卢同善实变函数青岛海洋大学出社习题答案

1、第一章习题答案第1-10，17题略. 从11题开始（9，10，11类似）11 证明：任取左边的元素，则，当然对任意的，有，即，. 因此，该含于右边. 得到左是右的子集；另一方面，任取右边的元素，则，即. 让，得到. 因此，该含于左边. 得到右是左的子集. 综上，左等于右. 12 设实函数列在上定义，又设. 证明对，成立.证明：因，故当时，必有，这表明，因此. 另一方面，任取，由下极限的定义，知存在，使（若否，则对任意的，有，这表明，矛盾）. 当然有，故. 综上，左等于右. 13 实函数列在上收敛到，证明对任意的，成立.证明：任取左边的元素，则. 由于，所以对任意的，存在，使得当时有，即有. 也

2、即，对任意的，恒有，所以. 这表明是右边的元素，所以左是右的子集. 另一方面，任取右边的元素，则对任意的，存在，使得当时有. 让，得到. 再由的任意性，得到. 这表明是左边的元素，所以右是左的子集. 综上，左右相等. 14 若集列单减，则. 证明：因为单减，所以，. 得到，. 即，.15 证明证明：若，显有; 若，由特征函数的定义知. 再由下限集的性质知存在，使，从而对有，故. 此时. 总之，. 另一方面：若，显有; 若，又因为，故. 因此存在，使得 . 由特征函数的定义知，再由下限集的性质知. 因此，也就得到. 总之. 综合有. 16 证明定理与Bernstein定理等价. 证明：必要性：由

3、假设知存在到上的双射, 到上的双射. 令. 则，且与对等（因为是单射）. 又因为，因此. 由定理知三者对等，又与对等，根据对等的传递性，得到与对等，故Bernstein定理成立. 充分性：设且. 一方面，另一方面，由Bernstein定理知. 又，根据对等的传递性，得到. 即定理成立. 18 设为无限集，为有限集，证明. 证明：因为为无限集，为有限集，所以是无限集. 由知道是有限集. 而，右边是一个无限集并上有限集，不改变对等关系（定理），所以. 19 设为无限集，为可数集，若为无限集，证明. 并举反例说明“为无限集”这一条件不可去. 证明：因为为可数集，所以是至多可数集. 而，又是无限集，由

4、定理知命题成立（与18题类似）. 20 空间中坐标为有理数的点的全体成一可数集. 证明：显然是三个可数集的乘积，从而是可数集. 21 中以互不相交的的开区间为元素的集合为至多可数集. 证明：设该集合为. 因为对任意的开区间，存在有理数. 这样，可作一映射，使得. 由于中的开区间是互不相交的，所以这一映射是一单射. 因此，也就说明了是一至多可数集. 22 上单调函数的不连续点的全体为至多可数集. 证明：不妨设函数单增. 任取断点. 由于函数单调，所以在点的左极限和右极限都存在，且. 让断点对应于开区间，由于函数单增，所以不同断点所对应的开区间是不相交的. 再利用21题即得.23 设为无限集，证明

5、必存在，使且为一可数集. 证明：因为无限集，故有可数的子集. 令，. 取，则为可数集，为无限集（因），所以. 24 设为可数集，证明的所有有限子集的全体是可数集. 证明：设. 的所有有限子集的全体为. 对，设，令与数组对应. 因为不同的集合的元素不完全相同，所以它们对应的数组也不同. 这样由编号定理知为至多可数集. 又因所有的单元素集在中，所以是无限集，因此是可数集. 25 设为其长度不等于零的开区间所组成的不可数集. 证明：存在，使得中有无限多个开区间的长度均大于. 证明：令为中长度不小于的开区间的全体，则. 因为为不可数集，所以右端至少有一个集合是无限集（否则，右边是至多可数集）. 取相应

6、的的长度为即可. 26 中无理数的全体成一不可数集. 证明：反证法. 假设中无理数的全体是至多可数集，而中有理数的全体是可数集，这样是可数集（可数集和至多可数集的并是可数集）. 这与是不可数集矛盾. 27整系数多项式的实根称为代数数，称非代数数的实数为超越数. 证明：代数数的全体成一可数集，进而证明超越数的存在. 证明：所有整系数多项式的实根全体正是代数数的全体. 整系数多项式的全体是可数的，而每一个多项式至多有有限个实根. 又可数个有限集的并是至多可数集，这表明代数数的全体是至多可数集. 代数数的全体当然是无限集（因为整数是代数数），所以它是可数集. 因而，也表明超越数的全体是不可数集（利用

7、19题得到）. 28 证明，其中为可数基数，为连续基数. 证明：设，即证明的所有子集的全体的势为. 作从到二进位小数全体的映射为，其中当时，；当时，. 因为不同的集合的元素不完全相同，所以该映射是单射，故. 另一方面，作映射为，其中，该映射也是单射，因此. 综上，有. 29 上连续函数的全体的基数是. 证明：因常函数都是连续函数，故. 设，则它是可数集. 不妨设. 对任意的，让其对应于中的实数组，则这个对应是从到的一个单射. 事实上，若是对应于同一数组的两个连续函数，即. 对任意的实数，存在有理数序列，使得. 这样由函数的连续性得到，也即，也就是说该对应是一个单射. 因此和的某子集对等，故有.

8、 综上，. 30 上单调函数的全体的基数是. 证明：类似上一题. 上单调函数的全体的基数显是不小，因为都是中的元素. 对任一单调函数，其断点的全体是至多可数集（第22题的结论）. 令，则是可数集，设. 让函数对应于，这个对应是单射（方法类似于上题，不过要多考虑断点罢了）. 因此，上单调函数的全体的基数不超过的基数. 命题得证. 31 上实函数的全体的基数是. 证明：设上实函数的全体为. 对任意的集合，则其特征函数，并且不同集合的特征函数是不同的. 所以的子集的全体对等于的一个子集，从而. 另一方面，对任意实函数，让其和集合对应（该集合是函数的图像），当然这一对应是单射，从而和的某些子集构成的集合对等，也即. 综上，. 32 设，证明和中至少有一为. 证明：不妨设不相交. 显然的势都不超过. 对任意的，作直线，则的势均为. 若存在，使得，则的势不小