线性空间的定义

1、我们知道，在数域我们知道，在数域P上的上的n维线性空间维线性空间V中取定一组基后，中取定一组基后，V中每一个向量中每一个向量 有唯一确定的坐标有唯一确定的坐标 向量的向量的坐标是坐标是P上的上的n元数组，因此属于元数组，因此属于Pn. 这样一来，取定了这样一来，取定了V的一组基的一组基 对于对于V中每一个中每一个向量，令在这组基下的坐标向量，令在这组基下的坐标 与与 对应，就对应，就得到得到V到到Pn的一个单射的一个单射 反过来，对于反过来，对于 Pn 中的任一元素中的任一元素 是是V中唯一确定的元素，中唯一确定的元素，并且并且 即即 也是满射也是满射. 因此，是因此，是V到到 Pn 的一一对

2、应的一一对应.12(,),na aa 12,n 12(,)na aa 12:,(,)nnVPa aa12(,),na aa1 122nnaaa12( )(,),na aa 这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.任取任取 设设,V 12( )(,)nb bb 1 122,nnaaa1 122nnbbb12( )(,),na aa 则则1122()(,)nnab abab 12()(,)nkka kakakP 归结为它们的坐标的运算归结为它们的坐标的运算.这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以1212(,)(

3、,)( )( )nna aab bb 12(,)( ),nk a aak 从而从而设设 都是数域都是数域P上的线性空间，如果映射上的线性空间，如果映射 ,V V 具有以下性质：具有以下性质： VV ：则称的一个则称的一个同构映射同构映射，并称线性空间，并称线性空间 VV 是是 到到同构同构，记作，记作 VV 与与.VV ii) ()( )( ),V iii) ,kkkPV i) 为双射为双射 为为V的一组基，则前面的一组基，则前面V到到Pn的一一对应的一一对应例例1、V为数域为数域P上的上的n维线性空间，维线性空间， 12,n :,nVP 12(,)na aa V 这里这里 为在为在 基下的坐

4、标，基下的坐标， 12(,)na aa12,n 就是一个就是一个V到到Pn的同构映射，所以的同构映射，所以.nVP 1、数域数域P上任一上任一n维线性空间都与维线性空间都与Pn同构同构.同构映射，则有同构映射，则有 00,. 1）2、设设 是数域是数域P上的线性空间，上的线性空间， 的的VV 是是 到到,V V 2）1122()rrkkk1122()()(),rrkkk ,1,2, .iiVkPir 线性相关（线性无关）线性相关（线性无关）. 3）V中向量组中向量组 线性相关（线性无关）线性相关（线性无关）12,r 的充要条件是它们的象的充要条件是它们的象 12(), (), ()r 4）di

5、mdim.VV 5） 的逆映射为的逆映射为 的同构映射的同构映射.VV ：1 VV 到到是的子空间，且是的子空间，且V dimdim().WW () ( )WW 6） 若若W是是V的子空间，则的子空间，则W在下的象集在下的象集 中分别取即得中分别取即得01,kk 与与 00, 证证： 1）在同构映射定义的条件在同构映射定义的条件iii) kk 2）这是同构映射定义中条件这是同构映射定义中条件ii)与与iii)结合的结果结合的结果.3）因为由因为由11220rrkkk可得可得1122()()()0rrkkk 反过来，由反过来，由1122()()()0rrkkk 可得可得1122()0.rrkkk

6、而是一一对应，只有而是一一对应，只有 (0)0. 所以可得所以可得11220.rrkkk因此，线性相关（线性无关）因此，线性相关（线性无关）12,r 12(), (), ()r 线性相关（线性无关）线性相关（线性无关）.4）设为设为V 中任意一组基中任意一组基.12,d,im,nVn 由由2）3）知，知， 为的一组基为的一组基. 12(), (), ()n 所以所以dimdim.VnV 11()() 任取任取 ,V 11,VVII I为恒等变换为恒等变换.1111()()()() 11()() 5）首先是首先是11对应，并且对应，并且1:VV 同理，有同理，有11()(),kkVkP 所以，为

