西工大、西交大自动控制原理 第四章 线性系统的根轨迹法_04_性能分析

1、本章要求本章要求1 1 理解根轨迹的基本概念；（如：根轨迹；根理解根轨迹的基本概念；（如：根轨迹；根 轨迹法；闭环零、极点与开环零、极点之间轨迹法；闭环零、极点与开环零、极点之间 的关系；根轨迹方程等。）的关系；根轨迹方程等。）2 2 能够熟练地应用根轨迹的绘制法则绘制系统能够熟练地应用根轨迹的绘制法则绘制系统 的（概略）根轨迹；的（概略）根轨迹；3 3 学会等效开环传递函数的求取方法，能够熟学会等效开环传递函数的求取方法，能够熟 练地绘制系统的参量根轨迹；练地绘制系统的参量根轨迹；4 4 能够熟练地绘制零度根轨迹；能够熟练地绘制零度根轨迹；5 5 能够根据系统根轨迹分析和计算系统的性能够根据

2、系统根轨迹分析和计算系统的性 能指标。能指标。 本章要求本章要求一根轨迹的基本概念一根轨迹的基本概念二根轨迹绘制的基本法则二根轨迹绘制的基本法则主要内容主要内容三广义根轨迹三广义根轨迹第四章线性系统的根轨迹法三系统的性能分析三系统的性能分析利用系统的根轨迹：利用系统的根轨迹：A：确定出系统在：确定出系统在某一开环增益某一开环增益或或其它参量值其它参量值下的下的闭环极点闭环极点及及闭环零点闭环零点。B：根据系统闭环：根据系统闭环零、极点的分布零、极点的分布位置，分析系统位置，分析系统的的稳态性能稳态性能和和动态性能动态性能。第四节系统的性能分析根据系统的开环传递函数作出系统的根轨迹之后，就根据系

3、统的开环传递函数作出系统的根轨迹之后，就可以利用根轨迹确定在某一参数可以利用根轨迹确定在某一参数(例如例如 、 或或 )值值下的闭环极点。下的闭环极点。特定特定 (或或 )值下的闭环极点值下的闭环极点：根据：根据幅值条件幅值条件来确定来确定1先用试探法确定闭环实数极点的数值，再用综合除先用试探法确定闭环实数极点的数值，再用综合除法法(长除法长除法)得到其余的闭环极点。得到其余的闭环极点。2若在特定若在特定 (或或 )值下，只有一对复数极点，则值下，只有一对复数极点，则可直接在概略根轨迹上用上述方法获得闭环极点。可直接在概略根轨迹上用上述方法获得闭环极点。KT *KKK*K闭环零点和闭环根轨迹增

4、益闭环零点和闭环根轨迹增益 ：由前述：由前述闭环零、闭环零、极点与开环零、极点间的关系极点与开环零、极点间的关系来直接确定。来直接确定。闭环根轨迹增益闭环根轨迹增益：就等于前向通道：就等于前向通道 的根轨的根轨迹增益迹增益 (对单位反馈系统，对单位反馈系统， 就等于开环根轨迹就等于开环根轨迹增益增益 )闭环零点闭环零点：由前向通道：由前向通道 的零点和反馈通道的零点和反馈通道 的极点组合而成的极点组合而成(对于单位反馈系统，闭环零点就等于开对于单位反馈系统，闭环零点就等于开环零点环零点)。*闭闭K*闭闭K)(sG*GK*闭闭K*K)(sG)(sH于是可确定系统的闭环传递函数的于是可确定系统的闭

5、环传递函数的 表达式为：表达式为： 闭环根轨迹增益闭环根轨迹增益 闭环零点闭环零点 闭环极点闭环极点)(s niimjjsszsKsRsCs11*)()()()()(闭闭*闭闭Kjzis)(thssszsKsRssCniimjj1)()()()()(11* 闭闭)()()()(11*11 niimjjssszsKsCth闭闭L LL L nktskkeAA10其中：其中：)0(0 AksskksssCA )( nkiiikkmjjkssszsK11*)()(闭闭 、 可由根轨迹图上用图解法求得：即可由根轨迹图上用图解法求得：即0AkA niimjjszKA11*0闭闭 nkiiikkmjjkk

6、ssszsKA11*)()(闭闭求出系统的求出系统的单位阶跃响应单位阶跃响应 后，可绘制出后，可绘制出 曲线曲线，根据根据 曲线，就可以确定出系统的各项曲线，就可以确定出系统的各项性能指标性能指标。局限：局限：对于低阶系统容易对于低阶系统容易高阶系统要得到高阶系统要得到 曲线很费时，不便于应用曲线很费时，不便于应用)(th)(th)(th)(th回顾回顾主导极点法：主导极点法：将闭环系统的非主导极点忽略，而将闭环系统的非主导极点忽略，而用闭环系统主导极点代替闭环系统的全部极点，用闭环系统主导极点代替闭环系统的全部极点，来估计系统的性能指标。来估计系统的性能指标。一般地，凡到虚轴的距离比主导极点

