西工大、西交大自动控制原理 4.2 根轨迹绘制的基本法则5-6

1、内容回顾内容回顾开始本节开始本节4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则2绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤基本过程：基本过程：1 1已知已知系统的系统的开环零、极点开环零、极点( (开环传递函数开环传递函数) )； 2 2利用利用基本法则基本法则，确定确定根轨迹的根轨迹的主要特征主要特征和和 大致图形大致图形； 3 3如果需要，再根据根轨迹方程的如果需要，再根据根轨迹方程的相角条相角条 件件，利用试探法，利用试探法确定确定若干点若干点； 4 4绘制绘制出出准确准确的根轨迹。的根轨迹。4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则2绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤1 1

2、根据给定的开环传递函数，根据给定的开环传递函数，求出开环零、极求出开环零、极 点点；并将它们标在复平面上并将它们标在复平面上，纵横坐标用，纵横坐标用相同相同 的比例尺的比例尺； 2 2确定确定根轨迹的根轨迹的分支数分支数及趋于及趋于无穷远处无穷远处根轨迹根轨迹 的的条数条数、渐近线渐近线的的交点交点和和倾角倾角； 3 3确定确定实轴实轴上的上的根轨迹根轨迹； 4 4确定根轨迹的确定根轨迹的分离点分离点( (会合点会合点) )，并计算，并计算分离角分离角； 5 5计算根轨迹的计算根轨迹的出射角出射角和和入射角入射角； 6 6确定根轨迹与确定根轨迹与虚轴虚轴的的交点交点；一般步骤一般步骤4.2 根

3、轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则2绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤7 7大体绘出根轨迹的概略形状大体绘出根轨迹的概略形状； (1) (1) 利用闭环特征根之和、之积的性质估计利用闭环特征根之和、之积的性质估计根轨迹根轨迹 的的走向走向； (2) (2)利用相角条件利用相角条件试探确定试探确定根轨迹上根轨迹上某些点某些点； (3) (3)某些系统在复平面上的根轨迹为圆或圆的一部分某些系统在复平面上的根轨迹为圆或圆的一部分 时，求出时，求出圆心圆心和和半径半径。 (4) (4) 利用利用对称性对称性画出上、下复平面的根轨迹；画出上、下复平面的根轨迹； 8 8必要时对根轨迹进行必要时对

4、根轨迹进行修正修正，以画出系统，以画出系统精确精确根轨迹根轨迹。一般步骤一般步骤4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则2绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤 例例8 8 若已知系统的结构图为：若已知系统的结构图为： 试绘制系统的概略根轨迹。试绘制系统的概略根轨迹。15201ss.sK)(sR)(sC 20120115201.sss*K.sssKss.sKsGK解：系统开环传递函数为：解：系统开环传递函数为：KK *4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则2绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤开环零点开环零点： ，开环极点开环极点：将它们标注于复平面上；将它们标注于复平

5、面上；11z2 . 0021pp，实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：12 . 00，渐近线：渐近线：2-1=1 2-1=1 条，负实轴方向上；条，负实轴方向上；分离点分离点：由开环传递函数可知：由开环传递函数可知： 由由 得：得： 2 . 022 . 011ssNsssNsMssM； ssssNMMN4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则2绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤ssss2 . 012 . 0228 . 012, 1s分离角：分离角：2/画出根轨迹所示，在复平面上，有一部分画出根轨迹所示，在复平面上，有一部分根轨迹为一圆，其圆心为根轨迹为一圆，其圆心为 ，半径，半径为为

6、 。0, 1 j8 . 0R与虚轴的交点：与虚轴的交点：不存在不存在4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则2绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤-0.2-1sj-21z1p2p4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则可以证明：可以证明：由由两个实数极点两个实数极点或或复数极点复数极点和一个和一个有限零点有限零点组成的组成的开环系统，只要该开环系统，只要该零点零点没有位于没有位于两个实数极点两个实数极点之间之间，闭环根轨迹的复数部分是以该闭环根轨迹的复数部分是以该零点零点为为圆心圆心，以该，以该零零点到分离点点到分离点的的距离距离为为半径半径的圆或圆的一部分。的圆或圆的一部

7、分。在此仅证明此例：在此仅证明此例：2绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则由相角条件由相角条件可得：可得：在复平面上有在复平面上有 ，上式又可写为：，上式又可写为：利用反正切公式：利用反正切公式： 180201.sssKsHsG1802 . 01sssjs1802 . 01jjj2 . 01801111tgtgtg1111XYYXtgYtgXtg2绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则上式变为：上式变为：两边取正切得：两边取正切得：整理后得：整理后得：这是一个圆心为这是一个圆心为 ，半径为，半

8、径为 的圆。的圆。2 . 018018011111tgtg2 . 01112228 . 08 . 010, 1 j8 . 02绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则 例例9 9 单位负反馈系统的开环传递函数为：单位负反馈系统的开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。解：由系统的开环传递函数得：解：由系统的开环传递函数得：12113115 . 0)(2sssssKsG 2232223232*2sssssKsssssKsG2绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则故：故：开环零点开环零

9、点： ，开环极点开环极点：将它们标注于复平面上；将它们标注于复平面上；实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：渐近线：渐近线： 条条21zjppp1304, 321，320，314 1142113011jjmnzpmjjniia31212kmnkaKK3*2绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则 时，时， 时，时， 时，时，起始角：起始角：根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点：0k603/a1k2k180a603/5a6 .26906 .2613545180180431113343jjppjpzppjj2绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤4.2

10、 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则系统的闭环特征方程式为：系统的闭环特征方程式为：将将 代入上式，整理可得：代入上式，整理可得：联立求解得：联立求解得：02685*234KsKsssjs 028*24jK065028*3*24KK00*LK66. 12*LK2绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤4.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则 画出概略根轨迹如图所示：画出概略根轨迹如图所示：2绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤-1sj-21z1p2p-33p4pa根轨迹示例根轨迹示例1 1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j晕了？晕了？ bsassKsG 1ss3s2sKsG 42s1s3sKsG2 42s1sKsG2 11ssKsG2 12s41sKsG22根轨迹根轨迹示例示例2 2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj0 11s2ssKsG2 41s2ssKsG2 11s3ssKsG2 13s41s2sKsG22 41s2ss3sKsG2 4s2ss41sKsG24.2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则小结小结掌握绘制根轨迹的九个准则掌握绘制根轨迹的九个准则q 根轨迹的连续性和对称性；根轨迹的连续性和对称性；q 根轨迹的支数、起始点和渐进线；根轨迹的支数、起始点和渐进线；q 根轨