西工大、西交大自动控制原理 第三章 线性系统的时域分析法_03new

1、本章要求本章要求1 1掌握一阶系统对单位阶跃信号响应的分析计掌握一阶系统对单位阶跃信号响应的分析计 算，会求算，会求 及及 ；2 2 牢固掌握二阶系统单位阶跃信号响应的计牢固掌握二阶系统单位阶跃信号响应的计 算，牢记求算，牢记求 的公式；的公式；3 3 学会从二阶系统的性能指标确学会从二阶系统的性能指标确 定二阶系统参数定二阶系统参数 的方法；的方法；Tstsprttt%,st%,TK,本章要求本章要求4 4 理解高阶系统主导极点的概念理解高阶系统主导极点的概念, ,会求高阶系会求高阶系 统的和；统的和；5 5 正确理解稳定性概念和充要条件；学会应用正确理解稳定性概念和充要条件；学会应用 劳斯

2、判据分析判断系统的稳定性；劳斯判据分析判断系统的稳定性；6 6 学会求取系统误差的方法；掌握用静态误差学会求取系统误差的方法；掌握用静态误差 系数法求取系统的稳态误差；了解动态误差系数法求取系统的稳态误差；了解动态误差 系数法。系数法。 %st一系统时间响应的性能指标一系统时间响应的性能指标二一阶系统的时域分析二一阶系统的时域分析主要内容主要内容五线性系统的稳定性分析五线性系统的稳定性分析三二阶系统的时域分析三二阶系统的时域分析四高阶系统的时域分析四高阶系统的时域分析六线性系统的稳态误差分析六线性系统的稳态误差分析动态过程动态过程：又称：又称过渡过程过渡过程或或瞬态过程瞬态过程，指系统在，指系

3、统在典型输典型输入信号入信号的作用下，系统输出量从的作用下，系统输出量从初始状态初始状态到到最终状态最终状态的响应过程。的响应过程。表现形式：表现形式：衰减衰减、发散发散或或等幅振荡等幅振荡。动态性能动态性能指标：指标：稳定的稳定的系统在系统在单位阶跃函数单位阶跃函数作用下，动作用下，动态过程随时间的变化状况的指标。态过程随时间的变化状况的指标。延迟时间延迟时间（delay timedelay time）- - t td d上升时间上升时间（rise timerise time）- - t tr r峰值时间峰值时间（peak timepeak time）- - t tp p调节时间调节时间（s

4、ettling timesettling time）- - t ts s超调量超调量（percent overshootpercent overshoot）- - % 0 0内容回顾内容回顾0 0内容回顾内容回顾稳态过程稳态过程：系统在：系统在典型输入信号典型输入信号的作用下，当的作用下，当时间趋时间趋于无穷于无穷时，系统时，系统输出量输出量的表现方式，又称的表现方式，又称稳态响应稳态响应稳态误差稳态误差：描述系统：描述系统稳态性能稳态性能的一种性能的一种性能指标指标，通常，通常在在阶跃函数阶跃函数、斜坡函数斜坡函数或或加速度函数加速度函数作用下进行测定作用下进行测定或计算。或计算。若时间趋于

5、无穷时，系统的若时间趋于无穷时，系统的输出量输出量不等于不等于输入量输入量或或输输入量的确定函数入量的确定函数，则系统存在稳态误差。，则系统存在稳态误差。0 0内容回顾内容回顾 输出信号（输出信号（ ） 输入信号输入信号)1(2122TtTeTTttTte1TteT1TtTeTt0t)( 1 t)(tt221t一阶系统对典型输入信号的输出响应一阶系统对典型输入信号的输出响应0 0内容回顾内容回顾系统对系统对输入信号输入信号导数的导数的响应响应，就等于系统对该，就等于系统对该输入信输入信号号响应的响应的导数导数；系统对系统对输入信号输入信号积分的积分的响应响应，就等于系统对该，就等于系统对该输入

6、信输入信号号响应的响应的积分积分，积分常数积分常数由由零初始条件零初始条件确定。确定。这一特性适用于任何这一特性适用于任何线性定常系统线性定常系统，但，但不适用于不适用于时变时变系统系统和和非线性系统非线性系统。因此，研究线性系统时，因此，研究线性系统时，只取一种只取一种典型形式典型形式研究。研究。以以二阶微分方程二阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为作为运动方程的控制系统，称为二阶系二阶系统统（second-order systemsecond-order system）。）。在控制过程中，不仅二阶系统的典型应用在控制过程中，不仅二阶系统的典型应用极为普遍极为普遍，而，而且许多高阶系统的特

