多维柯西不等式

1、WORD格式柯西不等式【柯西不等式的主要内容】1. 柯西主要奉献简介：柯西 Cauchy，法国人，生于1789 年，是十九世纪前半叶最出色的分析家.他奠定了数学分析的理论根底.数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2. 二维形式的柯西不等式：假设 a, b, c, dR ，那么( a2b2 )(c2d 2 )(acbd )2, 当且仅当时 ,等号成立 .证法0综合法 ( a2b2 )(c 2d 2 ) a2 c2a2 d 2b2 c2b2 d 21 .)2)2(ac bd )2(当且仅当时, 等号成立 .证法 20.构造法分析：

2、 (acbd)2(a2b2 )(c2d2 )2(acbd)24(a2b2 )(c2d 2 )0而 2(acbd)24(a2b2 )(c2d2 ) 的构造特征那么，证：设 f ( x)( a 2b2 ) x22(acbd ) xc2d 2，f ( x)( axc)2(bx d ) 20恒成立 . 得证.证法0. 向量法设向量m(a,b) ， n(c,d ) ， 那么 | m |， | n |.3m n，且 m n |m| | n| cos m, n，有 | m n | m| | n|.得证 .变式 10. 假设a,b, c,dR，那么a2b2c2d2| acbd |或a2b2c2d 2ac bd

3、 ；变式 20. 假设a,b, c, dR ，那么a2b2c2d2(ac)2(bd) 2；变式 30. 三角形不等式设x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3为任意实数，那么：( x1x2 )2( y1y2 ) 2( x2x3 ) 2( y2y3 ) 23. 一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式 ： 设n为大于 1的 自 然 数 ， a,bR (i1,2, n )，ii那么：.当且仅当时 ,等号成立 .( 假设0bi0nai时，约定，i1,2, ).变式 10.设 aiR,bi0(i1,2,nai2(a i ) 2, n), 那么：1 bib i. 当且仅当时, 等号成立 .i

4、专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式nai(ai )2变式 20. 设aibi0(i 1,2, n), 那么：.当且仅当 b1 b2bn时, 等号成立 .i 1 biai bi如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要 . 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、 函数等各方面都有联系 .所以 ,它的重要性是不容置疑的！ 柯西不等式的应用：例 1. 实数a,b,c , d满足ab c d3， a22b23c26d25 .试求a的最值例 2x2y2z29在实数集内解方程48x6y24 y 39例 3 设P是三角形ABC

5、 内的一点，x, y, z 是 p 到三边 a,b,c 的距离， R 是ABC 外接圆 的半径，证明： xyz1a 2b2c 22 R例 4 ( 证明恒等式 )a1b 2b 1a 21, 求证：a2b 21。专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式1111例 5 ( 证明不等式 ) 设a1a2anan 1,求证:a1a2a2 a3anan 10an 1a1【同步训练 】1. a1, a2, , anR ，求证：1 (a1 a2an ) 2a12a22an2n2. a,b, c,d是不全相等的正数，求证：a2b2c2d2abbccdda3. x2y3z1,求x2y2z2的最小值.4.

6、设x1,x2, xnR , 且x1 x 2x n1,x12x22xn21求证：1 x21 xnn 11 x1专业资料整理WORD格式3专业资料整理WORD格式5. 实数a,b, c, d,e满足abcde8,a2b2c2d2e216,求e的取值X围.6. x, y, zR , 且x149y z 1, 求证：y36xz7. 正数a, b, c满足a b c 1证明 a3b3c3 a2b2c238. 假设 n 是不小于2 的正整数，试证：411111271342n12n。22专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式参考答案 :一般形式的柯西不等式：a , bR (in2n2nai bi

