山东省2015年高三复习圆锥曲线的考点知识

1、考点卡片1轨迹方程【知识点的认识】1曲线的方程和方程的曲线在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线2求曲线方程的一般步骤（直接法）（1）建系设点

2、：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；（2）列式：写出适合条件p的点M的集合M|p（M）；（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）=0；（4）化简：化方程f（x，y）=0为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点【常用解法】（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求关键是条件的转化，即转

3、化为某一基本轨迹的定义条件（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0=f（x，y），y0=g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）=0中，即得所求一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点转换代入化简（4）待定系数法（5）参数法（6）交轨法2圆与圆的位置关系及其判定【知识点的认识】1圆与圆的位置关系2圆与圆的位置关系的判定设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|=d（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断 外离（4条公切线）：dr1+r2 外切（3条公切线）：d=

4、r1+r2 相交（2条公切线）：|r1r2|dr1+r2 内切（1条公切线）：d=|r1r2| 内含（无公切线）：0d|r1r2|（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值3椭圆的简单性质【知识点的认识】1椭圆的范围2椭圆的对称性3椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点顶点坐标（如上图）：A1（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为拖圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长4椭圆的离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=，

5、且0e1离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆当且仅当a=b时，c=0，椭圆变为圆，方程为x2+y2=a25椭圆中的关系：a2=b2+c24椭圆的应用【知识点的知识】椭圆定义的应用：1、利用定义求椭圆的标准方程；2、利用椭圆上点P与两焦点的距离等于2a解决焦点三角形问题5抛物线的简单性质【知识点的知识】抛物线的简单性质：6抛物线的应用【知识点的知识】抛物线的简单性质：7双曲线的定义【定义】 双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之

6、比是一个大于1的常数的点之轨迹双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率【标准方程】（a，b0），表示焦点在x轴上的双曲线；（a，b0），表示焦点在y轴上的双曲线【性质】 这里的性质以（a，b0）为例讲解：焦点为（±c，0），其中c2=a2+b2；准线方程为：x=±；离心率e=1；渐近线：y=±x；焦半径公式：左焦半径：r=|ex+a|，右焦半径：r=|exa|【实例解析】例1：双曲线=1的渐近线方程为 解：由=0可得y=

7、±2x，即双曲线=1的渐近线方程是y=±2x故答案为：y=±2x 这个小题主要考察了对渐近线的理解，如果是在记不住，可以把那个等号后面的1看成是0，然后因式分解得到的两个式子就是它的渐近线例2：已知双曲线的一条渐近线方程是x2y=0，且过点P（4，3），求双曲线的标准方程解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x2y=0，设双曲线方程为y2=（0），双曲线过点P（4，3），32=，即=5所求双曲线方程为y2=5，即：=1 一般来书，这是解答题的第一问，常常是根据一些性质求出函数的表达式来，关键是找到a、b、c三者中的两者，最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴，知道这些

8、参数后用待定系数法就可以直接写出函数的表达式了【考点点评】 这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，尽量多写8双曲线的简单性质【知识点的知识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a0，b0）（a0，b0）图形性质焦点F1（c，0），F2（ c，0）F1（0，c），F2（0，c） 焦距|F1F2|=2ca2+b2=c2范围|x|a，yR|y|a，xR对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（a，0）（a，0）（0，a）（0，a）轴实轴长2a，虚

9、轴长2b离心率e=（e1）准线x=±y=±渐近线±=0±=09双曲线的应用【知识点的知识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a0，b0）（a0，b0）图形性质焦点F1（c，0），F2（ c，0）F1（0，c），F2（0，c） 焦距|F1F2|=2ca2+b2=c2范围|x|a，yR|y|a，xR对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（a，0）（a，0）（0，a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=（e1）准线x=±y=±渐近线±=1±=110圆锥曲线的共同特征【知识点的知识】圆锥曲线的共同特征： 圆锥去想上的点

10、到一个定点的距离与它到定直线的距离之比为定值e当0e1时，圆锥曲线是椭圆；当e1时，圆锥曲线是双曲线；当e=1时，圆锥去想是抛物线其中定点是圆锥曲线的一个焦点，定直线是相应于这个交点的准线11直线与圆锥曲线的关系【直线与圆锥曲线的关系】 直线与圆锥曲线的关系主要是相不相交，交点个数为多少，由此而引出的圆锥曲线到直线的距离，圆锥曲线与直线相切，直线截圆锥曲线的线段长度等问题，是高考的一个重点，也是高考的一个难点下面简单的说一个例题供大家参悟【例题讲解】例：已知ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，1），（0，1），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m0）（1）求顶点C的轨迹E的方程，并判断

11、轨迹E为何种圆锥曲线；（2）当m=时，过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M，Q不重合） 试问：直线MQ与x轴的交点是否为定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由 解：（1）设点C（x，y），由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m0），得：，化简得：mx2+y2=1（x0）当m1时，轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，1）两点；当m=1时，轨迹E表示以（0，0）为圆心，半径是1的圆，且除去（0，1），（0，1）两点；当1m0时，轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，1）两点；当m0时，轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除

12、去（0，1），（0，1）两点（2）当m=时，曲线E的方程为由题意可知直线l的斜率存在切不等于0，则可设l：y=k（x1），再设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x2，y2） （x1x2）联立，得（1+2k2）x24k2x+2k22=0，M，Q不重合，则x1x2，y1y2MQ所在直线方程为，令y=0，得=直线MQ过定点（2，0） 这个题符合高考的一贯命题思路，先求曲线表达式，第二问讨论的是直线与点的关系，严格的来说线段也可以说是点的关系解题思路就是应用韦达定理，把直线的自变量和因变量都用x1，x2和参数k表示，然后看自变量和因变量的关系，应该说思路不难，难点在于计算，这也告诉大家，要解决好

13、这类题，计算能力必须加强，另外，考的时候尽量合理利用时间【考点点评】 本考点是非常重要的一个考点，基本上都是作为压轴题的形式在考试中出现，解决这类题除了掌握常用的一些方法外，还需要加强计算的能力，在考试当中尽量的多拿分12直线与圆锥曲线的综合问题【概述】 直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解【实例解析】例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率（1）求圆锥曲线C的方程；（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数 解：（1）依题意，设曲线C的方程为（ab0），c=1，a=2，所求方程为（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x1），由，得（3+4k2）x28k2x+4（k23）=0，从而，设P（t，0），则=当，解得此时对kR，；当ABx轴时，直线AB的方程为x=1，xA=xB=1，对，即存在x轴上的点