南阳市秋期高中三年级期终质量评估理科数学试卷解析

1、南阳市2019年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（理）注意事项：1.本试卷分第1卷（选择题）和第11卷（非选择题）两部分，考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则A.B.C

2、.D.答案：A2. 设复数（为虚数单位），则复数的虚部为A.B.C.D.答案：C3. 在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为A.B.C.D.答案：B4. 已知函数（的最小正周期为，则下列说法正确的是A.函数的图像关于对称B.函数的图像关于对称C.函数的图像关于直线对称D.函数的图像关于直线对称答案：B5. 甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是A.甲类水果的平均质量B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水

3、果的平均质量小D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数答案：D6. 函数的大致图像为答案：D7. 已知，则A. B.C. D.答案：B8. 在如图算法框图中，若，程序运行的结果为二项式的展开式中的系数的倍，那么判断框中应填入的关于的判断条件是A. B.C. D.答案：C9. 已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为A. B.C. D.答案：D10. 十八世纪，函数（表示不超过的最大整数）被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定义，则方程的所有实数根的个数为A.B.C.D.答案：C11. 某三棱锥的三视图如图所示，其中主

4、视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为A. B.C. D.答案：D12. 已知函数，若函数的零点均在区间（，）内，则的最小值是A.B.C.D.答案：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量，若，则实数的值为_.答案：14. 学校准备将名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类个不同项目比赛做志愿者，每个项目至少名，则不同的分配方案有_种（用数字作答）.答案：15015. 已知双曲线的左右两个焦点分别为，为其左、右两个顶点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且，则该双曲线的离心率为_.答案：16. 已知函数（为自然对数的底数，为常数）有三个不同的

5、零点，则实数的取值范围为_.答案：三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）17. （本小题满分12分）如图，在中，角，的对边分别为，且.（1）求的大小；（2）若，点、在的异侧，求平面四边形面积的最大值.解析：（1）因为，且，所以1分在中，所以2分所以所以3分因为在中，所以 4分因为是的内角所以ACB=.5分（2）在中，6分因为是等腰直角三角形，所以 7分 8分所以平面四边形的面积 9分因为，所以10分所以当即时， 11分此时平面四边形的面积有最大值.12分18. （本小题满分12分）

6、如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，.（1）证明：平面；（2）若二面角为直二面角，求与平面所成角的大小.解析：设以O为原点，OC，OD分别为轴、轴建立空间直角坐标系则设 .2分证明：由PE=2EC得所以，所以PCBE，PCBD，又，所以PC平面BDE. .5分（2）设平面PAB的法向量为=,又，由取= .7分设平面PBC的法向量为=,又，由取= .9分由题意得， .10分，又 .11分所以PD与平面PBC所成角的正弦值为，PD与平面PBC所成角为 .12分19. （本小题满分12分）设直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，设直线，（为坐标原点）的斜率分别为，若.（1）证明：直线

7、过定点，并求出该定点的坐标；（2）是否存在常数，满足？并说明理由.解析：（1）证明：由题知，直线的斜率存在且不过原点，故设，由可得，. .2分OAOB.,，故 .4分所以直线的方程为故直线恒过定点（0,2）. .5分（2）由（1）知 .7分设由可得， .9分 .11分，即存在常数满足题意. .12分20. （本小题满分12分）已知函数（1）若函数有个零点，求实数的取值范围；（2）若关于的方程有两个不等实根，证明：；.解析：（1）由题知，与有两个交点， . 1分 由得，；由得，在上单增，在上单减， .3分又,且时，故 .4分（2）方程可化为，令，所以在上单增，在上单减，又 .6分不妨设.则，要证

8、明只需证且在上单减，所以证令， .7分则当时，即在单增.又， .8分对恒成立，即成立即成立 .10分由得,即，命题得证. .12分 21. （本小题满分12分）一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、第100站，共100站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币的正面向上，棋子向前跳一站；若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第站（失败）或者第站（获胜）时，游戏结束.（1）求，；（2）求证：数列（=1，2，3，98）为等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率.解析：（1）棋子开始在第1站是必然事件，；棋子跳到第2站，只有

9、一种情况，第一次掷硬币正面向上，其概率为;棋子跳到第3站，有两种情况，第一次掷硬币反面向上，其概率为；前两次掷硬币都是正面向上，其概率为，; .3分（2）棋子棋子跳到第n+2（）站，有两种情况：棋子先跳到第站，又掷硬币反面向上，其概率为；棋子先跳到第站，又掷硬币正面向上，其概率为.故 .5分 又，数列是以为首项，为公比的等比数列. .7分(3)由（2）得. .8分 .11分所以获胜的概率为 .12分（说明：若计算出当做获胜的概率扣2分；获胜的概率也可以由求得）（二）选考题：共10分、请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.22. （本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线与恰有一个公共点.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知曲线上两点，满足，求面积的最大值.解析：()曲线极坐标方程可化为，将代入上式可得直角坐标方程为，即，所以曲线为直线 .2分又曲线是圆心为,半径为的圆，因为圆与直线恰有一个公共点，所以，所以圆的普通方程为， .4分把代入上式可得的极坐标方程为，即. .5分()