2016新课标三维人教B版数学选修1-12.2双曲线

1、 _2.2双_曲_线22.1双曲线的标准方程双曲线的定义我海军“洛阳”舰和“太湖”舰组成第十六批护航编队远赴亚丁湾，在索马里海域执行护航任务某日“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰相距1 600 m的“太湖”舰，3 s后也监听到了该马达声(声速为340 m/s)问题1：“太湖”舰比“洛阳”舰距离快艇远多少m?提示：远340×31 020 m.问题2：若把“洛阳舰”和“太湖舰”看成两个定点A、B，快艇看成动点M，M满足什么条件？提示：|MB|MA|1 020.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这

2、两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.双曲线的标准方程在平面直角坐标系中A(3,0)，B(3,0)，C(0，3)，D(0，3)问题1：若动点M满足|MA|MB|4，则M的轨迹方程是什么？提示：1.问题2：若动点M满足|MC|MD|4，则点M的轨迹方程呢？提示：1.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b21对双曲线定义的两点说明(1)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支若F1，F2表示双曲线的左、右焦点，且

3、点P满足|PF1|PF2|2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|PF1|2a，则点P在左支上(2)在双曲线定义中，规定2a|F1F2|，若把|F1F2|用2c表示，则当2a2c时，P的轨迹为双曲线当2a2c时，P的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线当2a2c时，动点P的轨迹不存在2对双曲线标准方程的三点认识(1)只有当双曲线的两焦点F1，F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程(2) 标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件， 这里b2c2a2与椭圆中b2a2c2相区别，且椭圆中ab0，而双曲线中a，b大小则不确

4、定(3)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上，若y2项的系数为正，则焦点在y轴上双曲线定义的应用例1已知双曲线1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得F1PF290°，求F1PF2的面积思路点拨根据双曲线的定义和勾股定理分别列出关于|PF1|，|PF2|的方程，求得|PF1|，|PF2|或|PF1|·|PF2|即可精解详析由1，得a3，b4，c5.由双曲线定义及勾股定理得|PF1|PF2|±6，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2102，(|PF1|PF2|)22|

5、PF1|·|PF2|100.|PF1|·|PF2|32.SF1PF2|PF1|·|PF2|16.一点通利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系；二是要与三角形知识相结合，如勾股定理、余弦定理、正弦定理等，同时要注意整体思想的应用1若点M在双曲线1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|3|MF2|，则|MF2|等于()A2B4C8 D12解析：双曲线中a216，a4,2a8，由双曲线定义知|MF1|MF2|8，又|MF1|3|MF2|，所以

6、3|MF2|MF2|8，解得|MF2|4.答案：B2已知动圆M与圆C1：(x3)2y29外切且与圆C2：(x3)2y21内切，则动圆圆心M的轨迹方程是_解析：设动圆M的半径为r.因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，所以|MC1|r3，|MC2|r1.相减得|MC1|MC2|4.又因为C1(3,0)，C2(3,0)，并且|C1C2|6>4，所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，且有a2，c3.所以b25，所求的轨迹方程为1(x2)答案：1(x2)求双曲线的标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4，经过点A；(2)经过点(3,0)，(6，3)思路点拨先设双曲线标准

7、方程，再构造关于a，b的方程组，求a，b.精解详析(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为1(b>0)，把A点的坐标代入，得b29，所求双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn<0)，双曲线经过点(3,0)，(6，3)，解得所求双曲线的标准方程为1.一点通(1)求双曲线标准方程的两个关注点(2)待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能设方程：根据焦点位置，设其方程为1或1(a0，b0)，

8、焦点位置不定时，亦可设为mx2ny21(mn0)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组得方程：解方程组，将a，b(m，n)代入所设方程即可得(求)标准方程3已知双曲线的一个焦点坐标为(，0)，且经过点(5,2)，则双曲线的标准方程为()A.y21 B.x21C.y21 D.1解析：依题意可设双曲线方程为1(a>0，b>0)，则有解得故双曲线标准方程为y21.答案：A4根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)过点P(3，)，Q(，5)且焦点在坐标轴上；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)解：(1)设双曲线的标准方程为mx2ny21(mn<0)，双曲线过P

