2013高中数学奥数培训资料之高斯函数

1、WORD格式高斯函数数论函数y x ，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数x, x 是不超过x的最大整数，称 x 为x的整数局部.与它相伴随的是小数局部函数y x, xx x.由 x 、 x 的定义不难得到如下性质： 1y x 的定义域为R，值域为Z ；y x 的定义域为R，值域为0,1) 2对任意实数x ，都有 x x x, 且0 x1. 3对任意实数x ，都有 xx x 1, x1 x x . 4y x 是不减函数，即假设x1x2那么 x1 x2 ，其图像如图I 4 51；y x 是以1为周期的周期函数，如图I 4 52.图 4 5 1图 45 2 5 x

2、nn x; xn x .其中xR,nN .nn 6 xy x y; x x y xy; xi xi , xiR ；特别地，i 1i1naa n .bb 7 xy x y ，其中x, ynnR ；一般有xi xi , xiR ；特别地，i 1i 1 n x n x, xR ,nN . 8x x ，其中xR , n N .专业资料整理WORD格式nn专业资料整理WORD格式例题讲解1求证：2n 1n!n2k 1 , 其中k为某一自然数.n2k2对任意的n N ,计算和Sk 1 .K 02专业资料整理WORD格式5023计算和式Sn 0305n的值 .专业资料整理WORD格式4设 M 为一正整数，问

3、方程x 2 x 2 x 2，在1，M中有多少个解？专业资料整理WORD格式5求方程x 240x的实数解.451 0 x 2x3xnx6x R , n N ,证明: nx23.1n7对自然数n 及一切自然数x，求证： x x1 x 2 xn1 nx. .nnn8求出 10 20000 的个位数字101003例题答案：专业资料整理WORD格式1证明： 2 为质数， n! 中含 2 的方次数为专业资料整理WORD格式2( n! )n2t .t 1k 1假设 n2k 1 ,那么 2( n! ) 2k t 1 2k t 1 1 2 222k 22k 11 n 1t 1t 1故 2n 1 | n!.反之，

4、假设n 不等于 2 的某个非负整数次幕，可设n=2sp，其中 p>1 为奇数，这时总可以找出整数 t，使2t2sp 2t 1,于是n!中所含的方次数为2( n! ) 2s 1p 2s 2p2 2s t p 0( 2 s 12 s 22s t ) p 2 s t (2 t1) p 2s p2 s t pn 2s t p.由于 1 2s tp 2,那么 2s t2,故n!中含 2的方次数 2( n! )n 2, 那么2n 1n!. 这与已知矛盾，故必要性得证 .2解：因n 2n1 对一切k=0,1, ,成立，因此，2 k 12 k12 n1 2n n.2k 122k12k1又因为 n 为固定

5、数，当k 适当大时, n1,从而n0,故S(n n).2k2k 2k2k 1nK 03解：显然有：假设 x y1,那么 x y x y 1, x, yR.503 是一个质数，因此，对n=1,2, ,502,305n 都不会是整数，但305n +305(503 n)305,503503503可见此式左端的两数的小数局部之和等于1，于是， 305n+ 305(503n) 304. 故503503S502 305n 251( 305n 305(503n),304 25176304.n 1503n 1503503专业资料整理WORD格式4解：显然x=M是一个解,下面考察在1， M 中有少个解.专业资料

6、整理WORD格式设 x 是方程的解.将x2 x 22 x x x 2代入原方程，化简得2 x x专业资料整理WORD格式 2 x x x 2 .由于0 x1, 所以上式成立的充要条件是2x x 为一个整数.专业资料整理WORD格式设 xmN ,那么必有 xk( k 0,1, ,2m1),即在 m, m1)中方程有个解2m2m.又由于 1mM1, 可知在 1, M )中方程有 2(12(M1)M (M1)个解.因此,原方程在中有M ( M个解1,M1)1.5解：因 xx x 1,又 x0不是解 .4( x1) 240 x510,4x24 x510.(2 x5)( 2 x11)0.(2 x3)(2

