7) R2 = 0.37, DW=1.84, ADF(0.05) = -1.94,T=100因为ADF= -5.9 < -1.94，所以，yt为带有均值突变的退势平稳过程。5.1外生性结构突变点的检

43、验方法结构突变点已知时，称其为外生性结构突变点。假定发生结构突变的时点已知为tB，则发生在截距的突变为m0+m1Dt，其中Dt = 1， t>tB时；Dt = 0， t<tB时；即在t > tB时，截距由m0突变到m0+m1。若单位根过程具有这种截距突变，即yt = m0+m1Dt +yt-1+ut, ut I(0) ，则称yt为具有结构突变的单位根过程。然而这种结构突变也有可能发生在时间趋势上或二者都有可能发生结构突变。为方便计，截距突变对应的模型为：模型A： yt = m0+m1Dt +d t-1+ut, （3.5）当ut I(1)时，称yt由结构变化的单位根过程所生成，

44、这一模型亦称崩溃模型。这是因为结构变化之后，yt的均值轨迹不再返回结构变化之前的均值轨迹。当突变发生在斜率而截距不变时，对应的模型为：模型B： yt = m0 +d 0 t +d 1 t* + ut, （3.6）其中t*= t- tB， t> tB时；t*=0， t< tB时。由于斜率反映增长率，因此也称模型B为变化的增长率模型。当截距和斜率同时具有结构突变时，对应的模型为：模型C： yt = m0 +m1Dt +d 0 t +d 1 t* + ut, （3.7）对于模型A，B，C，原假设和备择假设为：H0：ut I(1)， H1：ut I(0)当ut I(1)时，yt为结构突变的

45、单位根过程，而ut I(0)时，yt为结构突变的趋势平稳过程。基于上述分析结构突变的单位根检验就转化为对退化趋势之后的残差的单位根检验，其具体的检验步骤和方法如下：第一步：退化趋势。即根据数据特征或研究目的在模型A，B，C中选择一个，然后进行回归，得到的残差记做。第二步：用对-1回归。此时即使回归后的残差是独立同分布的，但是Perron（1989）证明，r的分布并不是标准的DF分布，而是与变化的时间先后l = tB/T有关，因此不宜直接使用DF临界值来确认r=1。另一方面，对大多数实际数据，退化趋势后的具有相关性，因此应该进一步考虑使用ADF检验。第三步：对作ADF检验，即回归下式 （3.8）

46、第四步：计算r=1的t统计量值t(r)，并使用Perron的临界值确定接受还是拒绝r=1。若接受则yt为结构突变的单位根；若拒绝则为结构突变的趋势平稳。表8 结构突变的单位根检验的渐近临界值模型统计量显著性水平0.010.0250.050.100.900.950.9750.99模型A-4.32-4.01-3.76-3.46-1.17-0.79-0.49-0.15-5.43-5.02-4.80-4.58-2.99-2.77-2.56-2.36模型B-4.49-4.17-3.93-3.65-1.80-1.47-1.21-0.85-4.91-4.60-4.36-4.09-2.32-2.12-1.97

47、-1.78模型C-4.90-4.53-5.24-3.96-1.96-1.69-1.43-1.07-5.57-5.30-5.08-4.82-3.25-3.06-2.91-2.72数据来源：B.Bhaskaro,Rao,1994.Perron使用仿真试验证明，若l=0或l=1，即无结构突变发生时，t统计量的临界值等同于DF临界值；在0<l<1时，Perron的临界值与DF的临界值有所差别，其中最大的差别在l=0.5时，当显著水平为5时，Perron的临界值为-3.76，而对应的DF临界值为 -3.41（4）式T®¥情形），相差0.35。Perron的临界值均小于相应

48、的DF临界值，但最大只相差0.35。因此，只要第三步的ADF检验的t统计量值t(r)与对应的DF临界值相差大于0.35，则基于DF临界值的结论一般不会产生实质性的错误。因此在实证研究中，当突变点已知且l ¹0.5时通常使用DF临界值，而当l=0.5时，如果t统计量值介于DF临界值和Perron临界值之间，则DF临界值拒绝单位根零假设，而Perron临界值接受单位根零假设。在这种情况下可以使用更高的显著性水平或者使用Perron的临界值（见表1）。 例4：中国对数的M0序列见图17。ADF检验式是图17 中国对数的M0序列DLMt = -0.0308 LMt-1 + 0.1663DLM

49、t-1 +0.1176 +0.0070 t + (-0.7)* (1.1) (0.9) (1.4) R2=0.16, DW=1.96, ADF(0.05) = -3.51因为时间趋势项的t值是1.4，无显著性（无确定性时间趋势），ADF=-0.7，接受H0，进一步按（2）式估计（去掉趋势项），DLMt = 0.0237 LMt-1 + 0.1350DLMt-1 -0.0285 + (1.8)* (0.9) (-0.4) R2=0.12, DW=1.92, ADF(0.05) = -2.93因为ADF=1.8，接受H0，漂移项的t值是-0.4，无显著性（无随机时间趋势），进一步按（1）式估计（去

50、掉漂移项），DLMt = 0.0191 LMt-1 + 0.1399DLMt-1 + (4.0)* (0.9) R2=0.12, DW=1.92, ADF(0.05) = -1.95ADF = 4.0。三个检验式都说明LMt是一个单位根过程。若以1978年为结构突变年，令D=0, (1953-1977)；D=1, (1978-1997)；1952年，t =1。得带有趋势突变点的ADF检验式如下：DLMt = -0.4268 LMt-1 +1.6704 +0.0244 t -1.6881 D +0.0655D t + (-3.7)* (4.1) (2.9) (-3.4) (3.8)R2=0.43,