7、性在一定条件下，也可用二阶系统且许多高阶系统的特性在一定条件下，也可用二阶系统的特性来表示。的特性来表示。着重研究二阶系统的分析和计算方法，具有较大的实际着重研究二阶系统的分析和计算方法，具有较大的实际意义。意义。 概述概述3-3二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析例例 ：英吉利海峡海底隧道钻机：英吉利海峡海底隧道钻机逗留者号火星漫游车 ，以太阳 能作动力，于1997年7月4日着陆，重23磅。由地球发出路径控制信号实施 遥控，54)(2ssKsG1 1二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型为使研究结果具有普遍意义，二阶系统的传递函数可写为使研究结果具有普遍意义，二阶系统的传递函数可写为以下形式：

8、为以下形式： 2222)()(nnnsssRsCs )(sR)(sC)2(2nnss 称为称为无阻尼自然振荡角频率无阻尼自然振荡角频率（undamped natural undamped natural frequencyfrequency）, ,简称简称自然频率自然频率； 称为称为阻尼比阻尼比（damping ratiodamping ratio）, ,或或相对阻尼系数相对阻尼系数。n例例 ：火星漫游车：火星漫游车逗留者号火星漫游车 ，以太阳 能作动力，于1997年7月4日着陆，重23磅。由地球发出路径控制信号实施 遥控，54)(2ssKsG若令二阶系统标准形式若令二阶系统标准形式的分母为零

9、，得二阶系统的的分母为零，得二阶系统的特征方程特征方程，及其，及其根根：可见，二阶系统的可见，二阶系统的时间响应时间响应取决于取决于 和和 两个参数两个参数。122, 1 nns0222 nnss n 1 1二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 2222)()(nnnsssRsCs （1 1）负阻尼情况）负阻尼情况当当 时，二阶系统具有两个时，二阶系统具有两个正实部正实部的的共轭复根共轭复根，其单位阶跃响应为：其单位阶跃响应为：01 )1arctan();1sin(11)1()(2122121)(22222212212221 tesssLssssLsssLthntnnnnnnnnnn2 2二阶

10、系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应当当 时，系统的动态过程为时，系统的动态过程为1)1(12)1(121)(22)1(22)1(22 ttnneeth（1 1）负阻尼情况）负阻尼情况2 2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应2, 1n 00.20.40.60.811.21.41.61.820510152025303540Step ResponseTime (sec)Amplitude可见当阻尼比可见当阻尼比 时，因其阶跃响应的指数因子时，因其阶跃响应的指数因子具有具有正幂指数正幂指数，导致系统的阶跃响应动态过程为，导致系统的阶跃响应动态过程为发发散正弦振荡散正弦振荡（ ）或）或单

11、调发散单调发散（ ）的形式。的形式。从而表明，当从而表明，当 时，即在时，即在负阻尼情况负阻尼情况下二阶系下二阶系统是统是不稳定不稳定的。的。001 10（1 1）负阻尼情况）负阻尼情况2 2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 （无阻尼无阻尼情况）时，情况）时，系统特征方程有一对纯虚系统特征方程有一对纯虚根，根，系统的阶跃响应为等幅振系统的阶跃响应为等幅振荡，相当于荡，相当于无阻尼无阻尼情况。情况。0njs 2, 1j0n1s2s（2 2）无阻尼情况）无阻尼情况2 2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的二阶系统的特征方程特征方程0222 nnss 二阶系统无阻尼时的

12、二阶系统无阻尼时的单位阶跃响应单位阶跃响应为：为： tsssLssLsCLthnnnn cos111)()(22122211 t)(th21（2 2）无阻尼情况）无阻尼情况2 2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 （欠阻尼欠阻尼情况）：情况）：此时，系统特征方程有此时，系统特征方程有负负实部实部共轭共轭复根，复根，系统的阶跃响应为系统的阶跃响应为衰减振衰减振荡荡，处于欠阻尼情况。，处于欠阻尼情况。1022, 11nnsj0n1s2s21n21n（3 3）欠阻尼情况）欠阻尼情况2 2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的二阶系统的特征方程特征方程0222nnss在欠阻尼