7、x70. x5 x11,22 x3 , 或 x3 ,22 x17 ; x17 .22解得 x2或 x6或 7或 8, 分别代入方程得 :4 x2290, x29 ;24 x21890, x189 ;24 x22290, x229 ;24 x22690, x269 .2经检验知，这四个值都是原方程的解.6这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下.【证明】令 Ak x 2x kx , k 1,2, .2k由于 A1 x, 那么n1时, 命题成立 .专业资料整理WORD格式设nk时命题成立,即有A1 x, A2 2x, Ak1( k因为,11)x.AkAk1 kx,即kAkkAk 1kx对一

8、切 成立所以kAkkAk 1 kx, (k1)kk,Ak1(k 1)Ak2( k1) x,2A2 2 A1 2x, A1相加得: x.kAk( A1A2Ak1 ) x 2x( k1) xkx故 kAk x2x( k1) x kxAk 1Ak2A2A1 x 2x( k 1) xkx( k1) x ( k2) x 2x x( x( k1)x( 2x( k2)x)( k1) x x) kx kx kx kx kxk kxAk kx, 即nk时,命题成立 ,故原不等式对一切 nN均成立 ,证毕.7解： M |f(x)| max max|f |， |f( 1)|， |f( a )|2假设 |a | 1

9、(对称轴不在定义域内部)2则 M max|f |， |f( 1)|而 f 1 abf( 1)1 a b|f | |f( 1)| |f f( 1)| 2|a|4那么|f |和 |f( 1)|中至少有一个不小于2 M212 |a | 12M max|f |， |f( 1)|， |f(a )|22 max|1 ab|， |1 a b|， |a b|4 max|1 ab|， |1 a b|， |a2 b|， |a2 b|441(|1 a b| |1 a b| |a2 b| |a2 b|)4441(1 a b) (1 a b)(a2 b) (a2 b)444 1 ( 2 a 2)4212综上所述，原命题

10、正确.专业资料整理WORD格式8先找出10 2000010100的整数局部与分数局部 .31020000(10100 ) 20032003200101003=310100310100(10100 ) 2003200(10100 ) 2 100(32 )100 ,知 (10100 )232| 10200003200又101003 | (10100 ) 232 ,知 10200003200100103是整数 .显然320091001,101003101003知 10 20000310 2000320010 20000910010 200008150.10100101003101003101003其

11、中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.在应用上， 积分作用不仅如此， 它被大量应用于求和， 通俗的说是求曲边多边形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。一个函数的不定积分亦称原函数指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。其中： F(x) + C' = f(x)专业资料整理WORD格式一个实变函数在区间a,b 上的定积分， 是一个实数。 它等于该函数的一个原函数在去在 a 的值。因为 *dx= dx=x, 所以积分符号与微分符号d 相乘时可以抵消。根本积分表：(1) 0dx=C(2) 1/x=ln|x|+C(3) (m -1， x>0)(4)

12、 (a>0,a 1)牛顿莱布尼兹公式b 的值减专业资料整理WORD格式(5) cosxdx=sinx+C(6) sinxdx=-cosx+C(7) sec2xdx=tanx+C(8) csc2xdx=-cotx+C(9) secxtanxdx=secx+C(10) cscxcotxdx=-cscx+C(11)=arcsinx+C(12)=arctanx+C专业资料整理WORD格式二次函数一般地，把形如 y=ax2+bx+c 其中 a， b，c 是常数， a 0， bc 可以为 0的函数叫做二次函数 quadratic function ，其中 a 称为二次项系数， b 为一次项系数， c

13、 为常数项。 x 为自变量， y 为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。注意：“变量不同于“自变量，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数。“未知数只是一个数具体值未知，但是只取一个值，“变量可在实数X围内任意取值。在方程中适用“未知数的概念函数方程、微分方程中是未知函数，但不管是未知数还是未知函数， 一般都表示一个数或函数也会遇到特殊情况 ，但是函数中的字母表示的是变量， 意义已经有所不同。 从函数的定义也可看出二者的差异， 如同函数不等于函数的关系。函数性质1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物

14、线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。特别地，当b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴即直线 x=0 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 ,当时， P 在 y 轴上；当 =0 时， P 在 x 轴上。3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。当a>0 时，抛物线向上开口；当a<0 时，抛物线向下开口。 |a|越大，那么抛物线的开口越小。4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。当a 与 b 同号时即 ab>0，对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时即 ab<0，对称轴在 y 轴右。5.常数项 c

