函数、方程、不等式之间地关系

1、WORD格式函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、 方程和不等式看作三个独立的知识点。实际上， 他们之间的联系非常严密。 如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。函数与方程之间的关系。先看函数解析式：yax b(a0) ，这是一个一次函数， 图像是一条直线。对于这个函数而言， x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。如果令y 0，上面的解析式也就变成了ax b 0，也就是一个一元一次方程了。 我们知道， 一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候， 令y0同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，

2、令 x0 。所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的 y 变为 0 ，那么就得到相应的方程。这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。 这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。举例说明如下：例如函数 y 2x3 的图像如右所示：该函数与 x 轴的交点坐标为( 3 ,0) ，也就是在函数2解析式 y 2x 3 中，令 y0 即可。令 y0也就意味着将一元一次函数y2x3变成了一元一次方程 2x30 ，其解和一次函数与x 轴的交点的横坐标是一样的。接下来推广到二次函数：专业资料整理WORD格式例如函数y2 x25x2 的图像如右图所示：专业资料整理WORD格式很

3、容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标专业资料整理WORD格式正是方程2x25x20 的解。专业资料整理WORD格式如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线的方式作出来的，虽然比较准确，但过程十分繁琐。在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得很精准。有时候只需要作出大致图像即可。既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制对应的函数图象呢？函数 y2x25x2 对应的方程是2x25x20 ，先求出这个方程的两个解。很容专业资料整理WORD格式易根据十字相乘法 (2 x 1)( x 2) 0 得出该方程的两个解分别为1和 2。这样，根据函数2解析式与方

4、程之间的关系，也就得出了函数y 2x25x 2 与 x 轴的两个交点(1,0) 和2(2,0) 。有了与横坐标两个交点的坐标，还知道了开口方向二次项前面的系数20 ，所以开口向上，那么该二次函数的大致图像就容易作出了。以上的结论可不可以进一步推广呢？先看接下来这个函数解析式y( x1)(x2)( x3) ，如果作这样一个三次函数三次或三次以上就叫高次函数的图像，用列表、描点、连线的方法是非常复杂的，甚至无法作专业资料整理WORD格式出。如果我们采用上面的思想，先求出y( x1)( x2)( x3) 对应的方程专业资料整理WORD格式( x1)(x2)( x3)0 的根，很容易得出该方程的三个根

5、：1、2、 -3。知道了三个根专业资料整理WORD格式还不行， 还必须知道开口方向，由于三次函数和二次函数不同，所以不可能通过三次项系数的正负来确定开口方向。在实际中， 我们可以发现这样的规律：如果三次项系数是正数、最右边一个交点的右边局部图像是在x 轴上面的。 如果三次项系数是负数，最右边一个交点的右边局部图像是在x 轴下面的。那么函数y( x1)( x2)( x3) 的大致图像如下：函数 y( x1)(x2)( x3) 的大致图像如下：专业资料整理WORD格式通过以上函数图象：我们可以总结出作高次函数大致图像的步骤：（ 1 求出高次函数所对应的方程的根，并在数轴上不需要建立坐标系从小到大依

6、次表示出来。（ 2 如果最高次项的系数是正数，那么按照从右到左，从上到下依次穿过。如果最高次数的系数是负数，那么按照从右到左，从下到上依次穿过。函数与不等式之间的关系函数解析式：yaxb(a0) 中，如果变为 axb0的情况类似 或 axb0的情况类似，那么就是不等式了。实际上，以上两个不等式分别对应一次函数y ax b(a 0)的图像在 x 轴上方和 x 下方的情况。而不等式ax b 0 和 ax b 0 的解分别是一次函数y ax b(a 0) 的图像上方局部对应的自变量x 的X围和下方局部对应的自变量 x 的X围。例如不等式 2x30 所对应的是一次函数y 2x 3 在x轴上方局部的图像

7、。该不等式的解为 y2x3在x轴上方局部的图像3所对应的自变量x 的X围，即x。2在二次函数中，这种不等式和函数的对应2关系同样适用。例如：y2 x5x2不等式 2x25x20 的解为二次函数y 2x2 5x 2 图像上在 x 轴上方的局部，不等式的解为：x12。同理或 x212x25x 20 的解为x2。这也2就是二次不等式“二次项的系数大于零，后面是大于号的取两边即小于最小根，大于最大根，后面是小于号的取中间大于最小根，小于最大根的性质。对于二次项系数小于零的不等式，可以通过在两边同时乘以-1 将二次项系数变为正数。从上面的现象可以得出函数和不等式的关系：不等式 f (x)0 对应的是函数

8、 f (x) 图像上在 x 轴上方的局部， 不等式f (x) 0的解就是函数f (x) 图像上在x轴上方的局部所对应的自变量 x 的取值X围。不等式f ( x)0 对应的是函数f ( x) 图像上在x轴下方的局部，不专业资料整理WORD格式等式 f (x)0的解就是函数f ( x) 图像上在x轴下方的局部所对应的自变量x 的取值X围。专业资料整理WORD格式对于屡次不等式，例如( x1)( x2)( x3)0 ，首先在数轴上作出函数y(x1)(x2)( x3) 的大致图像 前面已介绍 ，然后取图像在x 轴上方局部对应的x 的取值X围。专业资料整理WORD格式所以不等式( x1)(x2)( x3