9、(3，)，Q(，5)，解得所求双曲线方程为1.(2)设双曲线方程为1.由题意易求得c2.又双曲线过点(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求双曲线的方程为1.曲线类型的讨论例3(12分)已知方程kx2y24，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型精解详析(1)当k0时，y±2，表示两条与x轴平行的直线；(2分)(2)当k1时，方程为x2y24，表示圆心在原点，半径为2的圆；(4分)(3)当k<0时，方程为1，表示焦点在y轴上的双曲线；(7分)(4)当0<k<1时，方程为1，表示焦点在x轴上的椭圆；(10分)(5)当k>

10、1时，方程为1，表示焦点在y轴上的椭圆(12分)一点通将方程化为标准方程的形式，假如方程为1，则当mn<0时，方程表示双曲线若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线5“ab0”是“方程ax2by2c表示双曲线”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：当方程表示双曲线时，一定有ab0，反之，当ab0时，若c0，则方程不表示双曲线答案：A6若方程3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是()A(1,2) B(2，)C(，2) D(2,2)解析：由题意，方程可化为3，解得：m<2.答案：C求双曲线标准方程的方法(1)定义

11、法若由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线，可根据双曲线的定义确定其方程，这样能减少运算量(2)待定系数法，其步骤为：定类型：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两种情况都有可能，并设方程为1(a>0，b>0)或1(a>0，b>0)或mx2ny21(mn<0)定量：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组解方程组，将解代入所设方程即为所求1双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A.B.C.D(，0)解析：将双曲线方程化为标准方程为：x21，a21，b2，c2a2b2，c，故右焦点坐标为.答案：C2已知点F1(4,0)和F2(4,0)

12、，曲线上的动点P到F1，F2距离之差为6，则曲线方程为()A.1 B.1(y0)C.1或1 D.1(x0)解析：由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为1(x0)答案：D3已知方程(1k)x2(1k)y21表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，1)(1，)解析：由题意得解得即1<k<1.答案：A4椭圆1与双曲线y21有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形面积为()A48 B24C24 D12解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0，5)，又由椭圆与双曲线的定义

13、可得所以或又|F1F2|10，PF1F2为直角三角形，F1PF290°.因此PF1F2的面积S|PF1|PF2|×6×824.答案：B5设m是常数，若点F(0,5)是双曲线1的一个焦点，则m_.解析：由点F(0,5)可知该双曲线1的焦点落在y轴上，所以m0，且m952，解得m16.答案：166已知方程1表示的曲线为C.给出以下四个判断：当1<t<4时，曲线C表示椭圆；当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t<；若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4.其中判断正确的是_(只填正确命题

14、的序号)解析：错误，当t时，曲线C表示圆；正确，若C为双曲线，则(4t)(t1)<0，t<1或t>4；正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4t>t1>0.1<t<；正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则t>4.答案：7已知双曲线的一个焦点为F1(，0)，点P位于双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，求双曲线的标准方程解：设双曲线方程为1(a0，b0)因为c，c2a2b2，所以b25a2，a25.所以1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点坐标为(，4)，代入双曲线方程得1，解得a21(a225舍去)故双曲线的标准方程为x21.8已知

15、ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x25y25的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin Bsin Asin C.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程解：(1)将椭圆方程化为标准形式为y21.a25，b21，c2a2b24，则A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.(2)sin Bsin Asin C，由正弦定理得|CA|CB|AB|2<|AB|4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c2，a1，所求的点C的轨迹方程为x21(x>1)22.2双曲线的几何性质已知双曲线方程1(a>0，b>0)问题1：双曲线的对称轴和

16、对称中心各是什么？提示：坐标轴、坐标原点问题2：双曲线与坐标轴有交点吗？提示：与x轴有两个交点(a,0)，(a,0)，与y轴没有交点问题3：双曲线方程中x，y的取值范围是什么？提示：|x|a，yR.双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c范围xa或xa，yRya或ya，xR顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)对称性关于x轴、y轴和原点对称轴长实轴长2a，虚轴长2b渐近线±0或y±x±0或y±x离心率e(e1)对双曲线的简单几何性质的几点