15、 决定抛物线与y 轴交点。抛物线与 y 轴交于 0，c6.抛物线与 x 轴交点个数: = b2-4ac>0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。= b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。当 = b2-4ac<0 时，抛物线与 x 轴没有交点。 X 的取值是虚数 ,.当 a>0 时，函数在处取得最小值f()= ；在 x|x< 上是减函数，在 x|x> 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是y|y " 相反不变 ;.专业资料整理WORD格式7.定义域：R专业资料整理WORD格式值域：对应解析式，且只讨论a 大于 0 的情况， a 小于0

16、的情况请读者自行推断专业资料整理WORD格式(4ac-b2)/4a ，+；t ， +奇偶性：偶函数周期性：无解析式： y=ax2+bx+c 一般式 a 0 a>0，那么抛物线开口朝上； a<0，那么抛物线开口朝下；极值点： -b/2a， (4ac-b2)/4a ；专业资料整理WORD格式=b2-4ac,专业资料整理WORD格式>0，图象与x 轴交于两点： -b+ /2a， 0和 -b- =0，图象与x 轴交于一点： -b/2a， 0；/2a ，0；专业资料整理WORD格式<0，图象与x 轴无交点；专业资料整理WORD格式 y=a(x-h)2+t配方式专业资料整理WORD

17、格式此时，对应极值点为h， t，其中h=-b/2a ， t=；反函数一般地，设函数y=f(x)(x A) 的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把 x 表示出，得到 x= f(y). 假设对于 y 在 C 中的任何一个值， 通过 x= f(y) ，x 在 A 中都有唯一的值和它对应，那么， x= f(y) 就表示 y 是自变量， x 是自变量 y 的函数，这样的函数 x= f(y)(y C)叫做函数 y=f(x)(x A) 的反函数，记作 x=f-1(y). 。反函数 y=f-1(x) 的定义域、值域分别是函数 y=f(x) 的值域、定义域。说明：在函数 x=f-1(y) 中， y

18、是自变量， x 是函数，但习惯上，我们一般用x 表示自变量，用 y 表示函数， 为此我们常常对调函数 x=f-1(y) 中的字母 x,y，把它改写成 y=f-1(x) ，今后凡无特别说明，函数 y=f(x) 的反函数都采用这种经过改写的形式；反函数也是函数，因为它符合函数的定义。 从反函数的定义可知， 对于任意一个函数 y=f(x)来说，不一定有反函数，假设函数 y=f(x) 有反函数 y=f-1(x) ，那么函数 y=f-1(x)的反函数就是y=f(x) ，这就是说，函数y=f(x) 与 y=f-1(x) 互为反函数；从映射的定义可知，函数y=f(x) 是定义域 A 到值域 C 的映射，而它

19、的反函数y=f-1(x) 是集合 C 到集合 A 的映射，因此，函数y=f(x) 的定义域正好是它的反函数y=f-1(x) 的值域；函数 y=f(x) 的值域正好是它的反函数y=f-1(x) 的定义域如下表：函数 y=f(x) 反函数 y=f-1(x)定义域 AC值域 CA；上述定义用“逆映射概念可表达为：假设确定函数 y=f(x) 的映射 f 是函数的定义域到值域“上的“一一映射，那么由f 的“逆映射 f-1 所确定的函数x=f-1(x) 就叫做函数 y=f(x) 的反函数 . 反函数 x=f-1(x)的定义域、 值域分别是函数 y=f(x) 的值域、定义域。开场的两个例子： s=vt 记为

20、 f(t)=vt, 那么它的反函数就可以写为 f-1(t)=t/v，同样 y=2x+6 记为f(x)=2x+6 ，那么它的反函数为：f-1(x)=x/2-3 。有时是反函数需要进展分类讨论，如：f(x)=X+1/X ，需将 X 进展分类讨论：在X大于0时的情况， X 小于 0 的情况， 多是要注意的。 一般分数函数的反函数的表示为 y=ax+b/cx+d(a/c 不等于 b/d)-y=b-dx/cx+a 。反函数的应用：直接求函数的值域困难时， 可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域， 求反函数的步骤是这样的：1先求出原函数的值域，因为原函数的值域就是反函数的定义域我们知道函数的三要素是