13、情况下，系统的在欠阻尼情况下，系统的单位阶跃响应单位阶跃响应为为ssssRsssCnnnnnn12)(2)(222222 2222)()(1dnndnnssss 21 nd其中：其中：（3 3）欠阻尼情况）欠阻尼情况2 2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应阻尼振荡频率阻尼振荡频率为求得系统的单位阶跃响应，对上式进行为求得系统的单位阶跃响应，对上式进行拉氏反变换拉氏反变换： 22221)()(1)(dnndnnssssLth )sin(111sincos1111sin1cos12222 tettetetedtddtdtdtnnnn其中：其中： ，或者，或者)/1arctan(2 arc

14、cos （3 3）欠阻尼情况）欠阻尼情况2 2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应1)(th0t欠阻尼时，二阶系统单位阶跃响应欠阻尼时，二阶系统单位阶跃响应稳态分量稳态分量为为1 1；瞬瞬态分量态分量为阻尼正弦振荡项。为阻尼正弦振荡项。瞬态分量瞬态分量衰减的速度衰减的速度取决于取决于包络线收敛包络线收敛的速度。的速度。所以称为所以称为衰减系数衰减系数。n21/1tne（3 3）欠阻尼情况）欠阻尼情况2 2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应在控制工程中，通常都希望在控制工程中，通常都希望控制系统具有适度的控制系统具有适度的阻尼阻尼、较快的较快的响应速度响应速度和较短的和较短的调

15、调节时间节时间。二阶控制系统一般。二阶控制系统一般取取 。欠阻尼二阶系统各特征参量欠阻尼二阶系统各特征参量关系如图示：关系如图示：8 . 04 . 0 1s2sn21ndncosj0（3 3）欠阻尼情况）欠阻尼情况2 2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应n衰减系数衰减系数阻尼角阻尼角d阻振荡频率尼角阻振荡频率尼角 （临界阻尼临界阻尼情况）：情况）：此时，系统特征方程此时，系统特征方程有两个有两个相等的相等的负实根负实根，系统的阶跃响应为非系统的阶跃响应为非周期地趋于稳态，处周期地趋于稳态，处于临界阻尼情况。于临界阻尼情况。1 ns 2, 1j0n21ss （4 4）临界阻尼情况）临界

16、阻尼情况2 2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的二阶系统的特征方程特征方程0222 nnss 二阶系统临界阻尼时的单位阶跃响应为：二阶系统临界阻尼时的单位阶跃响应为： )1 (111)(121)()(2122211teetesssLssLsCLthnttntnnnnnnnnn )(tht1（4 4）临界阻尼情况）临界阻尼情况2 2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 （过阻尼过阻尼情况）：情况）：此时，系统特征方程此时，系统特征方程有两不相等的有两不相等的负实根负实根，系统的阶跃响应为系统的阶跃响应为非非周期地周期地趋于稳态，处于过阻尼情况。趋于稳态，处于过阻尼情况

17、。1 122, 1 nnsj01s2s（5 5）过阻尼情况）过阻尼情况2 2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应二阶系统二阶系统过阻尼过阻尼时的单位阶跃响应为：时的单位阶跃响应为：)1(1,)1(1)/1)(/1(1)(2221212 nnnTTTsTsssC（5 5）过阻尼情况）过阻尼情况2 2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应1/1/1/1)/(/1)/(1)/1)(/1(1)(21/12/221211211212121 TTeTTeTsTTTTsTTTsLTsTssLthTtTtn 1t)(th)(21TT 二阶系统单位阶跃响应曲线二阶系统单位阶跃响应曲线tn2 2二阶

18、系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应012345678910111200.20.40.60.811.21.41.61.82h(t)=0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 2.0 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的动态过程欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的动态过程3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析)(h)(th)(9.0h)(5.0h)(1.0h0上升时间峰值时间调节时间延迟时间超调量误差带稳态误差tt(1)(1)延迟时间（延迟时间（delay timedelay time） 的计算的计算dt3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻

19、尼二阶系统的动态过程分析5 . 0)sin(11)(2 ddtdtethdn)sin(1212 ddttedn)1sin(1222 dnttedn)cos1sin(12ln1122 dndntt(1)(1)延迟时间（延迟时间（delay timedelay time） 的计算的计算dt3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析给出给出 不同值，可解出不同值，可解出 的对应值来，从而可作的对应值来，从而可作出出 曲线。曲线。利用利用曲线拟合曲线拟合法，法，由由 曲线可得：曲线可得：在欠阻尼情况下在欠阻尼情况下, ,有有: :可见可见: :dntdntdnt0.2 0.4 0.