9、)0 的解为x3 或2x1 。同理也可以解专业资料整理WORD格式N (N4) 次不等式。专业资料整理WORD格式一元二次方程和一元二次不等式的关系专业资料整理WORD格式如果将一元二次方程ax2bxc0(a0) 中的“=改为“或“，那么可变为专业资料整理WORD格式一元二次不等式。解一元二次不等式的步骤：1、 二次项为负数的，首先要在两边同时乘以-1 将二次项系数变为正数注意不等式两边同时乘以一个负数后，不等号要变号。如2x25x20 要通过两边同乘以-1 变为2 x25x 2 0 。2、 解出不等式对应的方程的两个根。如解出方程2x25x 2 0 的两根分别为 2, 1。23、 如果是大于

10、号， 解为：x最小根或 x最大根。如果是小于号， 解为：最小根 x最大根。例如 2x25x2 0 的解为：1x 2 。2 一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系在图像上的表示在实际中，我们经常会遇到这样的方程：x2x10 或这样的不等式：x2x 1 0 。结果是都是无解。也会遇到x2x10，解为全体实数。这就说明一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式在图像上还存在着某种明显的关系。我们分别作出函数f ( x)ax2bxc(a0)的六种可能图像。第一种：当 a0,b24ac0 时，图像为：专业资料整理WORD格式从图像我们可以看出，该图像与x 轴有两个交点，也就是说方程ax2b

11、xc0 有两个不相等的实数根设为 x1 , x2，且 x1x2，ax2bx c0 的解为：x1xx2，ax 2bx c 0 的解为：xx1或 x x2。所以可以得出这样的结论： 当 a0,b24ac0 时，方程ax2bxc0 有两个不相等的实数根设为 x1, x2，且 x1x2，ax2bx c0 的解为：x1xx2，ax2bx c 0的解为： x x1或 xx2。第二种：当 a0,b24ac0 时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有一个交点，也就是说方程ax2bx c0有两个相等的实数根 设为 x1 , x2，且 x1x2，ax2bx c0 的解集为：， ax2bxc 0 的专业资料

12、整理WORD格式解为： x x1或 xx2即 xx1。所以可以得出这样的结论：当a0,b24ac0 时，方程ax2bx c0 有两个相等的实数根设为 x , x，且 xx， ax 2bx c0 的解集为：， ax2bx c 0 的1212解为： x x1或 xx2即 xx1。第三种：当 a0,b24ac0时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴没有交点，也就是说方程ax2bxc0没有实数根，ax 2bxc0 的解为：， ax2bxc0的解为： R。所以可以得出这样的结论：当 a0,b24ac 0 时，方程ax2bxc0 无实数根；ax 2bxc0 的解为：， ax2bxc0的解为： R。

13、第四种：当 a 0,b24ac0 时，图像为：专业资料整理WORD格式从图像我们可以看出，该图像与x 轴有两个交点，也就是说方程ax2bxc0 有两个不专业资料整理WORD格式相等的实数根设为x1 , x2，且x1x2，ax2bxc0 的解为：xx1或xx2，专业资料整理WORD格式ax 2bxc0 的解为：x1xx2。专业资料整理WORD格式所以可以得出这样的结论：当 a0,b24ac0 时，方程ax2bxc0 有两个不相专业资料整理WORD格式等的实数根设为x1, x2，且x1x2，axbxc0 的解为：xx1或xx2，专业资料整理WORD格式ax 2bxc0 的解为：x1xx2。专业资料

14、整理WORD格式第五种：当a0,b24ac0 时，图像为：专业资料整理WORD格式从图像我们可以看出，该图像与x 轴有一个交点，也就是说方程ax2bx c0 有两个相等的实数根 设为 x1, x2，且 x1x2，ax2 bxc0 的解集为：xx1或 xx2即 x x1，ax 2bx c0 的解为：。所以可以得出这样的结论： 当 a0,b24ac0 时，方程ax2bxc0 有两个相等的实数根设为x1 , x2，且 x1x2，ax2bx c0 的解集为：xx1或 xx2即 x x1，ax 2bx c0 的解为：。第六种：当 a 0,b24ac0 时，图像为：专业资料整理WORD格式从图像我们可以看

15、出，该图像与x 轴没有交点，也就是说方程ax 2bxc0没有实数根，专业资料整理WORD格式ax 2bxc0 的解为：R ， ax2bxc0 的解为：。专业资料整理WORD格式所以可以得出这样的结论：当 a0,b24ac0 时，方程ax2bxc0 没有实数根，专业资料整理WORD格式ax 2bxc0 的解为：R ， ax2bxc0 的解为：。专业资料整理WORD格式总结： 值得注意的是，如果对于一元二次函数yax2bx c( a0) 无论自变量 x 取什么值，函数值都大于零，那么这就属于上面六种情况中的第三种情况，那么有a0,b24ac0 ；如果对于一元二次函数y ax2bxc(a0) 无论自

16、变量 x 取什么值，函数值都小于零，那么这就属于上面六种情况中的第六种情况，那么有：a0,b24ac0 。 例题精讲1、 ax22x c0 的解集为x1x1，试求 a、 c 的值。32解析：首先，如果 a0 ，那么不等式 ax22xc0 的解应该是“两边，不应该是 “中间，所以必定有 a0 。这并不影响做题。由题意值：1、1是方程 ax 22 xc0 的两根。32x1x2bx2c112根据韦达定理即根与系数关系，即， x1得：2，11caa3a12 ， c2 。32。解得： aa2、 设二次函数f ( x)x22xa ，1假设存在实数x 使得不等式f ( x) 0 成立，那么实数 a 的取值X围是多少？