21、定义域， 值域， 对应法那么， 所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步专业资料整理WORD格式2反解x，也就是用y 来表示x专业资料整理WORD格式3改写，交换位置，也就是把x 改成y，把y 改成x专业资料整理WORD格式4写出反函数及其定义域就关系而言，一般是双向的，函数也如此，设y=f x为的函数，假设对每个yY ，专业资料整理WORD格式有唯一的 x X ，使 f x=y ，这是一个由 y 找 x 的过程 ，即 x 成了 y的函数，记为 x=f -1y。那么 f -1 为 f 的反函数。习惯上用 x 表示自变量，故这个函数仍记为y=f -1 x，例如 y=sinx 与 y=arcsin

22、x 互为反函数。在同一坐标系中，y=f x与 y=f-1x的图形关于直线 y=x 对称。隐函数假设能由方程 F x， y=0 确定 y 为 x 的函数 y=f x，即 F x，f x 0，就称 y 是 x 的隐函数。注意：此处为方程F x,y = 0 并非函数。思考：隐函数是否为函数？不是，因为在其变化的过程中并不满足“一对一和“多对一。多元函数设点 x1，x2，, ，xnG&Iacute;Rn ， U&Iacute;R1，假设对每一点x1， x2，, ，xnG，由某规那么f 有唯一的uU 与之对应： f：GU ， u=f x1， x2，, ，xn，那么称f 为一个 n 元函数

23、， G 为定义域， U 为值域。根本初等函数及其图象幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为根本初等函数。幂函数： y=x 0， 为任意实数的定义域：当为正整数时为定义域为，+，当 为负整数时定义域为， 00， +；当 =a(a 为整数 )，当 a 是奇数时值域为，+，当a 是偶数时为值域为0， +； =p/q,p,q 互素，作为的复合函数进展讨论。指数函数： y=ax a>0 ，a1，定义域为，+，值域为 0 ，+， a>1 时是严格单调增加的函数即当 x2>x1 时， ，0对数函数： y=logax a>0，称 a 为底 ，定义域为 0，+，值域为， +

24、 。a>1 时是严格单调增加的， 0<a<1 时是严格单减的。 不管 a 为何值， 对数函数的图形均过点1，0，对数函数与指数函数互为反函数。如图 5。以 10 为底的对数称为常用对数，简记为 lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e 为底的对数，即<a>自然对数，记作lnx 。双曲函数：双曲正弦 ex e-x，双曲余弦 " ex+e-x ，双曲正切 exe-x/ex+e-x ，双曲余切 ex+e-x / ex e-x。一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系： y=ax2+bx+c (a 0) a，b，c 为常数， a 0，且 a 决定函数的开

25、口方向， a>0 时，开口方向向上， a<0 时，开口方向向下。 IaI 还可以决定开口大小， IaI 越大开口就越小， IaI 越小开口就越大。那么称 y 为 x 的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x 是自变量， y 是 x 的函数。专业资料整理WORD格式一 .二次函数的三种表达式一般式： y=ax2+bx+c a， b， c 为常数， a 0顶点式： y=a(x-h)2+k 抛物线的顶点P h，k 对于二次函数 y=ax2+bx+c其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/(4a) 交点式： y=a(x-x1)(x-x 2) 仅限于与 x 轴有交点 A x

26、1， 0和 B x2，0的抛物线 其中 x1， x2= (-b ± (b2 4ac)/(2a) 注：在 3种形式的互相转化中，有如下关系： _h=-b/(2a) k=(4ac-b2)/(4a) x",x"=(-b ± b2-4ac)/2a二次函数的图象在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图象，可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。二次函数标准画法步骤在平面直角坐标系上1列表 2描点 3连线二 .抛物线的性质1抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a 顶点式x=h。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称

27、轴是y轴即直线 x=0 2抛物线有一个顶点 P，坐标为 P ( -b/2a， (4ac-b2)/4a )当-b/2a=0 时， P 在 y 轴上；当= b2-4ac=0 时， P 在 x 轴上。3二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。当 a>0 时，抛物线向上开口；当a<0 时，抛物线向下开口。|a|越大，那么抛物线的开口越小。4一次项系数 b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。当 a 与 b 同号时即 ab>0，对称轴在 y 轴左当 a 与 b 异号时即 ab<0，对称轴在 y 轴右。5常数项c 决定抛物线与y 轴交点。抛物线与y 轴交于 0， c， c 是