20、6 0.8 1.01.2 1.42.52.01.51.00.5Odnt22 . 06 . 01dnt7 . 01dntndt7 . 01 dnt )10( 这里定义这里定义 为响应从为响应从零零第一次上升到第一次上升到终值终值所需的时间所需的时间rt3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析(2)(2)上升时间（上升时间（rise timerise time） 的计算的计算rt1)sin(11)(2 rdtrtethrn0)sin(12 rdttern 1cosrdt)0cos(1不不可可能能 rdtndrt 2111coscos nrt 21 阻阻尼尼角角: 响应在响应在

21、峰值峰值时间处的时间处的导数导数必为零，可得：必为零，可得：0)cos(1)sin(1)( 22 pdtdpdtnptetethpnpn3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析(3)(3)峰值时间（峰值时间（peak timepeak time） 的计算的计算pt)cos(1)sin(2 pdnpdntt 21)( pdttg 21)tan( dppdtt ,3,2, 0%3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析(4)(4)超调量（超调量（percent overshootpercent overshoot） 的计算的计算)sin(11)(2max

22、pdtptethhpndpt sin11)sin(11)(212122 eethp 2212211111 ee%3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析(4)(4)超调量（超调量（percent overshootpercent overshoot） 的计算的计算 2212211111)( eethp1)( h%100)()()(%100)()(%max hhthhhhp %10021/ e欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统 与与 关系曲线关系曲线00.20.40.60.81020406080100%n8 . 04 . 0可见，超调量可见，超调量仅是仅是阻尼比阻尼比 的的函数函

23、数，而与自然，而与自然频率频率 无关无关。 超调量与阻尼超调量与阻尼比的关系曲线说明，比的关系曲线说明，阻尼比越大，超调量阻尼比越大，超调量越小越小。 一般，选取一般，选取%4 .25%5 . 1% %3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析(4)(4)超调量（超调量（percent overshootpercent overshoot） 的计算的计算%100%21/ e欠阻尼二阶系统单位阶跃响应欠阻尼二阶系统单位阶跃响应可以看出，指数曲线可以看出，指数曲线 是对称是对称于于 的的一对一对包络线包络线，整个响应曲线，整个响应曲线总是包含总是包含在在这一对包络线中的。实际输

24、出响应的收敛程度这一对包络线中的。实际输出响应的收敛程度小于小于包络包络线的收敛程度。线的收敛程度。st)sin(111)(2 tethdtn21/1 tne1)( h3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析(5)(5)调节时间（调节时间（settling timesettling time） 的计算的计算欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统 的一对包络线的一对包络线012345-0.500.511.522.5707. 021tne21tnettctn)(thssc)(th3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析st(5)(5)调节时间（调节时间（settl

25、ing timesettling time） 的计算的计算(5)(5)调节时间（调节时间（settling timesettling time） 的计算的计算3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析st工程工程上常采用上常采用近近似法似法计算调节时计算调节时间。按包络线计间。按包络线计算调节时间必然算调节时间必然存在误差，但在存在误差，但在初步分析和设计初步分析和设计中是可行的。中是可行的。令令代表计算代表计算t ts s时的误差带。则时的误差带。则 11112snte 21 snte21ln snt211ln1 nst当当 时，时，当当 时，时，实践中，当实践中，当 时

26、，可用下列式子求调节时间时，可用下列式子求调节时间 实践中，为简便也常采用近似式：实践中，为简便也常采用近似式：nnst 211ln3 8 . 04 . 0 )02. 0( nst 4 )05. 0( nst5 . 302. 0nnnnst 21122ln411ln50ln1102. 01ln1 nst 3 05. 0(5)(5)调节时间（调节时间（settling timesettling time） 的计算的计算3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析st振荡次数是指在振荡次数是指在 时间内时间内, , 穿越穿越 次数的次数的一半一半（注意：振荡次数只能取（注意：振荡

27、次数只能取整数整数）。）。stt 0)(th)( hdsTtN );122(2称为阻尼振荡周期称为阻尼振荡周期 nddT)02. 0( 22121/2/4 N)05. 0( 2215 . 11/2/3 N(6)(6)振荡次数振荡次数 N N 的计算的计算3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析)02. 0( nst 4 )05. 0( nst3显然显然, , N N 也是只与阻尼比也是只与阻尼比 有关有关(1) (1) 、 、 、 均与均与 、 有关有关，而，而 ， 则则只与只与 有关有关；(2) (2) 各动态性能指标间是各动态性能指标间是有矛盾有矛盾的。的。例如例如