17、认识(1)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程1(a>0，b>0)，得11，x2a2，|x|a，即xa或xa；(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然；(3)对称性：由双曲线的方程1(a>0，b>0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(x，y)，P2(x，y)均在双曲线上，因P与P1，P2分别关于y轴，x轴对称，因此双曲线分别关于y轴，x轴对称已知双曲线的标准方程求其几何性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程思路点拨精解详析双曲线的方程化为

18、标准形式是1，a29，b24，a3，b2，c.又双曲线的焦点在x轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为y±x.一点通已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的先化成标准方程弄清方程中的a，b对应的值，再利用c2a2b2得到c.然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质1双曲线2x2y28的实轴长是()A2B2C4 D4解析：双曲线方程可变形为1，所以a24，a2，2a4.答案：C2已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为()A4x±3

19、y0 B3x±4y0C4x±5y0 D5x±4y0解析：由已知得，双曲线焦点在x轴上，且c5，a3，双曲线方程为1.渐近线方程为0即±0.答案：A由双曲线的几何性质求标准方程例2求适合下列条件的双曲线标准方程(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y±x；(3)求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程思路点拨精解详析(1)设双曲线的标准方程为1或1(a>0，b>0)由题知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8，标准方程为1或1.(2)法一：当焦点在x轴上时，由且a3，b.所求双

20、曲线方程为1.当焦点在y轴上时，由且a3，b2.所求双曲线方程为1.法二：设以y±x为渐近线的双曲线方程为(0)，当>0时，a24，2a26，当<0时，a29，2a261.双曲线的方程为1和1.(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点(2，2)代入得k(2)22，双曲线的标准方程为1.一点通由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2ny21(mn>0)若已知双曲线的渐近线方程y±x，还可以将方程设为(0)，可避免讨论焦点的位

21、置3若双曲线的一个焦点为(0，13)，且离心率为，则其标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c13，又，所以a5，b12，故其标准方程为1.答案：D4与椭圆1共焦点，离心率之和为的双曲线标准方程为_解析：椭圆的焦点是(0,4)，(0，4)，c4，e，双曲线的离心率等于2，2，a2.b2422212.双曲线的方程为1.答案：1.求双曲线的离心率例3已知F1，F2是双曲线1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果PF2Q90°，则双曲线的离心率为_思路点拨精解详析设F1(c,0)，由|PF2|QF

22、2|，PF2Q90°，知|PF1|F1F2|2c，|PF2|2c.由双曲线的定义得2c2c2a.e1.所以所求双曲线的离心率为1.答案1一点通(1)求双曲线的离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，计算e；二是依据条件提供的信息建立关于参数a，b，c的等式，进而转化为关于离心率e的方程，再解出e的值(2)求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于a，b，c的不等关系5双曲线的渐近线为y±x，则双曲线的离心率是()A. B2C.或 D.或解析：若双曲线焦点在x轴上，则.e .若双曲线的焦点在y轴上，则，.e .答案：C6设a>1，则双曲线1的离心率e的取值范围是()A(

23、，2) B(， )C(2,5) D(2, )解析：e2221，a>1，0<<1,1<1<2，2<e2<5，又e>1，<e<.答案：B7设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_解析：设双曲线方程为1(a>0，b>0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直得·1，即b2ac，又c2a2b2，故c2a2ac，两边同除以a2，得方程e2e10，解得e(负值舍去)答案：1已知双曲线的方

24、程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由方程确定焦点所在的坐标轴，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等2如果已知双曲线的渐近线方程为y±x，那么双曲线方程可设为(0)3双曲线的离心率e (a>0，b>0)1双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m()AB4C4 D.解析：双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍， m<0，且双曲线方程为y21，m.答案：A2(新课标全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ay±x By±xCy±x Dy±x解析：由双曲线的离心率e可知，而双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为y±x，故选C.答案：C3中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为()Ax2y21 Bx2y22Cx2y2 Dx2y2解析：由题意，设双曲线方程为1(a>0)，则ca，一条渐近线为yx，a22.双曲线方程为x2y22.答案：B4已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1