28、纵截距。6抛物线与x 轴交点个数= b2-4ac>0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。= b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。= b2-4ac<0 时，抛物线与 x 轴没有交点。 X 的取值是虚数 x= -b ± b2 4ac 的值的相反数，乘上虚数 i，整个式子除以 2a当 a>0 时，函数在 x= -b/2a 处取得最小值 f(-b/2a)=4ac-b2/4a ；在 x|x<-b/2a 上是减函数， 在x|x>-b/2a 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是x|x " 4ac-b2/4a 相反不变当 b=0 时，

29、抛物线的对称轴是y 轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c(a 0三 .二次函数与一元二次方程特别地，二次函数以下称函数y=ax2+bx+c ，当 y=0 时，二次函数为关于 x 的一元二次方程以下称方程，即 ax2+bx+c=0此时，函数图象与x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。专业资料整理WORD格式1二次函数y=ax2 ， y=a(x-h)2 ， y=a(x-h)2+k ，y=ax2+bx+c( 各式中， a 0)的图象形状一样，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式y=ax2 ； y=a(x-h)2 ； y=a(x-h)2+k

30、； y=ax2+bx+c对应顶点坐标(0， 0) ； (h， 0) ； (h， k) ； (-b/2a ， (4ac-b2)/4a)对应对称轴x=0 ； x=h； x=h ； x=-b/2a当 h>0 时， y=a(x-h)2 的图象可由抛物线 y=ax2 向右平行移动h 个单位得到，当 h<0 时，那么向左平行移动|h|个单位得到当 h>0,k>0 时，将抛物线y=ax2 向右平行移动 h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到 y=a(x-h)2 +k的图象当 h>0,k<0时，将抛物线y=ax2 向右平行移动h 个单位，再向下移动 |k|个单位可得到

31、y=a(x-h)2+k的图象当 h<0,k>0 时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可得到 y=a(x-h)2+k的图象当 h<0,k<0 时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到 y=a(x-h)2+k的图象因此，研究抛物线y=ax2+bx+c(a 0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k 的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了这给画图象提供了方便专业资料整理WORD格式2抛物线 y=ax2+bx+c(a直线 x=-b/2a ，顶点坐标是 0)的图象：当a>0 时，开口向上，当

32、(-b/2a， 4ac-b2/4a) a<0 时开口向下，对称轴是专业资料整理WORD格式3抛物线 y=ax2+bx+c(a 0)，假设 a>0，当 x " -b/2a 时， y 随 x 的增大而减小，函数是减函专业资料整理WORD格式数；当 x " -b/2a 时， y 随 x 的增大而增大，函数是增函数假设 a<0，当 x " -b/2a 时， y x 的增大而增大，函数是增函数；当 x " -b/2a 时， y 随 x 的增大而减小，函数是减函数随专业资料整理WORD格式4抛物线y=ax2+bx+c 的图象与坐标轴的交点：(1)

33、图象与 y 轴一定相交，交点坐标为 (0， c)；(2) 当 =b2-4ac>0 ，图象与 x 轴交于两点 A(x" ，0)和 B(x"，0)，其中的 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 0)的两根这两点间的距离 AB=|x"-x"| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由 |2 × -b/2a A | A 为其中一点当 =0图象与x 轴只有一个交点当 <0图象与x 轴没有交点当a>0 时，图象落在x 轴的上方， x 为任何实数时，都有专业资料整理WORD格式y>0；当 a<0 时，图象落在x

34、轴的下方，x为任何实数时，都有y<0 专业资料整理WORD格式5抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，那么当x= -b/2a时，y 最小 (大 )值 =(4ac-b2)/4a 专业资料整理WORD格式顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值6用待定系数法求二次函数的解析式(1) 当题给条件为图象经过三个点或x、 y 的三对对应值时，可设解析式为一般专业资料整理WORD格式形式：y=ax2+bx+c(a 0)(2) 当题给条件为图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a 0)(3) 当题给条件为图象与 x 轴的两个交点坐标时， 可设解析式为两根式： y=a(x-x1)(x-x2)(a 0) 7二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现超越函数三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。 另一种