28、和和 。在设计系统时，增大。在设计系统时，增大 一般一般 是通过提高开环增益是通过提高开环增益 来实现的。而时间常数来实现的。而时间常数 不能改变。不能改变。 可见可见 和和 对对 的要求的要求相矛盾相矛盾。stptrtdtn%N pt%n KT)/(,)21(%TKKtKTKnnp %ptK(7)(7)小结小结3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析过阻尼二阶系统过阻尼二阶系统响应缓慢响应缓慢，通常不被采用；，通常不被采用；分析过阻尼二阶系统动态过程的分析过阻尼二阶系统动态过程的意义意义：在某些在某些特殊情况特殊情况下下( (如低增益、大惯性的温控系统如低增益、大惯性的

29、温控系统) )在不允许出现超调而又希望响应速度较快的情况下在不允许出现超调而又希望响应速度较快的情况下需要采用需要采用临界阻尼临界阻尼；许多高阶系统可以用过阻尼二阶系统许多高阶系统可以用过阻尼二阶系统近似近似过阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：过阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：响应为响应为单调上升单调上升过程，所以过程，所以没有超调没有超调产生产生 ，只有只有延迟时间延迟时间 ，上升时间，上升时间 和和调节时间调节时间 有意义有意义. .4 4过阻尼二阶系统的动态过程分析过阻尼二阶系统的动态过程分析1/1/1)(21/12/21 TTeTTethTtTt)0%(dtrtst二阶系统过阻尼单位阶跃响应

30、为超越方程，求解困难。二阶系统过阻尼单位阶跃响应为超越方程，求解困难。可用可用近似公式近似公式来计算延迟时间：来计算延迟时间：ndt 22 . 06 . 01 (1)(1)延迟时间（延迟时间（delay timedelay time） 的计算的计算4 4过阻尼二阶系统的动态过程分析过阻尼二阶系统的动态过程分析这里的这里的 定义为响定义为响应从终值的应从终值的10%10%上升上升到终值的到终值的90%90%所需的所需的时间。时间。同样利用同样利用近似公式近似公式：rtnrt 25 . 11 11.21.41.61.822.22.42.62.83345678910111213rnt过阻尼二阶系统过

31、阻尼二阶系统 与与 的关系曲线的关系曲线rnt(2)(2)上升时间（上升时间（rise timerise time） 的计算的计算4 4过阻尼二阶系统的动态过程分析过阻尼二阶系统的动态过程分析(3)(3)调节时间（调节时间（settling timesettling time） 的计算的计算根据过阻尼二阶系统根据过阻尼二阶系统单位阶跃响应，可以单位阶跃响应，可以令令 为不同值，以为不同值，以阻尼比为参变量，阻尼比为参变量，解出相应的解出相应的 。做。做出曲线如图。出曲线如图。其中：其中：21/TT1/Tts st4 4过阻尼二阶系统的动态过程分析过阻尼二阶系统的动态过程分析过阻尼二阶系统的调节

32、时间特性过阻尼二阶系统的调节时间特性)/1)(/1(22122TsTsssnn 2121/2)/(1TTTT 13579111315171933.23.43.63.844.24.44.64.82.22.22.12.12.02.01.91.91.81.81.71.71.61.61.51.51.41.41.31.31.21.21.11.11Tts21TT误差带5%)(21TT 由已知的由已知的 、 ，可在图中查出相应的可在图中查出相应的调节时间调节时间 。但若但若 ，系统可，系统可等价为具有等价为具有 闭闭环极点的一阶系统，环极点的一阶系统，此时调节时间取此时调节时间取相对误差不超过相对误差不超过

33、10%10%。1T2Tst214TT 1/1 T13Tts过阻尼二阶系统的调节时间特性过阻尼二阶系统的调节时间特性13579111315171933.23.43.63.844.24.44.64.82.22.22.12.12.02.01.91.91.81.81.71.71.61.61.51.51.41.41.31.31.21.21.11.11Tts21TT误差带5%)(21TT (3)(3)调节时间（调节时间（settling timesettling time） 的计算的计算st4 4过阻尼二阶系统的动态过程分析过阻尼二阶系统的动态过程分析当当 时，时， 临界阻尼二阶系统的临界阻尼二阶系统的调节时间为：调节时间为： 1 1/21 TT175. 4Tts 过阻尼二阶系统的调节时间特性过阻尼二阶系统的调节时间特性13579111315171933.23.43.63.844.24.44.64.82.22.22.12.12.02.01.91.91.81.81.71.71.61.61.51.51.41.41.31.31.21.21.11.11Tts21TT误差带5%)