7、的同构映射所以，为的同构映射.1 VV 到到由于是同构映射，有由于是同构映射，有 再由是单射，有再由是单射，有 111()()() 6）首先，首先， WVV ,WW 且且0=00=0其次，对其次，对 有有W中的向量中的向量 ,W , 使使 ,. 于是有于是有 ,kkkkP 由于由于W为子空间，所以为子空间，所以 ,.WkW从而有从而有 ,.WkW由由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合可知，同构映射保持零元、负元、线性组合dimdim().WW 故故所以是的所以是的 子空间子空间.V W WW 显然，也为显然，也为W到的同构映射，即到的同构映射，即 W 及线性相关性，并且同构映射把子空间映

8、成子空间及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.证：设证：设 为线性空间的同构为线性空间的同构,:VVVV：3、两个同构映射的乘积还是同构映射两个同构映射的乘积还是同构映射. kkk kk 任取任取,VkP，有有映射，则乘积映射，则乘积 是是 的的11对应对应. VV 到到 所以，乘积所以，乘积 是是 的同构映射的同构映射. VV 到到 同构关系具有：同构关系具有：反身性：反身性： 对称性：对称性：传递性：传递性： ,VVVVVV VIVV 1VVVV 4、数域数域P上的两个有限维线性空间上的两个有限维线性空间 同构同构12,V V12dimdim.VV证：证：若由性质若由性质2之之4）

9、即得即得12,VV 12dimdim.VV （法一）若（法一）若12dimdim,VV 12.VV由性质由性质1 ，有，有12,nnVPVP设设 分别为分别为V1, V2的一组基的一组基. 1221,;,nneee 定义定义 使使12:,VV 1 1221,nnaaaV1 12 2( )n na ea ea e 则就是则就是V1到到V2的一个映射的一个映射. （法二：构造同构映射）（法二：构造同构映射）又任取设又任取设11,nniiiiiiab1,V 1,2, ,in 从而，所以是单射从而，所以是单射. 若若 即即 则则( )( ), 11,nniiiiiia ebe ,iiab 任取设任取设

10、2,V 1,niiia e 所以是满射所以是满射. 再由的定义，有再由的定义，有 (),1,2,iiein ()( )( ), ,kk 易证，对有易证，对有1,kPV 12.VV 所以是所以是V1到到V2的一个同构映射，故的一个同构映射，故 则有则有 使使11,niiiaV ( ). 例例2、把复数域看成实数域把复数域看成实数域R上的线性空间，上的线性空间， 证法一证法一：证维数相等：证维数相等证明：证明：2CR 首先，首先， 可表成可表成 1,xabia bR,xCx 其次，若其次，若 则则 0.abia b 1+=0,=1+=0,=所以，所以，1，i为为C的一组基，的一组基，dim2.C

11、又，又，2dim2R 2dimdim.CR 所以，所以，12.VV 故，故，证法二证法二：构造同构映射：构造同构映射则为则为C到到R2的一个同构映射的一个同构映射.作对应作对应 2:,.CRabia b作成实数域作成实数域R上的线性空间上的线性空间. 把实数域把实数域R看成是自身上的线性空间看成是自身上的线性空间.,kababk aa 例例3、全体正实数全体正实数R+ + 关于加法关于加法与数量乘法：与数量乘法： 证明：并写出一个同构映射证明：并写出一个同构映射. ,RR 证证：作对应：作对应 :,ln ,RRaaaR 易证为的易证为的11对应对应. RR 到到且对有且对有,a bRkR lnlnlnababababab lnlnkkk aaakaka 所以，为的同构映射所以，为的同构映射. RR 到到故故 .RR 方法二方法二：作对应：作对应 :,xRRxexR 易证：为的易证：为的11对应，而且