7、) 2，设 n 为大于1的自然数，1,2, ,n ) ，那么：aibi(iii 1i 1i1其中等号当且仅当b1b2bn时成立 ( 当ai0 时，约定 bi0 ，i1,2,n ).a1a2an等号成立当且仅当biai (1in)柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。例 1 解：由柯西不等式得，有2b23c26d2111bc2d236即 2b23c26d 2bcd25a232由条件可得，a解得， 1 a2 当且仅当2b3c6d1 21 3时等号成立，1 6代入 b1,c1 , d1时

8、，amax236b1,c2 , d1时amin133例 2 解：由柯西不等式，得x2y2z2262242288x 6y 24 yx2y2z2262242964364 144392848x6 y24 y2.x2y2z28228x6y2又392622424z即不等式中只有等号成立 .从而由柯西不等式中等号成立的条件，得xyz8624它与8x6 y24 y 39联立，可得x6y9z18131326例 3 证明：由柯西不等式得，xyzax1by1cz1axbycz111abcabc记 S 为ABC 的面积，那么专业资料整理WORD格式5专业资料整理WORD格式ax by cz 2S 2 abcabc4

9、R2Rxyzabcabbcca1abbcca1a2b2c22Rabc2R2R故不等式成立。例 4证明：由柯西不等式，得a 1b 2b 1a 2a 21a 2 b 21b 21当且仅当b1b 2时，上式取等号，a 2a1ab1a 21b 2 ,a 2 b 21 a 2 1 b2 ,于是a 2b 21 。例 5 分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其构造，我们不妨改为证：a1an11111,a1a2 a2a3anan 1证明：为了运用柯西不等式，我们将a1an 1写成a1an 1a1a2a 2a3anan 1于是a1a2a2a3anan 1111a1a2a2 a3anan 1n 21.a

10、1an11111a1a2a2 a3anan 1即1111,a1a2a 2a3anan 1a1an 1故11110.a1a2a2a3a na n 1an 1a1我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。练习1证：(121212 )( a12a22an2 )(1 a1 1 a21 an) 2n(a12a22an2 )( a1a2an )21 ( a1a2an )2a12a22an2n专业资料整理WORD格式6专业资料整理WORD格式证明 : (

11、a22c2d 2 )(b2c2d 2a2 )(abbccdda )2abcd 不成立2、a,b, c, d是不全相等的正数,( a2b2c2d2)2( abbcbcd2acdda)即 a2b2c2d2ab bc cd da解 : ( x2y2z2 )(122232 )( x2y3z)21x2y2z213 当且仅当xy 14z即 x113时123, y, z14714x2y2z2取最小值114证明 : (n 1) ( x12x22xn2)1 x11 x21 xn 22(1 x1 1 x21 xn ) ( x1x24 、21x1 1x2xn ) ( 1 x1x1x1 x2x21x n11x2xn1

12、1 xn)2( x1x2xn )211xn解 :4(a 2b2c2d 2 )c2d2 )(1 1 1 1)(a2b25 (abcd) 26416 e e2即4(16 e2 )(8e)2,即64 4e25e216e0,故 0e165证法一 : 用柯西不等式149149(xyxyzz)(y)xz3 )26 ( x1y2z36xyz当且仅当 x21y21 z2 ,即x1 , y1 , z1时,等号成立 .49632证法二 : 代入法491491( xyz)yz)xyzx(xy z)( xyz14 ( y 4x ) ( z 9x) ( 4z 9 y )14x6yxzyz412361 , y1 , z1时, 等号成立当且仅当 y2x, z3x,即x6327 证明：利用柯西不等式c2 23131312a2b2a 2 a2b2b 2c2 c 2323232a 2b2c2abc专业资料整理WORD格式7专业资料整理WORD格式a3b3c32a b c 1a b c又因为a2b2c2abbcca 在此不等式两边同乘以2，再加上a2b2c2得： a b c 3 a2b2c2a2b2c22a3b3c33 a2b2c2故 a3b3c3a2b2c239、证明：证明：11 1111(111 11 )2(1 11 )2 342n 1 2n23 42n2 42n111n1n22n所以求证