7、到虚轴的距一般地，凡到虚轴的距离比主导极点到虚轴的距离大离大5倍倍以上的闭环极点都可忽略掉。以上的闭环极点都可忽略掉。经验表明，有时把大经验表明，有时把大23倍倍的闭环极点忽略掉所带的闭环极点忽略掉所带来的误差，工程上也是允许的。来的误差，工程上也是允许的。回顾回顾当系统的闭环极点与闭环零点当系统的闭环极点与闭环零点距离非常近距离非常近而构而构成成闭环偶极子时闭环偶极子时，这个闭环极点所对应的瞬态，这个闭环极点所对应的瞬态变量的变量的系数系数就变得就变得很小很小，此时该闭环极点所对，此时该闭环极点所对应的瞬态分量在应的瞬态分量在 中，就可以中，就可以忽略忽略掉。掉。故：故：经过这样经过这样略去

8、略去非主导极点、零点及闭环偶极子非主导极点、零点及闭环偶极子后，一般高阶系统就后，一般高阶系统就变成了变成了一、二阶系统。一、二阶系统。分析一、二阶系统性能指标的公式或曲线，就分析一、二阶系统性能指标的公式或曲线，就可以直接用来估计高阶系统的性能指标了。可以直接用来估计高阶系统的性能指标了。)(th例例1单位负反馈系统的开环传递函数为：单位负反馈系统的开环传递函数为： 若要求闭环单位阶跃响应的若要求闭环单位阶跃响应的 ，试确，试确定开环增益。定开环增益。)6)(4()( sssKsGgk%18% 解：解：首先画出根轨迹。从根轨迹上看出，随着首先画出根轨迹。从根轨迹上看出，随着 的增的增加，主导

9、极点越显著。所以可以用二阶系统的性能加，主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计算。指标近似计算。gK-20-15-10-505-15-10-5051015Root LocusReal AxisImaginary AxisABaja123例例1由给定的性能指标，可计算出：由给定的性能指标，可计算出：在根轨迹上做出在根轨迹上做出等等 线线，则其与根轨迹的交点，则其与根轨迹的交点A、B就是该三阶系统的主导极点。就是该三阶系统的主导极点。通过求通过求A、B两点的坐标两点的坐标，可以确定这时的，可以确定这时的根轨迹增根轨迹增益益 ，进而求得，进而求得开环增益开环增益 。%100%cote)1

10、/cot(2%18% 60gKK例例1根据相角条件：根据相角条件：又已知：又已知：解得：解得：再由幅值条件可得：再由幅值条件可得：) 12(321k) 12(324arctan6arctankaaaa33tanaa1 . 2, 2 . 1aa1)6)(4(AsgsssK44gK例例1由根之和法则，可确定出由根之和法则，可确定出第三个闭环极点：第三个闭环极点：所以所以A、B点点符合符合主导极点条件。主导极点条件。开环增益与开环根轨迹间的关系为：开环增益与开环根轨迹间的关系为：所以当开环增益所以当开环增益 时，闭环系统的超调时，闭环系统的超调量量 。32 . 12 . 164s6 . 73s ni

11、imjjgzpKK1183. 16444 K83. 1K%18% 例例1此时系统的闭环传递函数可写为：此时系统的闭环传递函数可写为： 思考：思考：若略去非主导极点后，系统的闭若略去非主导极点后，系统的闭环传递函数为何种形式？环传递函数为何种形式？是否可是否可直接略去直接略去非主导极点，简化为：非主导极点，简化为：)85. 54 . 2)(6 . 7(44)(2 ssss单位阶跃作单位阶跃作用下用下无无稳态稳态误差误差1)0(单位阶跃作单位阶跃作用下用下有有稳态稳态误差误差1)0()85. 54 . 2()6 . 7(44)(2ssss例例1这是因为在这是因为在略去略去非主导极点或偶极子时，闭环

12、系统非主导极点或偶极子时，闭环系统的的根轨迹增益根轨迹增益可能会发生可能会发生变化变化。所以。所以不能不能简单地只简单地只是直接略去非主导极点或偶极子。是直接略去非主导极点或偶极子。此时系统略去主导极点后的闭环传递函数应写为：此时系统略去主导极点后的闭环传递函数应写为：85. 54 . 285. 5)(2sss例例11稳定性稳定性 稳定性只与闭环极点位置有关，如果闭环极点全部稳定性只与闭环极点位置有关，如果闭环极点全部 位于位于 平面的平面的左半平面左半平面，则系统，则系统稳定稳定。2运动形式运动形式 如果闭环系统如果闭环系统无零点无零点，且闭环极点，且闭环极点均为均为实数极点实数极点， 则时

13、间响应是则时间响应是单调单调的；的； 若闭环极点若闭环极点均为均为复数极点复数极点，时间响应一般是，时间响应一般是振荡振荡的的s3超调量超调量 主要取决于闭环复数主要取决于闭环复数主导极点主导极点的，并与其它闭环的，并与其它闭环 零、极点零、极点接近接近坐标原点坐标原点的程度有关。的程度有关。4调节时间调节时间 主要取决于主要取决于最靠近虚轴最靠近虚轴的的闭环复数极点闭环复数极点的的实部绝实部绝 对值对值； 若实数极点距离虚轴最近，且附近没有其它实数若实数极点距离虚轴最近，且附近没有其它实数 零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。5实数零、极点的影响实数零、极点的影响 零点零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大； 极点极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。 这种作用随其这种作用随其接近坐标原点接近坐标原点的程度而的程度而加强加强。6偶极子及其处理偶极子及其处理 偶极子偶极子远离远离坐标原点时，它们对系统性能的影响坐标原点时，它们对系统性能的影响可忽可忽 略不计略